中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的若干路徑

摘要：將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要深入學(xué)習(xí)和研究中國古代數(shù)學(xué)史，收集和分析有關(guān)素材，并且運用不同的方式加工和整合。中國古代數(shù)學(xué)史中的概念、問題、方法等融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的具體路徑有概念引入、問題設(shè)計、方法運用以及公式推導(dǎo)等。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；中國古代數(shù)學(xué)史；中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；數(shù)學(xué)文化

在提倡中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程（教材）的當(dāng)下，尤其要注意將中國古代數(shù)學(xué)史料融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。本文試從概念引入、問題設(shè)計、方法運用以及公式推導(dǎo)四個方面，說明中國古代數(shù)學(xué)史中的概念、問題、方法等在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、概念引入方面

借鑒中國古代數(shù)學(xué)史中某些概念產(chǎn)生的動因，可以采用發(fā)生教學(xué)法來教授有關(guān)主題。

小數(shù)概念最早誕生于中國。劉徽在注釋《九章算術(shù)》中的“開方術(shù)”時，針對開不盡的情形稱：“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)。微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)?！贝送?，他在注釋“割圓術(shù)”時，使用了大量的“微數(shù)”。如圖1，已知圓O的半徑OA=1尺，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長AB=1尺，由勾股定理得OD的長度為75寸，約等于八寸六分六厘二秒五忽十分忽之四（即866025.4忽），于是又得CD的長度為一寸三分三厘九毫七秒四忽十分忽之六（即133974.6忽），進(jìn)而可求圓內(nèi)接正十二邊形的邊長AC……從劉徽對“微數(shù)”的定義以及“割圓術(shù)”的計算實例來看，小數(shù)產(chǎn)生的動因是“無名”，即“沒有單位可用”。

我們可以借鑒小數(shù)的誕生過程來引入小數(shù)概念。例如，姚明的身高為2米 2分米 6厘米，即226厘米，那么，他的身高分別是幾分米、幾米呢？當(dāng)“厘米”這個單位缺失時，原來位于個位的6現(xiàn)在“無家可歸”了。教師可以從1厘米和1分米之間的關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生給6尋找一個“新家”。當(dāng)學(xué)生找到“新家”十分位時，小數(shù)概念應(yīng)運而生。類似地，當(dāng)“厘米”和“分米”這兩個單位都缺失時，原來分別位于個位和十位的6和2現(xiàn)在都“無家可歸”了，教師可以從1厘米、1分米和1米之間的關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生分別給6和2尋找“新家”，從而再引出百分位。

二、問題設(shè)計方面

根據(jù)數(shù)學(xué)史料來編制數(shù)學(xué)問題的策略有再現(xiàn)式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對稱式、串聯(lián)式和自由式七種。汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史料的高中數(shù)學(xué)問題編制策略［J］.數(shù)學(xué)通報，2020（5）：915。再現(xiàn)式指的是直接采用歷史上的問題，除了文字翻譯以外，原題中的條件和目標(biāo)保持不變。其他方式都有不同程度的改編。

以《九章算術(shù)》為代表的中國古代數(shù)學(xué)典籍往往都是以問題集的形式呈現(xiàn)的，為今日小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富多彩的問題：除了純粹的計算問題、常規(guī)圖形的面積計算問題之外，還有很多實際應(yīng)用的算術(shù)問題、特殊圖形的面積計算問題，都具有很強的趣味性和適度的挑戰(zhàn)性。教師可以直接有選擇地“再現(xiàn)”它們。

例如，《孫子算經(jīng)》中一些實際應(yīng)用的算術(shù)問題如下郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（一）［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1994：242244。：

河上蕩杯：“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客。津吏曰：客幾何？婦人曰：二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客幾何？”

百鹿入城：“今有百鹿入城，家取一鹿，不盡；又三家共一鹿，適盡。問：城中家?guī)缀?？?/p>

雞兔同籠：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雞兔各幾何？”

禽獸問數(shù)：“今有獸六首四足，禽二首二足。上有七十六首，下有四十六足，問：禽獸各幾何？”

再如，明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中一些以詩歌來表達(dá)的實際應(yīng)用的算術(shù)問題如下郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（二）［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1994：13781400。：

老人問甲：“有一公公不記年，手持竹杖在門前。借問公公年幾歲？家中數(shù)目記分明。一兩八銖泥彈子，每歲盤中放一丸。日久歲深經(jīng)雨濕，總?cè)换饕荒鄨F(tuán)。秤重八斤零八兩，加減方知得幾年?！保?斤=16兩，1兩=24銖）

蘇武牧羊：“當(dāng)年蘇武去北邊，不知去了幾周年。分明記得天邊月，二百三十五番圓?！保?9年7閏）

排魚求數(shù)：“三寸魚兒九里溝，口尾相銜直到頭。試問魚兒多少數(shù)，請君對面說因由?！保?里=360步，1步=15寸）

房客分銀：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀。七兩分之多四兩，九兩分之少半斤?！保?斤=16兩）

牧童分杏：“牧童分杏各爭競，不知人數(shù)不知杏。三人五個多十枚，四人八枚兩個剩?！?/p>

僧分饅頭：“一百饅頭一百僧，大和三個更無爭，小和三人分一個，大小和尚得幾丁?！?/p>

狐鵬共舞：“今有狐貍一頭九尾，鵬鳥一尾九頭。只云前有七十二頭，后有八十八尾，問二禽獸各若干?！?/p>

龜鱉同池：“三足團(tuán)魚六眼龜，共同山下一深池。九十三足亂浮水，一百二眼將人窺?；虺鰶]，往東西，倚欄觀看不能知。有人算得無差錯，好酒重酌贈數(shù)杯?！?/p>

又如，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中、明代數(shù)學(xué)家吳敬在《九章算法比類大全》中、明代數(shù)學(xué)家王文素在《算學(xué)寶鑒》中相繼記載的一些特殊圖形的面積計算問題如下郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（一）［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1994：10801085；郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（二）［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1994：6269，437445。：

1.今有梭田（如圖2，為菱形），中闊八步，正長十二步，問田幾何。

2.偏梭田（如圖3，為平行四邊形），長四十步，左畔闊二十步，右畔闊十步，問田幾何。

3.今有腰鼓田（如圖4，為兩個梯形的組合），兩頭各廣八步，中廣四步，正長一十二步，問田幾何。

4.三廣田（如圖5，為兩個梯形的組合），一頭廣四步，一頭廣六步，中廣八步，正長一十二步，問田幾何。

5.有曲尺田（如圖6，為兩個梯形的組合），內(nèi)曲十二步，外曲二十六步，兩頭各廣七步，問田幾何。

6.有箭筈田（如圖7，為兩個梯形的組合），兩畔各長八步，中長四步，闊十二步，問田幾何。

7.有箭翎田（如圖8，為兩個梯形的組合），中長八步，東西兩畔各長四步，闊一十二步，問田幾何。

8.四廣田（如圖9，為多個梯形的組合），南廣十四步，南中廣二十一步，北中廣十二步，北廣十六步，長六十步。問：為田幾何？

9.五廣田（如圖10，為多個梯形的組合），南廣十三步，南中廣十八步，正十二步，北中廣十九步，北廣十七步，長六十步。問：為田幾何？

此外，《算法統(tǒng)宗》中給出了很多特殊圖形，這些圖形可以由兩個基本圖形組合或從一個圖形中挖去另一個圖形而形成。據(jù)此，教師可以直接提出很多特殊圖形的面積計算問題。

這里，值得一提的是，中國古代數(shù)學(xué)典籍中有過一些錯誤的面積計算公式，后來被糾正了。例如，北周的甄鸞在《五曹算經(jīng)》中給出了腰鼓田（圖4）面積的算法：取三廣的平均值，乘以正長；四不等田（四邊兩兩不相等的四邊形）面積的算法：取兩組對邊長度的平均值，相乘。此后，楊輝、王文素等人糾正了甄鸞的錯誤。教學(xué)中，教師可以呈現(xiàn)歷史上的一些錯誤的面積計算公式，讓學(xué)生判斷并糾正，從而感悟數(shù)學(xué)的演進(jìn)性。

根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)史料，還可以通過再現(xiàn)式以外的各種方式，改編得到大量數(shù)學(xué)問題。

例如，根據(jù)“雞兔同籠”問題（或“禽獸問數(shù)”問題、“狐鵬共舞”問題、“龜鱉同池”問題、“僧分饅頭”問題，它們本質(zhì)上是一樣的），可以通過條件式改編得到以下問題：

1.已知自行車和三輪車共有32輛，輪子共有75個。問：自行車和三輪車各有幾輛？

2.小明在某個家具店里看到了兩種凳子，一種有三只腳，一種有四只腳。他數(shù)了一下凳子，共有25張；再數(shù)了一下腳，共有90只。問：三只腳和四只腳的凳子各有幾張？

3.育才小學(xué)五年級和六年級共有750名學(xué)生，學(xué)校安排核酸混合檢測，五年級10人共1管，六年級5人共1管，共用了110個試管。問：五、六年級各有多少學(xué)生？

4.一旅游小隊去爬山，上午8時上山，每小時平均行3千米，到達(dá)山頂休息1小時，下山時每小時平均行5千米，下午2時到達(dá)山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？葉麗艷，喻平.學(xué)習(xí)策略的心理學(xué)研究及其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（2）：9。

再如，根據(jù)中國古代的益智游戲工具七巧板（如圖11所示），可以通過自由式編制各類相關(guān)問題：

1.用七巧板分別拼一個三角形、梯形、平行四邊形；

2.組塊1—7的面積分別是整個正方形面積的幾分之幾？

3.組塊1、3和7的面積之和是整個正方形面積的幾分之幾？

4.組塊4、6和7的面積有怎樣的關(guān)系？

5.在七巧板中，找出所有的軸對稱圖形。

6.試用七巧板拼一個新的軸對稱圖形。

三、方法運用方面

中國古代數(shù)學(xué)史為數(shù)的運算及各類算術(shù)問題的求解提供了豐富的素材和多元的方法。

例如，《九章算術(shù)》是世界上最早給出分?jǐn)?shù)四則運算法則的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。其中，分?jǐn)?shù)的加法、減法、乘法和除法分別被稱為“合分”“減分”“乘分”和“經(jīng)分”，它們的運算法則如下：

合分術(shù)：“母互乘子，并以為實。母相乘為法。實如法而一?！眀a+dc=bcac+adac=bc+adac

減分術(shù)：“母互乘子，以少減多，余為實。母相乘為法。實如法而一?！眀a－dc=bcac－

adac=bc－adac

乘分術(shù)：“母相乘為法，子相乘為實。實如法而一。”ba×dc=bdac

經(jīng)分術(shù)：“以人數(shù)為法，錢數(shù)為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之?！眲⒒兆⒎Q：“以法分母乘實，實分母乘法?！盿b÷cd=

adbd÷bcbd=adbc

對乘分術(shù)和經(jīng)分術(shù)，劉徽的解釋用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號表示就是：ba×dc=bcac×bdbc=bdac，ba÷dc=bcac÷adac=bcad。

在分?jǐn)?shù)四則運算的教學(xué)中，教師可以制作微視頻，追溯中國古代的運算法則。在分?jǐn)?shù)乘法和除法的教學(xué)中，教師還可以讓學(xué)生探究：為什么兩個分?jǐn)?shù)相乘，結(jié)果會等于以分子的乘積為分子、分母的乘積為分母的分?jǐn)?shù)？為什么兩個分?jǐn)?shù)相除，結(jié)果會等于除數(shù)的倒數(shù)與被除數(shù)相乘？進(jìn)而將學(xué)生的解釋與古人的方法加以對比。

再如，劉徽在《九章算術(shù)注》中指出，通分是“齊同術(shù)”的一種：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不失本數(shù)也。”而“齊同術(shù)”是一種有著廣泛應(yīng)用的通法：“然則齊同之術(shù)要矣：錯綜度數(shù)，動之斯諧，其猶佩觽解結(jié)，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀(jì)乎?！鳖愃仆ǚ帜菢樱褒R同術(shù)”的基本思想是從分母或分子（可推廣至兩個或多個比的一組對應(yīng)項）的最小公倍數(shù)的角度考慮問題，等比放大分子或分母（保持分?jǐn)?shù)大小或比值不變）。以下是“齊同術(shù)”在解決不同問題時的一些應(yīng)用。

行程問題。如《九章算術(shù)》“均輸章”中的：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧、雁俱起，問：何日相逢？”利用“齊同術(shù)”計算相同天數(shù)中鳧、雁共同飛行的距離：鳧63天飛行南海到北海距離的9倍，雁63天飛行南海到北海距離的7倍，因此，二鳥同時出發(fā)，63天共飛行南海到北海距離的16倍，故從出發(fā)到第一次相逢，需要6316日，即31516日。

工程問題。如《九章算術(shù)》“均輸章”中的：“今有一人一日為牝瓦三十八枚，一人一日為牡瓦七十六枚。僅令一人一日作瓦，牝、牡相半。問：成瓦幾何？”利用“齊同術(shù)”，一人二日制牝瓦76枚、一人一日制牡瓦76枚，故一人三日制牝瓦和牡瓦各76枚，于是一人一日制牝瓦和牡瓦各2513枚。

注水問題。如《九章算術(shù)》“均輸章”中的：“今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問：幾何日滿池？”利用“齊同術(shù)”計算各水渠單獨注水相同日數(shù)的滿池次數(shù)（見表1），可知五渠共同注水15天，滿池次數(shù)為45+16+6+5+3=74，故滿池1次需1574日。

盈虧問題。如《九章算術(shù)》“盈不足章”中的：“今有共買雞，人出九，盈一十一，人出六，不足十六。問：人數(shù)、雞價各幾何？”利用“齊同術(shù)”計算盈虧錢數(shù)相同時每人所出錢數(shù)及所買雞數(shù)，由此算出盈虧平衡時每人所出錢數(shù)及所買雞數(shù)（如圖12所示）。由此，可以算出所買雞數(shù)為1時每人所出錢數(shù)（即人均后的雞價）為21027=709。因此，每人出錢比人均后的雞價多9－709=119時，總錢數(shù)比雞價多11，故人數(shù)為9，雞價為70。

實際上，上文所提《孫子算經(jīng)》中的“河上蕩杯”問題和“百鹿入城”問題（也可歸入《九章算術(shù)》的“均輸章”）、《算法統(tǒng)宗》中的“房客分銀”和“牧童分杏”問題（也可歸入《九章算術(shù)的“盈不足章”）也可用“齊同術(shù)”來解。（1）12人共吃6碗飯、4碗羹、3碗肉，共用13個碗，已知用碗總數(shù)為65，故知人數(shù)為65÷13×12=60。（2）三家先共取三鹿，又共取一鹿，故共取四鹿，已知鹿數(shù)為100，故家數(shù)為100÷4×3=75……

四、公式推導(dǎo)方面

中國古代的多邊形面積理論建立在兩個公理的基礎(chǔ)上。一是長方形面積公式。二是出入相補原理：一個圖形從一處移動到另一處，面積不變；將一個圖形分割成若干部分，每一部分面積之和等于原圖形面積。有了這兩個公理，任意多邊形的面積問題都可以得到解決，因而中國古代的多邊形面積理論是完備的。

例如，《九章算術(shù)》中給出了“圭田”（三角形）面積公式“半廣以乘正從”，即半底乘以高。劉徽的推導(dǎo)方法如下：“半廣知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。”即如圖13，通過“以盈補虛”（即出入相補），將三角形轉(zhuǎn)化為矩形，從而得到三角形面積公式。

類似地，《九章算術(shù)》中還給出了梯形面積公式，其中，直角梯形面積公式為“并兩邪而半之，以乘正從若廣”或“半正從若廣，以乘并”，即上下底之和的一半乘以高或高的一半乘以上下底之和。劉徽注稱：“并而半之者，以盈補虛也?！奔慈鐖D14，通過“以盈補虛”，將直角梯形轉(zhuǎn)化為矩形，從而得到直角梯形面積公式。同樣的方法，可用于一般梯形。

而楊輝在《田畝比類乘除捷法》中還用“補圖”的方法來推求三角形、菱形、梯形的面積，如圖15所示。

因此，教師可以設(shè)計情境，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形、平行四邊形、梯形面積的計算公式，并將學(xué)生的方法與中國古代數(shù)學(xué)家的方法比較，從而讓學(xué)生跨越時空與數(shù)學(xué)家對話，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

熱點透視教育研究與評論小學(xué)教育教學(xué)/2022年11月五、結(jié)語

近年來，HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開始受到越來越多一線教師的關(guān)注，許多教師希望通過數(shù)學(xué)史的融入來提升教學(xué)的質(zhì)量，更好地落實“立德樹人”的目標(biāo)，但在實踐中遇到了很多困難，集中在“融入什么”和“如何融入”兩個問題上。要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要深入學(xué)習(xí)和研究中國古代數(shù)學(xué)史，收集和分析有關(guān)素材，并且運用不同的方式加工和整合。

中國古代數(shù)學(xué)文化博大精深，而本文所舉只是滄海一粟。我們有理由相信，教育取向的中國古代數(shù)學(xué)史研究、中國古代數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐和評價，都將是未來HPM領(lǐng)域的重要課題，也將成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師研修培訓(xùn)的重要主題之一。