淺析數(shù)學(xué)觀察能力的作用與培養(yǎng)措施

王婷婷

[摘? 要] 敏銳的觀察能力能避免人們被事物的表象所迷惑，并獲得透過表面現(xiàn)象看到事物內(nèi)在本質(zhì)或演變趨勢的能力. 形成良好的數(shù)學(xué)觀察能力，具有順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)、提高課堂教學(xué)效率、提升學(xué)生綜合素養(yǎng)等作用，具體的培養(yǎng)措施有：觀察式子結(jié)構(gòu)特征，探尋解題捷徑;觀察試題條件結(jié)論，搭建解題橋梁;觀察函數(shù)對應(yīng)圖像，探索問題本質(zhì);觀察命題整體結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)靈活變通.

[關(guān)鍵詞] 觀察能力;作用;解題;能力;培養(yǎng)措施

大千世界，博大精深. 洞察問題的本質(zhì)是學(xué)生永恒的追求，外觀于問、內(nèi)識于心，是學(xué)生認(rèn)識問題并不斷超越自我的過程，觀察能力是聯(lián)系學(xué)生與問題本質(zhì)的橋梁. 數(shù)學(xué)觀察是指在教學(xué)中，學(xué)生有意識地對數(shù)學(xué)事物的數(shù)形特征進行感知、分析、抽象，并用對應(yīng)的數(shù)字、字母、符號或文字進行表達(dá)，其本質(zhì)是一個心理活動的過程.

[?]數(shù)學(xué)觀察能力的作用

1. 順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)

心理學(xué)家哈根說過，“教學(xué)中，兒童具有注意一些線索而又無視另一些線索的心理傾向.”教學(xué)活動是建立在明確的教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上進行的，學(xué)生一旦明確了學(xué)習(xí)任務(wù)，在實際觀察中，則會不由自主地支配自身的感知覺，將感知方向指向于特定對象，為目標(biāo)的達(dá)成奠定基礎(chǔ). 新課標(biāo)提出：“數(shù)學(xué)教育承載著引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，把握事物規(guī)律，形成正向世界觀等責(zé)任.”可見，學(xué)會從數(shù)學(xué)的視角觀察生活事物，增強社會責(zé)任感，是社會賦予學(xué)生的責(zé)任，也是重要的教學(xué)目標(biāo)之一.

2. 提高課堂教學(xué)效率

同一節(jié)課，不同學(xué)生會產(chǎn)生不同程度的認(rèn)知，這是課堂教學(xué)效率的體現(xiàn). 不得不承認(rèn)，學(xué)生與學(xué)生之間，的確存在著顯著的個體差異，有些學(xué)生因觀察能力滯后，對數(shù)學(xué)現(xiàn)象及教學(xué)活動缺乏洞察力，而有些學(xué)生則能靈敏地發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，學(xué)習(xí)效率自然很高. 顯然，缺乏觀察能力的學(xué)生，無法及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，在知識的建構(gòu)上呈現(xiàn)出了慢半拍的節(jié)奏. 因此，提高學(xué)生的觀察能力，是提高教學(xué)效率的重要突破口之一.

3. 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

當(dāng)前，在新課改的推進下，每門學(xué)科都以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為教學(xué)宗旨. 觀察能力的提升對學(xué)生運算、邏輯思維、想象、數(shù)據(jù)處理以及交流等能力的提升，都具有顯著的促進作用. 不論是數(shù)據(jù)關(guān)系的處理，還是圖形的識別，都離不開觀察能力的支撐. 當(dāng)然，這種觀察能力并非單純地用眼睛去觀察，更重要的是用大腦進行思考與分析;觀察對象也不一定是直觀的形象，還可能是抽象的文字等. 因此，觀察能力的培養(yǎng)是促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的基礎(chǔ).

[?]培養(yǎng)措施

1. 觀察式子結(jié)構(gòu)特征，探尋解題捷徑

羅丹說：“能在被人司空見慣的事物上發(fā)現(xiàn)美的人，就是所謂的大師. ”當(dāng)學(xué)生面對相同的式子時，因個體差異會看到不一樣的內(nèi)涵. 為了訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從式子的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，進行細(xì)致、全面、入微的觀察，以發(fā)現(xiàn)解決問題的最佳途徑;也可以根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，確立明確的觀察點，再由表及里、由點到面地進行研究，從而獲得準(zhǔn)確的判斷，為解題服務(wù).

例1 已知集合P={1，2，3，…，2015}，集合A為集合P的子集，在集合A的三個元素中，總有兩個元素存在a是b的整數(shù)倍，若

A

代表集合A的元素個數(shù)，求

A

的最大值.

解析：集合A={1，2，22，23，…，210，3， 3×2，3×22，…，3×29}符合本題要求，此時

A

=21.

設(shè)A={a1，a2，a3，…，ak}?P，且a1

A

的最大值是21.

解決本題主要存在猜想與證明兩個環(huán)節(jié)，從式子結(jié)構(gòu)進行觀察的要領(lǐng)是：①如果能發(fā)現(xiàn)式子的所有解，也就說明本題除此無他;②如果能發(fā)現(xiàn)式子的部分解，就要用一定的手段找出看不到的解. 解題時，除了以知識基礎(chǔ)為依托外，還要引導(dǎo)學(xué)生勇于大膽猜想，在猜想的基礎(chǔ)上進行論證. 猜想雖不能直接解決問題，卻能為解題提供幫助，而觀察過程則涵蓋了猜想與論證的過程.

2. 觀察試題條件結(jié)論，搭建解題橋梁

對于試題來說，觀察是溝通條件與結(jié)論的橋梁. 想要獲得結(jié)論，必須從問題的條件中尋找相應(yīng)的依據(jù)，條件為結(jié)論服務(wù)，而結(jié)論又是條件的歸宿. 想要從已知條件中獲得未知的結(jié)論，就必須有一雙善于觀察的眼睛，將問題的條件與結(jié)論結(jié)合在一起進行分析、探究，這也是解題最常用的方法.

例2 已知α∈-

，，β∈-

，0，sinα-cos2β=

-

，求sin

-β

的值.

解析：根據(jù)題設(shè)條件可得sinα-

=cos2β-

，也就是cos

α-

-

=cos2β-

，再結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosx-

，x∈[-π，0]. 因為y=cosx于[-π，0]內(nèi)是遞增函數(shù)，y= -

于[-π，0]內(nèi)也是遞增函數(shù)，因此函數(shù)f（x）=cosx-

在[-π，0]內(nèi)是遞增函數(shù). 根據(jù)cos

α-

-

=cos2β-

，得f

α-

=f（2β），因此sin

-β

=.

通過對條件的觀察與分析，構(gòu)造出函數(shù)，再從單調(diào)性著手解題. 這種方法不僅將問題的條件與結(jié)論聯(lián)系了起來，還凸顯了觀察在解題中的重要作用. 如果學(xué)生之前有過類似的解題經(jīng)驗，遇到本題就會很自然地想到這種解題方法，也就是說，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗?zāi)艽龠M觀察的有效性，為解決問題提供幫助，也為思維的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

3. 觀察函數(shù)對應(yīng)的圖像，探索問題本質(zhì)

眾所周知，數(shù)為形的基礎(chǔ)，而形又是數(shù)的表達(dá)形式，數(shù)與形之間是“你中有我，我中有你”的關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合思想貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始末，有很多問題需要依賴數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來解決. 因此，既要學(xué)會觀察數(shù)量關(guān)系中存在的形，也要洞察圖形中蘊藏的數(shù)量關(guān)系. 高中數(shù)學(xué)解題中，我們常遇到的是通過函數(shù)圖像的觀察，揭示問題的本質(zhì)，達(dá)到解題的目的.

例3 若將函數(shù)f（x）=-（x∈[0，2]）的圖像，繞著坐標(biāo)原點O旋轉(zhuǎn)θ（θ是銳角），此時得到的曲線仍然為函數(shù)圖像，求θ的最大值.

解析：從二次函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，觀察f（x）=-（x∈[0，2]）的圖像，可知其在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，在[1，2]內(nèi)是減函數(shù). 假設(shè)函數(shù)f（x）位于x=0處的切線斜率是k，則k=f′（0）. 因為f′（x）==，所以k=f′（0）==tan30°，由此可確定切線的傾斜角是30°.

如圖1所示，要使旋轉(zhuǎn)θ后的圖像仍是函數(shù)圖像，那么旋轉(zhuǎn)后的圖像切線的傾斜角最大為90°，若超過90°，旋轉(zhuǎn)后的圖像與y軸會出現(xiàn)兩個交點，此時的曲線不是函數(shù)圖像. 因此本題最大的旋轉(zhuǎn)角度為90°-30°=60°.

類似問題還有很多，當(dāng)我們遇到此類問題時，應(yīng)先明確函數(shù)圖像是基于函數(shù)解析式而來的，它們之間不僅是對應(yīng)的關(guān)系，還是相輔相成的關(guān)系. 解題時，我們可以從數(shù)形結(jié)合思想著手進行觀察，探索問題的本質(zhì).

4. 觀察命題整體結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)靈活變通

隨著新課改的推進，當(dāng)前的命題越來越新穎、豐富，這對學(xué)生的思維靈活性提出了更高的要求. 其實，所有的命題都是從基本概念、定義與性質(zhì)衍生而來的，具有萬變不離其宗的規(guī)律. 當(dāng)學(xué)生解題時出現(xiàn)了思維上的障礙，可以考慮從命題的整體結(jié)構(gòu)上進行觀察與分析，有可能會有新的發(fā)現(xiàn)與突破.

例4 如圖2所示，正方體ABCD-ABCD中的點M，E分別是棱BC，BB的中點，點N是正方形CBBC的中心點，直線l是平面AMN和平面BED的交線，求直線l和正方體的底面ABCD所成角的度數(shù).

解析：從正方體的性質(zhì)著手進行觀察與分析，可知MN，BE都與平面ABCD垂直，因此平面AMN，DBE均垂直于平面ABCD，所以l與平面ABCD也是垂直的關(guān)系，所成角為90°.

從常規(guī)思路出發(fā)，一般都是先找出平面AMN和BED的交線l，再求所成角的度數(shù)，但這種方式很煩瑣. 根據(jù)“兩個相交平面與第三平面垂直，那么交線與第三平面也為垂直的關(guān)系”的性質(zhì)，能將本題化繁為簡. 由此可見，觀察命題整體結(jié)構(gòu)，具有靈活變通解題方法的重要作用.

實踐證明，良好的觀察能力能讓一個人變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、睿智. 學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力水平的高低，對解題能力具有直接影響. 作為教師，應(yīng)在教學(xué)中不斷地提升學(xué)生的觀察能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).