IBDP與我國高中數(shù)學(xué)課程比較研究

張萍 曾素樵

摘要：教材在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面扮演著重要的角色。以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材為載體，通過課程標(biāo)準(zhǔn)、課程結(jié)構(gòu)、教材編排、教學(xué)設(shè)計等方面的比較，初步探索了中外高中數(shù)學(xué)教材在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面的異同。 中外高中數(shù)學(xué)教材盡管在部分章節(jié)的內(nèi)容順序和難度要求上存在差異，但均能著眼未來，強調(diào)創(chuàng)新，并且都精心設(shè)置了豐富的數(shù)學(xué)素材，以促進拔尖創(chuàng)新人才的探究實踐活動，從而發(fā)展其創(chuàng)新思維能力。

關(guān)鍵詞：IBDP;高中數(shù)學(xué);課程比較;拔尖創(chuàng)新人才

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年中小學(xué)教師發(fā)展專項立項課題“以‘人人名師’為目標(biāo)構(gòu)建教師發(fā)展共同體的實踐研究”（編號：Jc/2020/05）的階段性研究成果?！鞍渭鈩?chuàng)新人才”是一個具有相對意義的概念，在不同國家、不同地區(qū)、不同行業(yè)、不同時期有不同的內(nèi)涵與外延，表現(xiàn)出不同的特征。德國慕尼黑大學(xué)教授海勒（Kurt A.Heller）指出：“拔尖創(chuàng)新人才就是在某些學(xué)科領(lǐng)域有突出的表現(xiàn)，可以綜合使用有創(chuàng)意的和創(chuàng)新的方式來解決復(fù)雜的問題，所取得的成績能夠被公認且有一定國際競爭力的人才。”江蘇大學(xué)教授陳權(quán)認為：“拔尖創(chuàng)新人才是指具備完善且獨特的人格個性、強烈的事業(yè)心和社會責(zé)任感，且具有豐富的科學(xué)素養(yǎng)和專業(yè)知識、超凡的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，能夠引領(lǐng)和帶動某一專業(yè)領(lǐng)域創(chuàng)造性地發(fā)展，并能為國家和社會發(fā)展作出重大貢獻的杰出人才。”這些表述都將“拔尖創(chuàng)新人才”的內(nèi)涵引向社會貢獻。

學(xué)術(shù)界關(guān)于拔尖創(chuàng)新人才的研究也體現(xiàn)了一些共同的要素，比如良好的個性品質(zhì)、合理的知識結(jié)構(gòu)、完善的能力結(jié)構(gòu)、堅韌的創(chuàng)新意志、超前的創(chuàng)新思維等?？紤]到基礎(chǔ)教育階段特定的研究對象，我們將“拔尖創(chuàng)新人才”定義為：具有合理的知識結(jié)構(gòu)、較強的創(chuàng)新能力和實踐能力及良好的非智力因素的資質(zhì)優(yōu)異的中學(xué)生。對拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，即對資質(zhì)優(yōu)異的學(xué)生進行的適合其個性及能力的教育。

本文比較IBDP與我國高中數(shù)學(xué)課程在課程標(biāo)準(zhǔn)、課程結(jié)構(gòu)、教材編排、教學(xué)設(shè)計等方面的異同，重點關(guān)注拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在基本理念部分指出：“提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展?！痹摌?biāo)準(zhǔn)還重點指出我國高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一是幫助學(xué)生樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學(xué)精神，不斷提高實踐能力和創(chuàng)新意識。

IBDP數(shù)學(xué)分析和方法的高水平課程大綱指出，數(shù)學(xué)和技術(shù)于數(shù)據(jù)化時代的多個領(lǐng)域中扮演著越來越重要的角色，因此，課程強調(diào)應(yīng)用的數(shù)學(xué)專題或者數(shù)學(xué)建模。為了幫助學(xué)生打下扎實的基礎(chǔ)，課程還包括傳統(tǒng)的大學(xué)先修的數(shù)學(xué)內(nèi)容，比如微積分和概率。課程還強調(diào)了技術(shù)的使用，讓學(xué)生探索和建立數(shù)學(xué)模型。由此可見，IBDP數(shù)學(xué)課程強調(diào)在真實的問題情境中解決真實的問題，強調(diào)現(xiàn)代技術(shù)對學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的比較

為了讓拔尖創(chuàng)新人才有發(fā)展數(shù)學(xué)興趣、展示數(shù)學(xué)才能的機會，蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材（根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》編寫）提供了選擇性必修課程，主要包括四個主題，即函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動。其內(nèi)容在難度和學(xué)業(yè)要求上，比必修課程有很大的提升。比如，數(shù)學(xué)建模與探究活動，可以擬訂新的課題，也可以在必修課程研究課題的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入研究，但需要說明與必修課程中研究的差異，深入研究的新思路、新方法和得到的新結(jié)果。

學(xué)校根據(jù)學(xué)生的情況，可以設(shè)置選修課程，分為A、B、C、D、E五類（詳見表1）。

這些課程的設(shè)置有利于加速拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)進程。比如，數(shù)學(xué)建模與探究活動，要求學(xué)生經(jīng)歷完整的選題、開題、做題、結(jié)題環(huán)節(jié)，研究報告提倡采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作實物或研究論文等多種形式，為學(xué)生今后形成創(chuàng)新成果打好基礎(chǔ)。選修課程尤為注重各類拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，可以讓學(xué)生加深對自己的了解，更快地進入自身的優(yōu)勢領(lǐng)域?qū)W習(xí)。比如，大學(xué)數(shù)學(xué)先修課程，可以縮短有數(shù)學(xué)才能的學(xué)生基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)時間，讓他們盡快進入更前沿的領(lǐng)域?qū)W習(xí)。

IBDP數(shù)學(xué)課程分為兩個方向：AA（Analysis and Approaches，即分析和方法）和AI（Application and Interpretation，即應(yīng)用和闡釋）。每個方向都分HL（Higher Level，高水平）和SL（Standard Level，標(biāo)準(zhǔn)水平）兩個水平，HL包含SL的所有內(nèi)容。AA方向偏向于純數(shù)學(xué)，注重邏輯和理論基礎(chǔ)及證明;AI方向偏向于應(yīng)用，注重數(shù)學(xué)與實際世界的聯(lián)系、用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。

要特別提及，課程設(shè)置了一個“工具欄”和數(shù)學(xué)探索性論文的寫作，教學(xué)課時為30小時，強調(diào)問題解決和數(shù)學(xué)模型能力，要求寫一篇數(shù)學(xué)領(lǐng)域的探索性小論文。

從上述課程的設(shè)置可以看出，IBDP數(shù)學(xué)課程注重對不同層次、不同特長的學(xué)生的培養(yǎng)，讓每個學(xué)生都能得到長足發(fā)展。對于拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，每個方向的高水平都涵蓋了很多探索問題、實際問題以及理論問題;尤其是小論文的寫作，從選題到成文全部由學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成，旨在全面培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

三、數(shù)學(xué)教材編排的比較

蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材在每一章后面都設(shè)置了“問題與探究”（或“應(yīng)用與建?！保┖汀伴喿x”兩部分內(nèi)容。比如，“問題與探究”（或“應(yīng)用與建?！保┌凹线\算的運算律”“基本不等式的推廣”“鋼琴與指數(shù)曲線”“正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的疊加”“復(fù)數(shù)的開方”“擬柱體體積公式”“平面方程”等，“閱讀”包含“有限集與無限集”“有趣的悖論”“歐拉”“向量的向量積”“楊輝三角”“高斯與概率統(tǒng)計”等。各章節(jié)的習(xí)題部分也設(shè)置了難度相對較高的“探究拓展”習(xí)題。這樣的設(shè)計，一方面，在知識深度上為拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)提供了素材;另一方面，通過數(shù)學(xué)史尤其是數(shù)學(xué)家的鉆研精神的滲透，在形成良好的個性品質(zhì)方面促進了拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材還在每一冊的最后設(shè)置了“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究”專題，包含“案例分析”和“課題研究”兩個部分。與以往相比，新教材增加了數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的比例，體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的新課標(biāo)理念。數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題;主要包含發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題等環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)蘊含了拔尖創(chuàng)新人才應(yīng)該具備的合作交流、實踐探索和創(chuàng)新等綜合能力。數(shù)學(xué)建模活動的開展，能讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型、解決問題，是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的一種良好途徑。

IBDP Mathematics AA HL教材IBDP Mathematics AA HL教材指Haese Mathematics出版社根據(jù)IBO（國際文憑組織）數(shù)學(xué)分析和方法高水平課程大綱（2019年8月開始教學(xué)使用，2021年5月第一次評價）要求編寫的Mathematics Analysis and Approaches HL 2（2019年第1版）。每一章的開篇都是一個Opening problem（開放問題），設(shè)置實際背景，提出若干相關(guān)數(shù)學(xué)問題。在講解相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容時還設(shè)置了History note（歷史筆記），介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史和相關(guān)數(shù)學(xué)家。每章都有若干Investigation（探索）和Activity（活動），還設(shè)置了Puzzle（智力游戲）、Discussion（討論）以及IBDP特有的Theory of knowledge（知識論）。這些設(shè)置豐富了學(xué)生的閱讀，為拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)提供了學(xué)科素材以及思考問題的途徑和方向。

四、數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的比較

拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是一個長期、系統(tǒng)、有挑戰(zhàn)性、需要多方面協(xié)作的任務(wù)，這個任務(wù)最終要落到日常的教學(xué)工作中。下面，以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材中“指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”為例，對比教師在培養(yǎng)學(xué)生探究質(zhì)疑能力方面不同的教學(xué)設(shè)計。

【案例1】 蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”教學(xué)片段

師如何求y=ax的導(dǎo)數(shù)？

生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求，但是有困難。

師你打算如何研究這個問題？

生可以借助計算器，從特殊的、熟悉的指數(shù)函數(shù)開始研究。

師在研究f（x）=2x的導(dǎo)數(shù)過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？接下來，你覺得要做什么？

生根據(jù)定義，ΔyΔx=2（x+Δx）-2xΔx=2x·2Δx-1Δx，當(dāng)Δx→0時，ΔyΔx=2x·2Δx-1Δx趨近于什么？當(dāng)Δx=0.001時，2Δx-1Δx≈0.69339;當(dāng)Δx=0.0001時，2Δx-1Δx≈0.69317;當(dāng)Δx=0.00001時，2Δx-1Δx≈0.69314。由此可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)Δx→0時，2Δx-1Δx趨近于一個確定的常數(shù)，約等于0.69314，得出結(jié)論（2x）′=0.69314×2x。

師接下來，類比之前研究指數(shù)函數(shù)圖像的方法，再多取幾個不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)來研究。

（學(xué)生研究。教師組織匯總，得出表2。）

師根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生當(dāng)?shù)讛?shù)為e時，對應(yīng)的值為1，恰好是以e為底的e的對數(shù)。

生當(dāng)?shù)讛?shù)分別為2和12時，對應(yīng)的值互為相反數(shù)，也說明該數(shù)值與對數(shù)有關(guān)。猜想：（ax）′=axln a（a>0，a≠1）。

師猜想一定正確嗎？

生猜想需要驗證，可以再取不同的指數(shù)函數(shù)驗證，也可以嘗試證明。

（教師鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生查閱相關(guān)資料，嘗試證明猜想。）

【案例2】 IBDP Mathematics AA HL教材“17.E指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”教學(xué)片段

師如何求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？

生利用導(dǎo)數(shù)的定義。

師利用導(dǎo)數(shù)的定義是對的，我們還要注意借助幾何直觀。來看具體的例子：f（x）=ex。求它在x=0處的導(dǎo)數(shù)，就相當(dāng)于求limh→0eh-1h。怎么求？

生可以借助計算器，選取若干h的值，計算eh-1h的值。

師分解問題：h→0意味著什么？

生h從左側(cè)和右側(cè)趨近于0。

師選取h的值時，應(yīng)該正數(shù)和負數(shù)都選取。趨近意味著取值時，h的絕對值要盡量接近0。選取h=0.1、0.01、0.001、00001、0.00001、-0.1、-0.01、-0001、-0.0001、-0.00001，計算eh-1h的值。觀察結(jié)果，給出猜想：limh→0eh-1h=1。從而得出結(jié)論：ddxex=（ex）′=ex。

生利用e的定義limn→∞1+1nn=e，用代數(shù)方法推導(dǎo)出上述結(jié)果。

生利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，大致判斷指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的圖像。

師接下來，從底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出底數(shù)為a的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們需要做什么？

……

師上述結(jié)果的得出，建立在對極限的直觀認識上，通過特殊數(shù)值給出猜想，通過幾何直觀給出猜想。今后，還需要數(shù)學(xué)上的嚴格證明。這是對目前結(jié)論的認識。

兩個案例都注重數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。比如如何研究這個問題，就是提出了研究問題的一般思路和方法。拔尖創(chuàng)新人才善于全面思考問題，綜合使用有創(chuàng)意的和創(chuàng)新的方式解決復(fù)雜的問題。在平時的教學(xué)中，不斷強化學(xué)生全面審視和評判問題和方法的意識，正是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的可靠途徑。兩個案例也都體現(xiàn)了現(xiàn)代技術(shù)手段的使用對學(xué)生理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助。大數(shù)據(jù)時代，學(xué)生應(yīng)該有意識地應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)手段，以擺脫繁雜的計算，更加關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)。兩個案例還都強調(diào)了對導(dǎo)數(shù)公式嚴格證明的思考，這進一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力。

兩個案例各有側(cè)重。蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材對導(dǎo)數(shù)定義的處理是幾何直觀和數(shù)值認識，因此，案例中對指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解主要是數(shù)值認識，通過多個例子歸納總結(jié)出猜想，后續(xù)學(xué)習(xí)中主要是應(yīng)用結(jié)論分析函數(shù)。而根據(jù)IBDP 數(shù)學(xué)課程大綱要求，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了極限的非正式定義、導(dǎo)數(shù)的定義，所以，案例中強調(diào)了指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)推導(dǎo)，只是在遇到求極限的問題時借助了數(shù)值分析給出猜測，進一步的學(xué)習(xí)中需要數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。

五、幾點啟示

中外高中數(shù)學(xué)課程在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面有哪些共同的追求，又有哪些不同的視角？分享幾點啟示。

（一）著眼未來，強調(diào)創(chuàng)新

“毫無疑問，創(chuàng)造力是最重要的人力資源。沒有創(chuàng)造力，就沒有進步，我們就會永遠重復(fù)同樣的模式?！睕]有能獨立思考和獨立判斷的有創(chuàng)造力的個人，社會就不可能向上發(fā)展。因此，從世界范圍來看，無論發(fā)達國家還是發(fā)展中國家，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才都是教育的重要目標(biāo)之一。從本文的分析中也可以看到，無論蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材還是IBDP Mathematics AA HL教材，都非常重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。也就是說，在培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的觀念上，它們具有一致性。

（二）課程豐富，欄目新穎

從蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材的課程設(shè)置和內(nèi)容結(jié)構(gòu)的比較中不難發(fā)現(xiàn)，中外課程的設(shè)置都能針對不同層次水平的學(xué)生，提供相應(yīng)的課程選擇。比如，在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面，兩種教材都配置了高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容。而為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勇氣，兩種教材在欄目設(shè)計方面均融入了很多新穎的、有趣的、開放的內(nèi)容以及數(shù)學(xué)文化。這些分層次的課程內(nèi)容和新穎的欄目設(shè)置，能為資質(zhì)優(yōu)異的學(xué)生創(chuàng)造更適合其個性發(fā)展及能力提升的教育條件。

（三）探究實踐，發(fā)展思維

經(jīng)過對比，我們發(fā)現(xiàn)蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材不僅呈現(xiàn)了豐富的背景材料、多樣化的探究性問題，還為拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)提供了充足的實踐素材，通過數(shù)學(xué)建?；蜓芯啃詫W(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)學(xué)生的探究實踐能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。數(shù)學(xué)建模是一項具有創(chuàng)造性的活動，既具有一定的理論性，又具有較強的實踐性。在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生獨立、自覺地應(yīng)用所給的條件，尋求解決問題的最佳方案，可以培養(yǎng)想象力、直覺思維能力、轉(zhuǎn)換能力、構(gòu)造能力、邏輯思維能力等，這些數(shù)學(xué)能力正是創(chuàng)造性思維最基本的特征?？梢?，實施數(shù)學(xué)建模的教學(xué)是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的重要舉措。

（四）要求不同，落實有異

盡管蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材在很多方面有相似之處，但在許多知識點要求方面仍存在著一定的差異。比如，前述教學(xué)設(shè)計的對比中，IBDP Mathematics AA HL教材要求掌握“極限”的概念，對指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，不僅要通過大數(shù)據(jù)歸納，更要用定義證明;蘇教版高中數(shù)學(xué)教材因為不涉及“極限”概念，只要求在數(shù)據(jù)探究的基礎(chǔ)上感受、了解。當(dāng)然，即使是類似的內(nèi)容要求，要真正落實拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，也需要教師在日常的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實踐中有意識地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力。

教育是創(chuàng)新的源頭，教學(xué)是教育的一部分，教材是教學(xué)的依據(jù)。教材在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面扮演著重要的角色。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材和IBDP Mathematics AA HL教材為載體，初步探索了中外高中數(shù)學(xué)課程在拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面的異同。我們發(fā)現(xiàn)，中外高中數(shù)學(xué)課程無論是在宏觀的課程理念、課程設(shè)置方面，還是在微觀的教材欄目、教學(xué)設(shè)計方面，都存在著極大的相通之處，只是在某些具體章節(jié)的內(nèi)容順序和難度要求上有所差異。比較的意圖是期望取長補短，將更多、更好的元素融進我們的教材編寫和教學(xué)設(shè)計中，提升師生的創(chuàng)新意識，努力為國家培養(yǎng)更多的拔尖創(chuàng)新人才。

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