從一道聯(lián)考題談不等式恒成立問(wèn)題的解題策略

摘 要：文章對(duì)2021年11月份山西省三重教育大聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題予以研究，從六個(gè)角度探析含參不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，給出九種解法，并歸納整理出求該類問(wèn)題的解題策略.

關(guān)鍵詞：不等式恒成立;解題策略;一題多解

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0029-04

縱觀近些年的高考和各級(jí)各類模擬考，不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題越來(lái)越受命題者的青睞，已成為常考常新的問(wèn)題，因此該類問(wèn)題是高考備考的一大重點(diǎn).從內(nèi)容來(lái)看，該類試題的交匯面廣，綜合考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等方面的知識(shí);從考查能力角度來(lái)看，該類試題不僅可以很好地考查考生的“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），還能考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算），是展示考生能力的一個(gè)很好的平臺(tái).但是從實(shí)際的教師教學(xué)和學(xué)生掌握情況來(lái)看，該類問(wèn)題又是復(fù)習(xí)備考的一大難點(diǎn).如何有效突破這一重點(diǎn)、難點(diǎn)，成為廣大一線教師在復(fù)習(xí)備考中亟待解決的一大課題，現(xiàn)筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐與研究，以2021年山西省三重教育11月高三大聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題為例，闡述如何突破該類問(wèn)題的解題策略.

分析 該題是2021年山西省三重教育11月大聯(lián)考理科第20題，第（1）問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，本文不再贅述，重點(diǎn)論述第（2）問(wèn)，此問(wèn)是含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，本小題綜合性強(qiáng)、解法靈活、難度較大，主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，含參不等式恒成立求參數(shù)范圍等知識(shí)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文嘗試對(duì)本題的第（2）問(wèn)從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

2.1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值法

對(duì)于一些含參不等式恒成立問(wèn)題，將不等式朝著有利于通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方向變形，將不等式整理為一側(cè)為常數(shù)（一般為零）的形式，根據(jù)題目的量詞（或），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與常數(shù)（一般為零）的不等關(guān)系，這是處理不等式問(wèn)題最基本的通法之一.

2.2“切線”放縮法

一些含參不等式中，將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合考查，尤其是與ex，lnx有關(guān)的超越函數(shù)問(wèn)題，若直接求導(dǎo)找零點(diǎn)（多數(shù)情況下是隱零點(diǎn)），往往復(fù)雜繁瑣，此時(shí)若能巧妙運(yùn)用一些“切線不等式”進(jìn)行放縮，將復(fù)雜的超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)（以直代曲），常?？梢云鸬交睘楹?jiǎn)的效果.牢記兩個(gè)重要的“切線不等式”：①ex≥x+1（x∈R，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）;②lnx≤x-1（x∈R，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），這兩個(gè)不等式是“切線放縮”法的基礎(chǔ).

2.3 “同構(gòu)”法

有些題中的不等式經(jīng)適當(dāng)整理變形后，可以表示成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的形式，如F（x）≥0等價(jià)變形為f（g（x））≥f（h（x）），利用這個(gè)結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x），進(jìn)而利用所構(gòu)造函數(shù)f（x）的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等）解題的方法，我們通常叫做同構(gòu)法.常見(jiàn)的同構(gòu)形式有：xex=elnx+x，exx=ex-lnx，xex=elnx-x，x+lnx=ln（xex），x-lnx=ln（exx）等.

2.4 必要性“探路”法

對(duì)一類函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，可以通過(guò)取函數(shù)定義域中某個(gè)數(shù)，縮小參數(shù)的討論范圍，獲得初步的參數(shù)范圍，之后在此范圍內(nèi)繼續(xù)討論進(jìn)而解決問(wèn)題.在這個(gè)定義中，“取函數(shù)定義域中某一個(gè)數(shù)”，便相當(dāng)于尋找一個(gè)能使題意成立的必要條件，而題目本身要尋求的參數(shù)的取值范圍（或最值），相當(dāng)于是使題意成立的充分必要條件.因此，在找到必要條件的基礎(chǔ)上，只需要證明這個(gè)條件反過(guò)來(lái)能推出題意，即證明這個(gè)條件也是滿足題意的充分條件.這樣，充分性和必要性都成立，那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數(shù)的準(zhǔn)確取值范圍，這便是必要性“探路”法.

2.6 反函數(shù)法

若函數(shù)m（x）與函數(shù)n（x）互為反函數(shù)，則兩函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，于是我們不難明白不等式m（x）≥n（x）等價(jià)于m（x）≥x（或x≥n（x））.我們又知道同底的對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以在解決一些同時(shí)含有指數(shù)和對(duì)數(shù)的不等式問(wèn)題時(shí)，若我們能將不等式變形為m（x）≥n（x）的形式，則可以借助m（x）≥x（或x≥n（x））解題，減少運(yùn)算，化繁為簡(jiǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊瑞強(qiáng).指對(duì)跨階“同構(gòu)法”求解不等式恒成立題[J].數(shù)理化解題研究，2021（34）：74-75.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：俞國(guó)梁（1982-），男，江西省婺源人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.