以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)公式探究

金雪強(qiáng)

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)該讓學(xué)生“知其然”，還應(yīng)該讓學(xué)生“知其所以然”。圓的知識(shí)與學(xué)生以往學(xué)習(xí)的直線圖形的知識(shí)有著較大的差異。對(duì)于學(xué)生而言，從直線圖形的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向曲線圖形的學(xué)習(xí)，不僅僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的轉(zhuǎn)變，更面臨著思維方式的轉(zhuǎn)變。教師可以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生開展公式探究，使其在舊知的基礎(chǔ)上推理出新的知識(shí)——圓的面積計(jì)算。具體地，可以類比思想引出探究思路，用轉(zhuǎn)化思想開展探究過程，借極限思想得出探究結(jié)論，展應(yīng)用意識(shí)深化探究成果。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；《圓的面積》;類比；轉(zhuǎn)化；極限

圓的面積有著固定的計(jì)算公式，學(xué)生只要記住公式就能輕松地完成計(jì)算，因而有些教師并不把“圓的面積”作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容展開教學(xué)。但是，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)該讓學(xué)生“知其然”（知道圓的面積計(jì)算公式），還應(yīng)該讓學(xué)生“知其所以然”（探究圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程）。圓的知識(shí)與學(xué)生以往學(xué)習(xí)的直線圖形的知識(shí)有著較大的差異。對(duì)于學(xué)生而言，從直線圖形的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向曲線圖形的學(xué)習(xí)，不僅僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的轉(zhuǎn)變，更面臨著思維方式的轉(zhuǎn)變。教師可以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生開展公式探究，使其在舊知的基礎(chǔ)上推理出新的知識(shí)——圓的面積計(jì)算。相關(guān)的教學(xué)過程與思考如下：

一、教學(xué)過程

（一）以類比思想引出探究思路

師某同學(xué)和媽媽一起購(gòu)買一塊圓形的玻璃來裝修臥室。玻璃按面積定價(jià)，那圓形玻璃的面積應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算呢？幫助這位同學(xué)解決這一問題，要用到我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——圓的面積計(jì)算。學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算之前，我們先來回顧一下：之前我們學(xué)過哪些平面圖形？它們的面積計(jì)算公式是什么？這些公式又是怎樣推導(dǎo)出來的？先來說說長(zhǎng)方形的面積。

生長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是長(zhǎng)乘寬。我們是通過數(shù)方格的方法知道的，比如先數(shù)一行有6個(gè)方格，再數(shù)有4行，一共就有6乘4等于24個(gè)方格，所以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式就是長(zhǎng)乘寬。

師我們是通過數(shù)方格也就是數(shù)面積單位的方法得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的。（出示圖1）把圓放到方格紙中，你能用數(shù)方格的方法算出它的面積嗎？

生小扇形大約是12.5格，整個(gè)圓就是50格，即50平方厘米。

師真棒！但這好像得不到圓的面積計(jì)算公式。不急，我們繼續(xù)回顧：我們是怎么研究平行四邊形的面積的？

生我們是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來研究的。

師也就是說，研究平行四邊形的面積時(shí)，我們將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積。那么，三角形和梯形的面積呢？

生都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積。

師是的，在平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)中，都蘊(yùn)含著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。而一般我們研究一個(gè)新的未知的圖形時(shí)，也常常是將它轉(zhuǎn)化成研究過的已知的圖形。

［說明：課始，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)以往所學(xué)的幾何知識(shí)，類比以往學(xué)過的長(zhǎng)方形、平行四邊形等圖形面積計(jì)算方法的得出過程，發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算方法的研究思路——轉(zhuǎn)化。］

（二）用轉(zhuǎn)化思想開展探究過程

師那么，圓能轉(zhuǎn)化成什么圖形呢？

（學(xué)生小組討論。教師選擇典型思路展示交流。）

生我們組想把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形。（展示做法，如圖2）我們將圓沿直徑剪開，再對(duì)半剪開，分成四個(gè)扇形，然后拼在一起。但這只是一個(gè)近似的平行四邊形。

師為什么說是近似的呢？

生它的上、下兩條邊是彎曲的，不直。

師有什么辦法能夠讓這兩條邊變直呢？

生可以再多剪幾刀，應(yīng)該會(huì)更像平行四邊形。

師（課件演示把圓平均分成16份，再進(jìn)行拼接）確實(shí)更像平行四邊形了，但好像還是不直，還是有縫隙。我們可以怎么辦？

生繼續(xù)分成更多份。

［說明：發(fā)現(xiàn)可用轉(zhuǎn)化思想研究圓的面積計(jì)算方法之后，讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，探究可以轉(zhuǎn)化的圖形。學(xué)生有的參考“割圓術(shù)”的思路，將圓轉(zhuǎn)化為正方形、正六邊形；有的類比將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形的思路，將圓剪拼成平行四邊形……對(duì)此，教師選取學(xué)生的典型思路展示交流，明確轉(zhuǎn)化的方向。］

（三）借極限思想得出探究結(jié)論

師（課件展示繼續(xù)等分圓的過程，最終定格于下頁(yè)圖3）可以看到，分割的份數(shù)越多，拼接成的新圖形上的縫隙就越小，該圖形就越像平行四邊形?，F(xiàn)在我們考慮一種理想化的情況：假如我們分割圓時(shí)，分割的份數(shù)是無限的，那么它所拼接成的新的圖形上的縫隙就是無限小的，即邊是無限接近于直線的，新圖形的面積就是無限接近于圓的。此時(shí)，拼成的是一個(gè)什么圖形？

生長(zhǎng)方形。

師（出示圖4）讓我們來看一看拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬和原本的圓有什么聯(lián)系。

（學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，紛紛回答：拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，寬是圓的半徑。）

師那么應(yīng)該如何計(jì)算圓的面積呢？

生圓周長(zhǎng)的一半可以用πr表示，所以，圓的面積=拼成的長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬=πr×r=πr2。

［說明：當(dāng)學(xué)生意識(shí)到需要把圓平均分成更多的份數(shù)，才能讓拼成的平行四邊形的一組對(duì)邊越來越直，所以利用極限思想把圓平均分成無數(shù)份，就可以拼成一個(gè)直的平行四邊形（長(zhǎng)方形）時(shí)，圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)也就順理成章了。］

（四）展應(yīng)用意識(shí)深化探究成果

師現(xiàn)在讓我們回到課始提出的問題：要幫助那位同學(xué)計(jì)算圓形玻璃的面積，我們需要知道哪些條件？用到哪些工具？

生要計(jì)算圓形玻璃的面積，需要知道它的半徑。由于這個(gè)圓形玻璃的圓心很難準(zhǔn)確地確定，因此很難通過直接測(cè)量得到它的半徑。根據(jù)本節(jié)課我們探究的結(jié)果，可以用卷尺測(cè)量出這個(gè)圓形玻璃的周長(zhǎng)，以公式反推出這個(gè)圓形玻璃的半徑，然后用圓的面積計(jì)算公式來計(jì)算該圓形玻璃的面積。

［說明：課尾，讓學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課的探究成果解決課始提出的問題，首尾呼應(yīng)，形成完整的教學(xué)閉環(huán)。這不僅能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深化本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還能有效發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。］

二、教學(xué)思考

《圓的面積》一課的教學(xué)重點(diǎn)絕不僅僅是讓學(xué)生記住圓的面積計(jì)算公式以及會(huì)用公式解決現(xiàn)實(shí)問題，更應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。

圓的面積計(jì)算看似和以往學(xué)習(xí)的知識(shí)都毫不相干，但是，教師引導(dǎo)學(xué)生把圓這個(gè)陌生的圖形轉(zhuǎn)化成以往學(xué)過的熟悉的圖形，通過用已有知識(shí)計(jì)算熟悉的圖形的面積反推如何去計(jì)算圓這個(gè)相對(duì)陌生的圖形的面積。這樣，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成一種類比思維——面對(duì)陌生的數(shù)學(xué)問題時(shí)，把“陌生”和“熟悉”相聯(lián)系，去已有的“武器庫(kù)”中尋找解決問題的“武器”。

而本節(jié)課中，一種重要的“武器”就是轉(zhuǎn)化思想。類比之前平面圖形面積計(jì)算公式學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)想到將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形等。教師選取典型的平行四邊形為探究的主線，引導(dǎo)學(xué)生開展深度探究。通過尋找剪拼成的平行四邊形（長(zhǎng)方形）與原來的圓的關(guān)系，總結(jié)圓的面積計(jì)算的一般性規(guī)律，學(xué)生自主推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式。這讓學(xué)生既知其然——知道如何計(jì)算圓的面積，更知其所以然——知道為什么這樣計(jì)算圓的面積。學(xué)生學(xué)會(huì)推理得到公式的方法，從某種意義上說，比學(xué)生會(huì)使用公式解決現(xiàn)實(shí)問題更為重要。

盡管歷史上人類探索圓的面積計(jì)算公式的方法不同，但是不同中蘊(yùn)藏著相同——都希望“化曲為直”，即把圓這個(gè)曲邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形；而且在解決問題的具體過程中，都不可避免地涉及“無限接近”，即極限思想——這也是本節(jié)課所要滲透的一種重要的數(shù)學(xué)思想。對(duì)此，教師從學(xué)生的4等分作品出發(fā)，用兒童化的語(yǔ)言——消除縫隙、使直線變平，幫助學(xué)生感受化曲為直過程中的極限思想。

能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的問題，是檢驗(yàn)學(xué)生真正學(xué)會(huì)知識(shí)的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是學(xué)以致用的具體表現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也繼續(xù)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。本節(jié)課尾，教師呼應(yīng)課始的問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)解決生活中的問題，幫助學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣，發(fā)展實(shí)踐能力。

參考文獻(xiàn)：

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