平面向量等值線定理及其應(yīng)用

何少杰

摘 要：本文梳理了等值線性質(zhì)及如何求定值“k”，對等值線進行解讀.應(yīng)用等值線解高考題及競賽題中出現(xiàn)的一類向量線性表示后的系數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：等值線定理;等值線應(yīng)用;平面向量

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）25-0038-04

3 對等值線的解讀

定理中系數(shù)取定值的等式分別為x+y=k，x-y=k，與平面直角坐標系中的直線方程形式完全一致，而且系數(shù)取定值時點P軌跡也是直線，難道是巧合嗎？

顯然不是.當平面內(nèi)一組基底{OA，OB}是單位正交基底時，通過構(gòu)建以{O;OA，OB}為標架的平面直角坐標系，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），有序?qū)崝?shù)對（x，y）就是點P的坐標，也是OP的坐標.事實上，當平面內(nèi)一組基底{OA，OB}不是單位正交基底時，參照仿射幾何知識，也可以通過構(gòu)建以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系，使該平面內(nèi)的任一點同樣地與有序數(shù)對（x，y）建立起一一對應(yīng)關(guān)系.需要注意的是，與平面直角坐標系不同，平面仿射坐標系兩軸單位長度無需相同.那么，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），也就會對應(yīng)唯一的平面仿射坐標系坐標（x，y）.

在平面仿射坐標系中，直線方程也同樣是二元一次方程.這就不難解釋兩種等值線為什么是直線了.事實上，這兩個系數(shù)取定值的等式正是以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系中點P的軌跡方程;這兩種等值線正是在以{O;OA，OB}為標架的平面仿射坐標系中的方程所對應(yīng)的曲線.那么我們可以想到，除了這兩種等值曲線外，應(yīng)該還有滿足其它條件的等值曲線，比如等積線、等商線、等平方和線，其實質(zhì)是平面仿射坐標系中滿足條件的軌跡曲線.

基于以上認識，類比平面直角坐標系中的相關(guān)概念，在對應(yīng)的平面仿射坐標系中，對等值線中的k可以賦予一定的幾何意義.等和線方程x+y=k變形為y=-x+k，則k對應(yīng)的就是“縱截距”;等差線方程x-y=k變形為y=x-k，則k對應(yīng)的就是“縱截距的相反數(shù)”.至此，我們從另一角度更深刻地認識了平面向量基本定理系數(shù)等值線，也可以理解并記憶不同圖形所對應(yīng)的k的取值情形.

通過以上實例，我們可以發(fā)現(xiàn)運用等值線定理解題時，首先三個向量應(yīng)該共起點，對于沒有共起點的問題，可以通過尋找相等向量轉(zhuǎn)化進而求解.其次，解題時通常是先找到基底{OA，OB}下的“基準線”，也就是k=1時的等值線，然后平行移動等值線，利用圖形幾何特征，快速找到與“基準線”平行的特殊等值線，再利用文中給出的公式求出對應(yīng)k值，通過將向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，使向量分解后的系數(shù)問題以直觀形象的方式得以圓滿解決.

參考文獻：

[1]潘成銀.平面向量基本定理系數(shù)等值線[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2013（02）：40-43.

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