章節(jié)架構為要 核心知識為脈

朱明明

[摘? 要] 基于研學課堂的章節(jié)單元復習課通過圍繞挑戰(zhàn)性學習主題，系統(tǒng)整合單元知識內(nèi)容與思想方法，并對章節(jié)知識的拓展運用引發(fā)學生深度思考. 關注學生在單元復習研學中的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”能力的培養(yǎng)，幫助學生實現(xiàn)從“學會”到“會學”的根本性轉變，以提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 章節(jié)復習;知識架構;深度學習;研學課堂

隨著新課標對學生數(shù)學核心素養(yǎng)培育要求的進一步提升，作為知識系統(tǒng)架構和學生思維能力培養(yǎng)的章節(jié)單元復習課教學越來越受教師的重視. 章節(jié)單元復習課不能停留在學生熟化解題套路、強化解題規(guī)范和技巧的過程，而應成為教師引導學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，通過系統(tǒng)整合單元知識內(nèi)容與思想方法，并對章節(jié)知識的拓展運用引發(fā)學生深度思考的學習過程. 在此過程中，教師應更關注學生在單元復習中的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”能力的培養(yǎng)，幫助學生實現(xiàn)從“學會”到“會學”的根本性轉變. 筆者執(zhí)教新蘇教版（2019年）數(shù)學必修1第四章“指數(shù)與對數(shù)”單元復習課時采用了整體立意的主題單元教學思路，以“問題鏈”的方式引導學生整體把握章節(jié)核心內(nèi)容與思想方法，極大地促進了學生深度學習.

[?]設計思路

編寫“指數(shù)與對數(shù)”這一章內(nèi)容，教材編者從初中學過的整數(shù)指數(shù)冪出發(fā)，逐步滲入分數(shù)指數(shù)冪與根式、指數(shù)冪的運算、對數(shù)概念及相關運算，意在讓學生熟練掌握指數(shù)、對數(shù)及其相關概念與運算的基礎上，厘清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 因此，筆者將指數(shù)與對數(shù)的互化確立為教學核心，加強學生對數(shù)意義的理解，使他們體會對數(shù)對運算的簡化作用;理解指數(shù)與對數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學會揭示問題的本質;滲透“整體思想”“化歸與轉化思想”. 將本章知識體系架構確立為本節(jié)課的重點，指數(shù)與對數(shù)的互化確立為本節(jié)課的難點.

[?]教學過程預設

導語：我國著名數(shù)學家華羅庚說過這樣一句話，“讀書的真功夫在于既能把薄的書讀成厚的，又能把厚的書讀成薄的”（投影展示）. 這要求我們既能把主干知識豐富起來，又能從中抓住核心內(nèi)容.

設計意圖：通過華羅庚的名言讓學生體會數(shù)學知識的學習是一個“薄—厚—薄”的過程，明確本節(jié)課的主要任務.

1. 聚焦核心

問題1：前面我們已經(jīng)完成了“指數(shù)與對數(shù)”這一章的學習. 你認為本章的核心內(nèi)容是什么？

設計意圖：指出本章的核心內(nèi)容——指對互化（投影圖1），也就是對數(shù)定義的本質. 明確“ab=N”與“l(fā)ogaN=b”本質的一致性，為接下來研究確立中心與脈絡.

問題2：在本章的學習中，你最大的困惑是什么？

設計意圖：大多數(shù)學生的困惑是學習對數(shù)的意義何在，這個問題為接下來通過指對互化實現(xiàn)運算簡化做鋪墊.

2. 學以致用

問題3：我們?yōu)槭裁匆獙W習對數(shù)？它的價值何在？

（投影“對數(shù)可以縮短計算時間，在時效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍. ”——拉普拉斯語）

設計意圖：通過拉普拉斯的名言指出對數(shù)對運算的簡化作用，讓學生體會學習對數(shù)的必要性;同時滲透數(shù)學文化，體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，激發(fā)學生研究的欲望.

下面通過實例說明對數(shù)的簡化作用.

例1 圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080. 下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（? ）

A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

設計意圖：通過具體例子培養(yǎng)學生的閱讀能力，通過“巧取對數(shù)，妙解指數(shù)”問題讓學生感受指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)對運算的簡化作用.

問題4：通過例1，你怎樣理解“對數(shù)可以縮短計算時間”？

設計意圖：師生一起總結例1中通過取對數(shù)，把除法轉化成減法，乘方轉化成乘法，實現(xiàn)運算的“降級”，從而達到簡化運算的目的.

例1主要是通過指數(shù)與對數(shù)的互化，利用對數(shù)的運算性質解決的. 接下來，引導學生對比回顧對數(shù)與指數(shù)的相關運算性質（讓學生寫出相關運算性質并投影展示）.

設計意圖：回顧對數(shù)運算性質的由來，類比對數(shù)與指數(shù)相關運算性質的外在形式，準確記憶公式的形式、特征，從轉化的角度體會它們內(nèi)部的聯(lián)系. 從運算性質的角度體會對數(shù)對運算的“降級”作用.

例2 已知下表中的對數(shù)值有且只有一個是錯誤的，錯誤的對數(shù)值是（? ）

A. lg3 B. lg6 C. lg8 D. lg9

設計意圖：助力學生掌握對數(shù)的運算性質，提高學生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的能力.

引導學生再思考：若a=log23，b=log35，則log3045=______（用a，b表示）.

設計意圖：例2是利用對數(shù)的運算性質解決的，過程中讓學生再次體會對數(shù)的運算性質給同底對數(shù)的運算帶來的方便. 變式將條件和結論改為不同底對數(shù)，讓學生體會換底公式的作用——化異為同.

3. “倒敘”回顧

問題5：我們再次回到本章的核心——指對互化. 由于互化的過程中保證了兩個式子的一致性，從而各字母的取值范圍不變. 以“b”為例，它的取值范圍為R，請大家回顧，在指數(shù)冪進行拓展前，冪指數(shù)的取值范圍是什么？

設計意圖：始終緊緊圍繞“指對互化”這一核心內(nèi)容，采取“倒敘”的形式，讓學生對所學知識通過“回頭看”而產(chǎn)生新的認識.

告知學生指數(shù)冪的拓展歷程，也為后續(xù)研究函數(shù)奠定基礎.

問題6：在冪指數(shù)從整數(shù)集拓展到有理數(shù)集的過程中，加入了分數(shù)指數(shù)冪，它是如何定義的？

設計意圖：回顧指數(shù)冪的拓展歷程，讓學生了解指數(shù)冪拓展的必要性.

分數(shù)指數(shù)冪定義的本質也就是本章另一個重要的互化——根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.

投影：一般地，若xn=a（n>1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.

讓學生思考：（）n=？（a是使有意義的數(shù)）

設計意圖：復習分數(shù)指數(shù)冪的定義，強化分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化. 此恒等式在新授課時歸納得到. 此處在回憶基本知識點的基礎上，從整體代換的角度重新審視根式其中的一個性質——（）n=a，給學生提供認識該性質的另一新視角.

問題7：我們再回顧已經(jīng)學習過的兩個對數(shù)恒等式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

設計意圖：教學生學會類比，滲透整體思想.

在等價轉化ab=N① logaN=b②（a>0，a≠1，N>0，b∈R）中，將N=ab代入②式，得到logaab=b;同理，將b=logaN代入①式，得到alogaN=N. 我們發(fā)現(xiàn)，得到對數(shù)恒等式的方法與得到根式性質的方法如出一轍. 所以，挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系，不僅要從結果上展開研究，更要從方法上展開研究.

設計意圖：通過現(xiàn)有的知識儲備，挖掘研究方法的內(nèi)在聯(lián)系，架構知識體系.

例3 已知2x=3，log=y，求x+2y的值.

思路1（指化對）：因為2x=3，所以x=log23，所以x+2y=log23+2log=log23+log=log28=3.

思路2（對化指）：因為log=y，所以4y=，即22y=，所以2x+2y=2x·22y=3×=8，所以x+2y=log28=3.

設計意圖：本題屬于“指對共存型”問題，可以將條件統(tǒng)一轉化成指數(shù)或者統(tǒng)一轉化成對數(shù)來解決，考查指對互化，旨在化解難點，并讓學生體會化歸思想和指對內(nèi)在聯(lián)系的應用.

引導學生探究：已知a>0，b>0，loga=logb=log（a+b），試求的值.

設計意圖：進一步強化指對互化，將對數(shù)式轉化成指數(shù)式，利用指數(shù)的運算性質解題.

5. 課堂小結

引導學生完善知識網(wǎng)絡，形成思維導圖.

設計意圖：培養(yǎng)學生的語言表達能力，讓學生對本節(jié)課有整體的認識，思維得到升華.

[?]教學設計反思

作為章節(jié)的單元復習課，重在構建知識體系，將新學知識納入學生已有的知識體系中，同時在此過程中掌握思想方法，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

在具體設計時，本節(jié)課以需要化解的難點——指對互化為主要內(nèi)容載體，以“倒敘”的形式展開復習. 從學生的困惑疑點出發(fā)，通過例1讓學生體會對數(shù)對運算的簡化作用和學習對數(shù)的必要性，滲透數(shù)學文化，同時鞏固對數(shù)運算性質的運用. 通過例2讓學生嘗試分析數(shù)據(jù)，通過變式訓練（將條件和結論改為不同底對數(shù)問題）讓學生體會換底公式的作用——化異為同. 然后就是回歸核心點（知識架構），從冪指數(shù)b的范圍開始回顧指數(shù)冪的拓展歷程，了解其拓展的必要性，在冪指數(shù)取值范圍從整數(shù)集向有理數(shù)集拓展的過程中加入分數(shù)指數(shù)冪，這樣自然過渡到分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化，章節(jié)的知識體系輪廓也就水到渠成了. 例3及變式訓練讓學生充分體會“轉化與化歸”數(shù)學思想. 同時，為充分調動學生參與度，激發(fā)學生深度思考，問題設計采用的是開放與半開放形式，引導學生積極探索思考，讓學生在潛移默化中掌握數(shù)學思想方法，提升數(shù)學核心素養(yǎng).