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    2022屆高考模擬考試文科數(shù)學(xué)試題(本試卷適合老高考地區(qū)文科考生使用)

    2022-05-26 10:23:10李昌成
    關(guān)鍵詞:雙曲線零點(diǎn)小題

    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,時(shí)量120分鐘.滿分150分.

    第Ⅰ卷

    一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

    1.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>4},則M∪N=().

    A.{x|x<-5或x>-3}

    B. {x|-5<x<4}

    C. {x|-3<x<4}

    D. {x|x<-3或x>5}

    2.已知a=(3,-1),b=(-1,2),c=2a+b,則c=( ).

    A.(6,-2)B.5,0

    C. (-5,0)D. 0,5

    3.(1+i)3(1-i)2=().

    A.1+iB.1-iC. -1+iD. -1-i

    4.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:10=5+5=3+7(其中3+7與7+3算同一種方法),在大于4且不超過(guò)16的偶數(shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的偶數(shù),則兩個(gè)偶數(shù)都可以有兩種方法表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和的概率為().

    A.45B.35C. 12D. 15

    5.一個(gè)總體中有600個(gè)個(gè)體,隨機(jī)編號(hào)為001,002,…,600,利用系統(tǒng)抽樣方法抽取容量為24的一個(gè)樣本,總體分組后在第一組隨機(jī)抽得的編號(hào)為006,則在編號(hào)為051~125之間抽得的編號(hào)為().

    A.056,080,104B.054,078,102

    C. 054,079,104D. 056,081,106

    6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈().

    A.1盞B.3盞C. 5盞D. 9盞

    7.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象(部分)如圖1所示,則fx的解析式是( ).

    圖1

    A.fx=2sinx+π6x∈R

    B.fx=2sin2x+π6x∈R

    C. fx=2sinx+π3x∈R

    D. fx=2sin2x+π3x∈R

    8.毛澤東在《七律二首·送瘟神》中有句詩(shī)為“坐地日行八萬(wàn)里,巡天遙看一千河.”前半句的意思是:人坐在地面上不動(dòng),由于地球的自轉(zhuǎn),每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過(guò)八萬(wàn)里路程.詩(shī)中所提到的八萬(wàn)里,指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯θ(0°<θ<90°)(即地球球心O和該地的連線與赤道平面所成的角為θ,且sinθ=74.若將地球近似看作球體,則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過(guò)的路程約為().

    A.6萬(wàn)里B.27萬(wàn)里C. 26萬(wàn)里D. 7萬(wàn)里

    9.已知點(diǎn)P,Q分別為圓x2+(y-3)2=1和橢圓y225+x216=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是().

    A.6B.7C. 8D. 9

    10.函數(shù)f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值為().

    A.1B.2C. 12D. 13

    11.圖2網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為().

    圖2

    A.7π+8+42B.7π+4+42

    C. 5π+8+42D. 5π+4+42

    12.已知函數(shù)f(x)=(12)x-14,x<1,log2(x+3),x≥1,g(x)=ax2+2x+a-1.若對(duì)任意的x1∈R,總存在實(shí)數(shù)x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為().

    A.[0,54]B.[0,54)

    C. (-∞,54)D. [54,+∞)

    第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

    二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)

    13.等比數(shù)列an中,4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則公比q=.

    14.函數(shù)y=a27x3+1的圖象與直線y=x相切,則a=.

    15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-1≥0,x-y+1≥0,3x-y-3≤0,則z=2x+y的最大值為.

    16.如圖3,雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,A1,A2為雙曲線的頂點(diǎn),B1,B2為雙曲線虛軸的端點(diǎn),F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn),延長(zhǎng)B1A2與F2B2交于點(diǎn)P,若∠B1PB2為銳角,則該雙曲線的離心率的取值范圍是.

    圖3

    三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

    17.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足ab+ba=sin2CsinAsinB-1.

    (1)求角C.

    (2)若BC=4,△ABC的中線CD=2,求△ABC的面積.

    18.(本小題滿分12分)如圖4,在三棱柱ABC-A1B1C1中,O為AB的中點(diǎn),CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

    圖4

    (1)證明:AB⊥平面A1OC;

    (2)若AB=CB=2,OA1⊥OC,求三棱錐A1-ABC的體積.

    19.(本小題滿分12分)十九大提出:堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),做到精準(zhǔn)扶貧,某省某科研機(jī)構(gòu)幫助某貧困縣的農(nóng)村村民真正脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,積極引導(dǎo)該縣農(nóng)民種植一種名貴中藥材,從而大大提升了該村村民的經(jīng)濟(jì)收入.2019年年底,該機(jī)構(gòu)從該縣種植了這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了n戶,統(tǒng)計(jì)了他們2019年因種植中藥材所獲純利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)的情況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項(xiàng)一年最多增加11萬(wàn)元),并分成以下幾組:1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表所示,已知樣本中數(shù)據(jù)落在9,11這一組的頻率為0.1.

    純利潤(rùn)1,33,55,77,99,11頻數(shù)2030a4020

    (1)求n和表中a的值;

    (2)試估計(jì)該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤(rùn)的平均值和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表).

    20.(本小題滿分12分)已知F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且QP·QF=FP·FQ.

    (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.

    (2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與曲線C相切于點(diǎn)M,且與直線x=-1相交于點(diǎn)N,試問(wèn):在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)E,使得以MN為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=xsinx+cosx-1,g(x)=14x2-f(x).

    (1)求f(x)在區(qū)間(0,2π)上的極值點(diǎn);

    (2)證明:g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

    請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).

    22.(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosθ,y=2sinθ,若曲線C2與曲線C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

    (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

    (2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=π3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.

    23.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

    (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;

    (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.

    參考答案

    一、選擇題

    1.A2.B3.D4.D5.D6.B7.C8.A9.D10.B11.C12.A

    二、填空題

    13.214.415.716.(1,1+52)

    三、解答題

    17.(1)由正弦定理及已知條件,得ab+ba=c2ab-1.兩邊同乘ab,得a2+b2-c2=-ab.

    由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=-12.

    因?yàn)?<C<π,所以C=2π3.

    (2)方法1設(shè)AC=x,AD=BD=y,

    由余弦定理,得cos∠ACB=x2+16-4y28x=-12.

    即x2+16-4y2=-4x.①

    根據(jù)余弦定理,得

    cos∠ADC=y2+4-x24y,

    cos∠BDC=y2+4-164y.

    因?yàn)椤螦DC與∠BDC互補(bǔ),

    所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.即2y2-x2-8=0.②

    聯(lián)立①②,解得x=4,y=23,

    所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3

    =43.

    方法2延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使DC=DE,連接AE,BE,則所得四邊形ACBE是平行四邊形.

    所以∠CBE=π3.

    又因?yàn)镃E=2CD=4,BC=4,

    所以BE=4,AC=4.

    所以S△ABC=12·AC·BC·sin∠ACB=12×4×4×sin2π3=43.

    18.(1)因?yàn)镃A=CB,O為AB中點(diǎn),所以O(shè)C⊥AB.

    因?yàn)锳B=AA1,∠BAA1=60°,

    所以△AA1B為等邊三角形,即OA1⊥AB.

    又OC∩OA1=O,OC,OA1平面A1OC,

    所以AB⊥平面A1OC.

    (2)因?yàn)锳B=CB=2,

    所以△ABC為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形,

    則S△ABC=12×2×3=3.

    因?yàn)镺A1⊥AB,OA1⊥OC,AB∩OC=O,AB,OC平面ABC,所以O(shè)A1⊥平面ABC.

    即OA1是三棱錐A1-ABC的高.

    又OA1=3,

    所以三棱錐A1-ABC的體積V=13×3×3=1.

    19.(1)由題意知n=200.1=200,所以a=200-20-30-40-20=90.

    (2)計(jì)算可得樣本中的數(shù)據(jù)落在每個(gè)區(qū)間的頻率分別為0.1,0.15,0.45,0.2,0.1,所以農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤(rùn)的平均值為2×0.1+4×0.15+6×0.45+8×0.2+10×0.1=6.1(萬(wàn)元).

    因?yàn)榍?組的頻率為0.25<0.5,前3組的頻率為0.7>0.5,所以樣本的中位數(shù)在第三組,設(shè)樣本的中位數(shù)為x(萬(wàn)元),

    所以0.25+x-52×0.45=0.5,

    所以x=559(萬(wàn)元).

    所以該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤(rùn)的平均數(shù)為6.1萬(wàn)元,中位數(shù)為559萬(wàn)元.

    20.(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(-1,y).由QP·QF=FP·FQ,

    得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y).化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.

    (2)由y=kx+m,y2=4x,得k2x2+(2km-4)x+m2=0.

    由Δ=0,得km=1.

    從而有M(m2,2m),N(-1,-1m+m).

    假設(shè)存在點(diǎn)E(x0,0)滿足ME⊥NE,則

    (x0-m2)(x0+1)+(-2m)(1m-m)=0.

    即(1-x0)m2+x20+x0-2=0.①

    當(dāng)x0=1時(shí),①式恒成立.

    所以存在一個(gè)定點(diǎn)E(1,0),使得以MN為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn).

    21.(1)f ′(x)=xcosx(x∈(0,2π)),

    令f ′(x)=0,得x=π2或x=3π2.

    當(dāng)x∈(0,π2)時(shí),f ′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

    當(dāng)x∈(π2,3π2)時(shí),f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減:

    當(dāng)x∈(3π2,2π)時(shí),f ′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

    故x=π2是f(x)的極大值點(diǎn),x=3π2是f(x)的極小值點(diǎn).

    綜上所述,f(x)在區(qū)間(0,2π)上的極大值點(diǎn)為x=π2,極小值點(diǎn)為x=3π2.

    (2)由題意,得g(x)=14x2-f(x)=14x2+1-xsinx-cosx(x∈R).

    因?yàn)間(0)=0,所以x=0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

    因?yàn)間(-x)=(-x)24+1-(-x)sin(-x)-cos(-x)

    =14x2+1-xsinx-cosx=g(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以g(x)為偶函數(shù).

    即要確定g(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),只需確定x>0時(shí),g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.當(dāng)x>0時(shí),g′(x)=12x-xcosx=12x(1-2cosx).

    令g′(x)=0,即cosx=12,解得x=π3+2kπ或x=5π3+2kπ(k∈N).

    當(dāng)x∈(0,π3)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

    又g(0)=0,所以g(π3)<0.

    當(dāng)x∈(π3,53π)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,且g(53π)=2536π2+536π+12>0.

    所以g(x)在區(qū)間(0,53π)內(nèi)有唯一零點(diǎn).

    當(dāng)x≥53π時(shí),由于sinx≤1,cosx≤1,

    因?yàn)間(x)=14x2+1-xsinx-cosx

    ≥14x2+1-x-1=14x2-x=t(x),

    又因?yàn)閠(x)開(kāi)口方向向上,對(duì)稱軸為x=2,

    所以t(x)在區(qū)間[53π+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,即t(x)≥t(53π)>0.

    所以g(x)>0恒成立,故g(x)在區(qū)間[53π,+∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

    所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),

    由于g(x)是偶函數(shù),

    所以g(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),而g(0)=0.

    綜上,g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn).

    22.1設(shè)P(x,y),則由條件知M(y,x).由于點(diǎn)M在C1上,所以y=2+2cosθx=2sinθ(θ為參數(shù))化成直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4.

    (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.

    射線θ=π3與C1的交點(diǎn)A的極徑為

    ρ1=4cosπ3,

    射線θ=π3與C2的交點(diǎn)B的極徑為

    ρ2=4sinπ3.

    所以|AB|=|ρ2-ρ1|=23-2.

    23.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=-x2+x+4,

    g(x)=|x+1|+|x-1|=2x,x>1,2,-1≤x≤1-2x,x<-1.,

    當(dāng)x>1時(shí),令-x2+x+4≥2x,解得1<x≤17-12.則f(x)≥g(x)的解集為(1,17-12].

    當(dāng)-1≤x≤1時(shí),令-x2+x+4≥2,解得-1≤x≤1,則f(x)≥g(x)的解集為[-1,1].

    當(dāng)x<-1時(shí),令-x2+x+4≥-2x,此時(shí)無(wú)解,則f(x)≥g(x)的解集為.

    綜上所述,f(x)≥g(x)的解集為[-1,17-12].(2)依題意-x2+ax+4≥2在[-1,1]恒成立.

    即x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立.

    則只需12-a·1-2≤0,(-1)2-a(-1)-2≤0.解得-1≤a≤1,故a的取值范圍是[-1,1].

    [責(zé)任編輯:李璟]

    收稿日期:2022-02-05

    作者簡(jiǎn)介:李昌成(1977-),男,四川省資陽(yáng)人,本科,中學(xué)正高級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

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