基于學(xué)習(xí)路徑分析的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元整體教學(xué)

楊國雄 章勤瓊 鄧建文

【摘? ?要】運(yùn)算能力的兩個(gè)重要內(nèi)涵是理解算理和掌握算法，計(jì)算教學(xué)中需要促進(jìn)算理與算法的融合。“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法的關(guān)鍵單元，教學(xué)重點(diǎn)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的理解以及算法的掌握。教師依據(jù)基于學(xué)習(xí)路徑分析的單元整體教學(xué)框架，對教材原有的編排形勢進(jìn)行了調(diào)整，思考單元教學(xué)路徑，設(shè)計(jì)了筆算連續(xù)課，以算理理解的水平層次促進(jìn)算理的深度理解，注重豎式記錄的關(guān)聯(lián)性，更好促進(jìn)“法理融合”，提升運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑;單元整體教學(xué);運(yùn)算能力;法理融合

運(yùn)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要內(nèi)容，它貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)階段。運(yùn)算能力是學(xué)生最重要的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：“運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力?！盵1]因此，教師在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，不僅要關(guān)注學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生對算理的理解，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。而且，與之前相比，增加了“能夠明晰運(yùn)算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系”[2]。因此，促進(jìn)算理與算法融合，需要教師對計(jì)算教學(xué)引起更多的重視。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元是整數(shù)乘法主題序列學(xué)習(xí)的重要組成部分，也是學(xué)生真正開始學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法的核心內(nèi)容。以人教版教材為例，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“表內(nèi)乘法”和“多位數(shù)乘一位數(shù)乘法”，具備了較好的乘法學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。進(jìn)入“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，學(xué)生要繼續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)的口算乘法、兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法、運(yùn)用兩步計(jì)算解決問題。其中兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算是運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此本單元的教學(xué)要側(cè)重于算理、算法的探索并促進(jìn)算理、算法的融通，使學(xué)生在明理中掌握計(jì)算方法?；趯W(xué)習(xí)路徑分析的研究框架[3]，教師可以對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元進(jìn)行整體教學(xué)的思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材四年級上冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要包括：掌握兩位數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)乘一位數(shù)（進(jìn)位），兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、整百數(shù)（不進(jìn)位），整十?dāng)?shù)乘幾百幾十?dāng)?shù)（不進(jìn)位）的口算方法;經(jīng)歷兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過程、理解算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法;經(jīng)歷問題解決的過程，學(xué)會用兩步計(jì)算和不同的方法來解決問題。

北師大版教材四年級上冊“乘法”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要包括：結(jié)合具體情境，探索兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，經(jīng)歷交流算法的過程，理解算理;掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，解決簡單的實(shí)際問題。

對比發(fā)現(xiàn)，兩種版本的教材關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)有所不同，但都含有三個(gè)方面的內(nèi)容：一是掌握兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算方法;二是經(jīng)歷探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算過程、理解算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法;三是解決實(shí)際問題。

（二）確定核心目標(biāo)

本單元屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中“數(shù)與運(yùn)算”主題的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。算理與算法是運(yùn)算教學(xué)中的兩個(gè)關(guān)鍵要素，二者是相互聯(lián)系、有機(jī)統(tǒng)一的整體，能較好地理解算理和掌握算法是學(xué)生具備運(yùn)算能力的主要表現(xiàn)。[4]

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)筆算乘法學(xué)習(xí)的跨越階段，學(xué)生第一次接觸分兩層記錄的乘法，理解難度較大。一方面，學(xué)生要理解乘的順序，明白分層記錄的原理;另一方面，學(xué)生要理解各部分積的書寫位置。因此，教師在本單元的教學(xué)中要重點(diǎn)關(guān)注兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理理解和豎式記錄兩個(gè)方面，做到算理、算法并重，以算理理解促進(jìn)算法掌握。所以本單元的核心目標(biāo)是探索并理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式記錄方法。

（三）核心目標(biāo)具體化

結(jié)合以上整體分析，將核心目標(biāo)具體化為兩點(diǎn)。一是理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。其主要內(nèi)涵包含四個(gè)水平層次：能理解兩位數(shù)的結(jié)構(gòu)以及乘法算式的意義;能有自己的計(jì)算方法并說明理由;能理解不同的方法，并且能夠比較不同的方法;能在表征、比較的基礎(chǔ)上提煉通法。二是掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式記錄方法。具體表現(xiàn)為學(xué)生能感受情境意義、計(jì)算過程與豎式記錄的關(guān)聯(lián)，理解豎式中每一步的意思，建立算法模型。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生對核心目標(biāo)的理解水平，筆者從兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理理解和豎式記錄兩個(gè)方面對一個(gè)日常教學(xué)班開展學(xué)情調(diào)查。

（一）學(xué)生的算理理解水平分析

為真實(shí)了解學(xué)生算理理解水平，以算理理解的四個(gè)水平層次為基礎(chǔ)[5]，建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算算理理解表現(xiàn)性評價(jià)框架，筆者開展了前測，前測題如圖1所示。

測試題：想一想“13×12”的意義是什么？怎么計(jì)算？請你用橫式寫一寫你的計(jì)算方法，并試著用點(diǎn)子圖把你的方法表示出來。

從前測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，大部分的學(xué)生能夠理解乘法算式的意義，能對數(shù)進(jìn)行重組，超過一半的學(xué)生能夠畫分點(diǎn)子圖和用自己的方法找到13×12的計(jì)算結(jié)果，但很大部分學(xué)生無法準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)操作過程，無法說清楚“先算什么再算什么”，不能從“非基本算法”中自發(fā)地進(jìn)行優(yōu)化，提煉出“基本算法”。

（二）學(xué)生的豎式記錄情況分析

為真實(shí)了解學(xué)生豎式記錄情況，筆者同樣開展前測。前測題如圖2所示。

學(xué)生解答方法與情況統(tǒng)計(jì)如下。

根據(jù)前測數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，有5+3+4+7=19名學(xué)生無法寫出正確的乘法豎式，且豎式記錄存在難度。此外，筆者對寫出正確豎式的14+8=22名同學(xué)進(jìn)行了進(jìn)一步的訪談，了解他們能否將豎式、橫式、點(diǎn)子圖進(jìn)行關(guān)聯(lián)，理解乘法豎式每一步的意思。訪談結(jié)果顯示，22名同學(xué)中有6人無法將豎式、橫式、點(diǎn)子圖進(jìn)行一一對應(yīng)，他們只是通過識記、模仿的方式進(jìn)行豎式記錄。因此，教師有必要讓學(xué)生經(jīng)歷從橫式到豎式的形成過程，溝通橫式、豎式和圖式之間的聯(lián)系，做到算理、算法融通，幫助學(xué)生建構(gòu)算法模型。

三、單元整體設(shè)計(jì)的思考

按照人教版教材的編排，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：第一階段學(xué)習(xí)相關(guān)的口算乘法內(nèi)容;第二階段學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，先學(xué)習(xí)不進(jìn)位的筆算，再學(xué)習(xí)進(jìn)位的筆算;第三階段學(xué)習(xí)運(yùn)用連乘、連除兩步計(jì)算解決問題。

根據(jù)學(xué)情分析，學(xué)生對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算的算理理解、豎式記錄存在不同程度的困難。因此在筆算教學(xué)中，教師應(yīng)該依據(jù)算理理解的水平層次促進(jìn)學(xué)生對算理的深度理解，同時(shí)做好情境意義、計(jì)算過程和豎式記錄的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)算法模型的意義建構(gòu)。

綜上分析，筆者對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元教學(xué)內(nèi)容作以下調(diào)整。

1.刪除口算乘法例2中“6×10”作為新知的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)完全掌握了“6個(gè)十就是60”的口算方法，而教材生硬地向?qū)W生介紹6×9再添加一個(gè)6這樣的算法，雖然有情境的支撐，但不符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，甚至?xí)_亂學(xué)生的已有認(rèn)知。教師可以將6×10放在復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在口算練習(xí)中復(fù)習(xí)算法，體會口算一位數(shù)乘10方法的簡便性，改用“12×10”作為探索兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的例題進(jìn)行教學(xué)。

2.將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”作為探索多位數(shù)乘法算理和算法的關(guān)鍵課。算理的理解直接關(guān)系到算法的掌握，所以在教學(xué)中要強(qiáng)化算理理解的教學(xué)。教師可以將兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算設(shè)計(jì)成筆算連續(xù)課，所謂筆算連續(xù)課就是用連續(xù)的2個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，其中課時(shí)1指向算理的理解，課時(shí)2指向豎式的教學(xué)。筆算連續(xù)課的設(shè)計(jì)可以打破教材原來按照“不進(jìn)位”“進(jìn)位”根據(jù)內(nèi)容來編排的方式，而改為從理解算理、做好“豎式記錄”的角度進(jìn)行教學(xué)。這能夠有效促進(jìn)學(xué)生對算理的理解和算法的建構(gòu)，在算理、算法的融通上給予學(xué)生更多的時(shí)間和空間，同時(shí)連續(xù)課的形式保證學(xué)生思維的連貫性與整體性。

基于以上的整體思考，教師可對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的教學(xué)的“序”做以下調(diào)整（如表2），構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)路徑。

通過上表可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的單元教學(xué)內(nèi)容仍然分為口算乘法、筆算乘法、解決問題三個(gè)階段，其中筆算乘法作為本單元的核心內(nèi)容，進(jìn)行了較大的教學(xué)調(diào)整。教師將原來教材安排的不進(jìn)位與進(jìn)位的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法設(shè)計(jì)成筆算連續(xù)課，用連續(xù)的兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，第一課時(shí)依據(jù)算理理解水平層次做好算理理解教學(xué)，不進(jìn)入豎式教學(xué)，第二課時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷豎式的形成過程，做好豎式、橫式與情境的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生理解兩層豎式的合理性，建構(gòu)算法模型。本單元具體教學(xué)內(nèi)容的安排如表3所示。

參考文獻(xiàn)：

[1][2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]章勤瓊，陳錫成.基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)思考框架[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（3）：13-16.

[4]章勤瓊，杜依銘.運(yùn)算教學(xué)中如何做到“法理兼顧”：略談運(yùn)算教學(xué)的三個(gè)要點(diǎn)[J].福建教育，2022（10）：28-31.

[5]章勤瓊，陽海林，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)性評價(jià)及其應(yīng)用[J].課程·教材·教法，2021（3）：83-89.

（1.廣東省東莞市松山湖第二小學(xué)? ?523429

2.福建師范大學(xué)教育學(xué)院? ?350117）