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    基于強(qiáng)化基礎(chǔ)和素養(yǎng)導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)備考策略

    2022-05-26 10:23:10巨小鵬
    關(guān)鍵詞:基本問(wèn)題數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)

    摘要:自2017年版新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái),數(shù)列的考查方向更明確,內(nèi)容更清晰,文章對(duì)新舊課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)列教學(xué)要求做了簡(jiǎn)單分析,通過(guò)對(duì)2017-2021年全國(guó)卷中數(shù)列解答題知識(shí)詳細(xì)考點(diǎn)分析,歸納出了六種基本問(wèn)題并做了經(jīng)典試題分析,基于此給出了備考復(fù)習(xí)建議.

    關(guān)鍵詞:數(shù)列;課程標(biāo)準(zhǔn);基本問(wèn)題;復(fù)習(xí)建議

    中圖分類(lèi)號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2022)13-0021-05

    數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)之一,是與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的內(nèi)容之一,在研究和學(xué)習(xí)過(guò)程中,從知識(shí)的生成、生發(fā)、遷移、重組、融合和創(chuàng)新上培養(yǎng)學(xué)生思維能力和綜合素養(yǎng).依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn),數(shù)列模塊屬于選擇性必修課程主題——函數(shù)的內(nèi)容,作為一類(lèi)特殊的函數(shù),具有遞推規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具.

    1 精準(zhǔn)領(lǐng)會(huì)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求

    1.1 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求區(qū)別

    新課標(biāo)增加了通過(guò)數(shù)學(xué)中的實(shí)例了解數(shù)列的概念;要求通過(guò)生活中的實(shí)例理解等差(比)數(shù)列的概念,強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,突顯了數(shù)列的應(yīng)用性,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值;增加了“理解等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系”,對(duì)等差(比)數(shù)列提出了更高的要求;新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍限于“數(shù)列”中的一些簡(jiǎn)單命題.

    1.2 兩了解、四理解和兩體會(huì)

    了解:數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式);數(shù)列是一種特殊函數(shù);數(shù)學(xué)歸納法的原理.

    理解:等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系;等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

    體會(huì):等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系;等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

    重點(diǎn):提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng).

    2 高考考情統(tǒng)計(jì)分析

    基本問(wèn)題高考卷基本問(wèn)題高考卷

    等差(比)數(shù)列判定

    2021年乙卷理(1)、2021年甲卷文(2)

    2019年新課標(biāo)Ⅱ理(1)、2018年新課標(biāo)Ⅰ(2)

    2017年新課標(biāo)Ⅲ文(2)

    數(shù)列與不等式

    2021年乙卷文(2)

    2021年新高考Ⅱ(2)

    2019年新課標(biāo)Ⅰ文(2)

    求通項(xiàng)公式

    2021年乙卷理(2)、2021年乙卷文(1)

    2021年甲卷文(2)、2021年新高考Ⅲ(1)

    2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(1)、2019年新課標(biāo)Ⅰ文(1)

    2019年新課標(biāo)Ⅱ文(1)、2019年新課標(biāo)Ⅱ理(2)

    2018年新課標(biāo)Ⅰ文(3)、2018年新課標(biāo)Ⅱ理(1)

    2018年新課標(biāo)Ⅲ文(1)、2017年新課標(biāo)Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ文(1)

    求前n項(xiàng)和

    2021年新高考Ⅰ(2)

    2020年新課標(biāo)Ⅰ理(2)

    2020年新課標(biāo)Ⅲ文理(2)

    2019年新課標(biāo)Ⅱ文(2)

    2018年新課標(biāo)Ⅲ文(2)

    2017年新課標(biāo)ⅡⅢ文(2)

    數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題

    2021年新高考Ⅰ

    結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

    2021年甲卷理

    由統(tǒng)計(jì)可以看出,

    (1)十八個(gè)題中,有十五道題涉及求數(shù)列通項(xiàng)公式,占比83.3%,求數(shù)列基本量計(jì)算比重較大.

    (2)求數(shù)列前n項(xiàng)和有十二道題,占比67%,考查頻率較高,并且一般情況下通項(xiàng)公式處于第一問(wèn),求和處于第二問(wèn)位置.

    (3)考查等差(比)數(shù)列的判定或證明,有五道題.

    (4)近幾年數(shù)列與不等式以及函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題也比較多,數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題即交叉遞推關(guān)系源自于分段函數(shù),結(jié)合數(shù)列特征,看似復(fù)雜,其實(shí)不難.

    (5)從2021年開(kāi)始出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題,表現(xiàn)出更多的開(kāi)放性和靈活性.

    3 幾個(gè)基本問(wèn)題以及經(jīng)典試題分析

    3.1 等差(比)數(shù)列的判定

    例1(2021年甲卷文)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列Sn是等差數(shù)列,證明:an是等差數(shù)列.

    證明因?yàn)镾n是等差數(shù)列,

    設(shè)公差d=S2-S1=a1,

    所以Sn=a1+(n-1)a1=na1.

    則Sn=a1n2.

    當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2na1-a1,

    當(dāng)n=1時(shí),滿足an=2na1-a1,

    故an的通項(xiàng)公式an=2na1-a1.

    所以an是以a1為首項(xiàng),2a1為公差的等差數(shù)列.

    總結(jié)提升判斷等差(比)數(shù)列的方法:一是定義法,an+1-an(或an+1an)為一個(gè)常數(shù);二是等差(比)中項(xiàng)公式法,其本質(zhì)還是公式法;三是函數(shù)法,an=kn+b(即為關(guān)于n的一次函數(shù)).需要注意的是an+1=qan和a2n=an-1an(n≥2)都是數(shù)列為等比數(shù)列的必要不充分條件,因?yàn)橛锌赡芨黜?xiàng)為0,并且要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)公式時(shí),一定要分類(lèi)討論n=1和n≥2兩種情況.

    3.2 求等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式

    例2(2021年乙卷理)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積,已知2Sn+1bn=2.

    (1)證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;

    (2)求an的通項(xiàng)公式.

    (1)證法1因?yàn)閎n=S1·S2·…·Sn-1·Sn,

    于是bn-1=S1·S2·…·Sn-1(n≥2).

    則bnbn-1=Sn.

    因?yàn)?Sn+1bn=2,

    所以bn-bn-1=12(n≥2).

    當(dāng)n=1時(shí),S1=b1=32.

    所以數(shù)列{bn是以b1=32為首項(xiàng),以d=12為公差的等差數(shù)列.

    證法2因?yàn)?Sn+1bn=2,則bn=Sn2Sn-2,且Sn≠0,bn≠0,Sn≠1.

    又因?yàn)閎n=S1·S2·…·Sn-1·Sn=Sn·bn-1,

    所以bn-1=bnSn=12Sn-2(n≥2).

    則bn-bn-1=12,同上.

    證法3可知b1=32,b2=2,b3=52.

    猜想{bn是以b1=32為首項(xiàng),以d=12為公差的等差數(shù)列,bn=12n+1.

    用數(shù)學(xué)歸納法證明略.

    (2)由(1)可得,

    bn=12n+1,Sn=n+2n+1.

    當(dāng)n=1時(shí),a1=32,

    當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-1n(n+1),

    顯然對(duì)于n=1不成立,所以an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.

    評(píng)注本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系,第一問(wèn)也可以由2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn2bn-1=bn,得到2b12b1-1·2b22b2-1·…·2bn+12bn+1-1=bn+1,進(jìn)而得到2bn+12bn+1-1=2bn2bn-1.此題新穎,有新定義的味道.熟練掌握前n項(xiàng)和,積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系,消和(積)得到項(xiàng)(或項(xiàng)的遞推關(guān)系),或者消項(xiàng)得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要思想方法.

    總結(jié)提升求數(shù)列通項(xiàng)公式方法有(1)定義公式法;

    (2)累加法;(3)累積法;

    (4)已知Sn求an,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2;(5)倒數(shù)構(gòu)造法;(6)構(gòu)造法或拼湊法等.

    3.3 求數(shù)列的前n項(xiàng)和

    例3(2017年新課標(biāo)Ⅲ文)設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

    (1)求an的通項(xiàng)公式;

    (2)求數(shù)列an2n+1 的前n項(xiàng)和.

    解析(1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n,則當(dāng)n≥2時(shí),a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

    所以(2n-1)an=2.

    即an=22n-1(n≥2).

    當(dāng)n=1時(shí),a1=2,上式也成立,故an=22n-1.

    (2)an2n+1=2(2n+1)(2n-1)

    =12n-1-12n+1,

    數(shù)列an2n+1的前n項(xiàng)和為(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)=1-12n+1=2n2n+1.

    評(píng)注本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,比較基礎(chǔ).

    總結(jié)提升數(shù)列求和方法有:(1)求和公式法;(2)倒序相加法;(3)分組求和法;(4)錯(cuò)位相減法;(5)裂項(xiàng)相消法;(6)并項(xiàng)相加法求和,例如{(-1)n-1·an}求和,需要對(duì)n進(jìn)行奇偶分類(lèi)討論,又例如例4;(7)待定系數(shù)法.

    3.4 數(shù)列中奇偶項(xiàng)問(wèn)題

    例4(2021年新高考Ⅰ卷)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù).

    (1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;

    (2)求an的前20項(xiàng)和.

    解析(1)可知b1=2,b2=5.

    又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2,

    故a2k+2=a2k+3.

    即bn+1=bn+3.

    所以bn為以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.

    故bn=3n-1(n∈N*).

    (2)方法1設(shè)an的前20項(xiàng)和為S20=a1+a2+a3+…+a20,

    因?yàn)閍1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,

    所以S20=2(a2+a4+…+a20)-10=2(b1+b2+b3+…+b20)-10=300.

    方法2由(1)知a2n=3n-1.

    則a2n-1=3n-2(n∈N*).

    所以S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=300.

    方法3(累加法)易知an-an-1=3-(-1)n2,an-1-an-2=3-(-1)n-12,…,a2-a1=3-(-1)12.

    所以an=6n-3-(-1)n4.

    即S20=300.

    評(píng)注對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系,我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系,再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來(lái)求解,或者直接求通項(xiàng)公式,并項(xiàng)求和.此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)還是等差(比)數(shù)列問(wèn)題.

    關(guān)聯(lián)試題1(2019年天津卷文科18題)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3 ,b3=4a2+3.

    (1)求an和bn的通項(xiàng)公式;

    (2)設(shè)數(shù)列cn滿足cn=1,n為奇數(shù),bn2,n為偶數(shù),求a1c1+a2c2+…+a2nc2nn∈N*.

    關(guān)聯(lián)試題2(2020年天津卷19題)已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5a4-a3,b5=4b4-b3.

    (1)求an和bn的通項(xiàng)公式;

    (2)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求證:SnSn+2<S2n+1n∈N*;

    (3)對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)cn=

    3an-2bnanan+2,n為奇數(shù),an-1bn+1,n為偶數(shù).求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和.

    3.5 數(shù)列與不等式

    例5(2021年全國(guó)乙卷理)設(shè)an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.

    (1)求an和bn的通項(xiàng)公式;

    (2)記Sn和Tn分別為an和bn的前n項(xiàng)和.證明:Tn<Sn2.

    思路分析(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9q2-6q+1=0,解方程即可;(2)利用公式法、錯(cuò)位相減法求出Sn,Tn,則Tn-Sn2=34(1-13n)-n2×3n-34(1-13n)=-n2×3n<0,所以Tn<Sn2.

    評(píng)注本題主要考查數(shù)列的求和,涉及到等差數(shù)列的性質(zhì),錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,其中證明不等式時(shí)采用作差法、作商法或者放縮法等,要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈活選擇,關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)得更為簡(jiǎn)潔.

    3.6 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

    例6(2021年全國(guó)甲卷理)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為an的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

    ①數(shù)列an是等差數(shù)列;

    ②數(shù)列Sn是等差數(shù)列;

    ③a2=3a1.

    思路分析選①②作條件證明③時(shí),可設(shè)出Sn,結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,利用an是等差數(shù)列可證a2=3a1;選①③作條件證明②時(shí),根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出Sn,結(jié)合等差數(shù)列定義可證;選②③作條件證明①時(shí),設(shè)出Sn=an+b(a>0),結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,根據(jù)a2=3a1可求b,然后可證an是等差數(shù)列,方法類(lèi)似例1.

    評(píng)注這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn),求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件,結(jié)合相關(guān)公式,逐步推演,等差數(shù)列的證明通常采用定義法、等差中項(xiàng)法或者函數(shù)法.

    4 蘊(yùn)含思想方法分析

    數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,運(yùn)用這些思想方法提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,提高解題能力.

    4.1 函數(shù)與方程思想

    等差(比)數(shù)列基本量計(jì)算,即a1,n,d(q),an和Sn,運(yùn)用“知一求二”,即建立方程求解;然而數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集或正整數(shù)集的子集上的函數(shù),通過(guò)函數(shù)形式和函數(shù)思想,解決數(shù)列問(wèn)題,主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是借助初等函數(shù)的性質(zhì),求值、解(證明)不等式、討論參數(shù)范圍問(wèn)題;二是通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù),把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化至討論函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題.

    4.2 分類(lèi)討論思想

    數(shù)列中離不開(kāi)分類(lèi)討論思想,可以考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性.關(guān)鍵一是明確引起分類(lèi)的原因;二是明確確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)或方法;三是注意分類(lèi)結(jié)論的整合,有分有合、先分后合是分類(lèi)討論的本質(zhì)屬性.比如數(shù)列奇偶問(wèn)題.

    4.3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

    從復(fù)雜到簡(jiǎn)單,從未知到已知,是解題思維必經(jīng)之路.等價(jià)轉(zhuǎn)化就會(huì)顯得尤為重要,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化類(lèi)型通過(guò)換元、構(gòu)造或者待定系數(shù)法等把復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化至熟悉的等差(比)數(shù)列,比如2021年乙卷理科19題,2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科19題,2018年新課標(biāo)Ⅰ卷文科17題.

    4.4 數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)三個(gè)方面,一是以形助數(shù),即借助直觀性闡述數(shù)之間的聯(lián)系;二是以數(shù)助形,即借助數(shù)的精確性闡述形的屬性;三是數(shù)形互助,即直觀與形的相互轉(zhuǎn)化,最終達(dá)到解決問(wèn)題的目的.研究數(shù)列通項(xiàng)及其求和公式的函數(shù)特征,函數(shù)圖象,或者建立方程以及方程曲線,以此借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.比如2018年全國(guó)Ⅱ卷理科17題.

    除了以上數(shù)學(xué)思想還會(huì)用到類(lèi)比思想,比如等差(比)數(shù)列與指對(duì)函數(shù)性質(zhì)類(lèi)比;建模思想解決實(shí)際問(wèn)題,如2019年全國(guó)Ⅱ卷理科21壓軸題;特殊與一般思想完成數(shù)學(xué)歸納法的推理與證明,如2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科17題等.

    5 教學(xué)建議

    雖然近幾年數(shù)列在全國(guó)卷中難度不大,但是也要引起重視,因?yàn)檎憬?、北京卷等高考?shù)列壓軸題居多,不排除難度增加的可能,畢竟導(dǎo)數(shù)和解析幾何壓軸已經(jīng)很多年了,2021年數(shù)列題明顯一見(jiàn)清新,考查靈活,難度自然有所提升.數(shù)列基本量運(yùn)算和等差(比)數(shù)列性質(zhì)在選擇填空考查比較多,對(duì)于解答題備考需要注意:一是依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求對(duì)數(shù)列進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí);二是回歸教材,注重?cái)?shù)列中六類(lèi)基本問(wèn)題的生成和原理,特別是求通項(xiàng)公式和求和,并加強(qiáng)運(yùn)算能力;三是加強(qiáng)思想和方法的理解,特別是講題講方法、講思想;四是加強(qiáng)用函數(shù)觀點(diǎn)思考數(shù)列問(wèn)題;五是加強(qiáng)基本知識(shí)和方法的總結(jié),方法靈活多變,但是萬(wàn)變不離其宗,比如2021年乙卷;六是利用規(guī)律解決較為抽象復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題.

    參考文獻(xiàn):

    [1]

    中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)\[M\].北京:人民教育出版社,2018.

    \[2\] 郭慧清,黎治國(guó).2021年高考“數(shù)列”專(zhuān)題命題分析\[J\].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2021(Z4):59-67.

    [責(zé)任編輯:李璟]

    收稿日期:2022-02-05

    作者簡(jiǎn)介:巨小鵬,陜西省漢中人,碩士,中學(xué)二級(jí)教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    [FQ)]

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