求解拋物線中三角形面積最值問(wèn)題的兩種途徑

沈惠林

三角形的面積最值問(wèn)題一般較為簡(jiǎn)單，而拋物線中的三角形面積最值問(wèn)題則較為復(fù)雜，通常需利用拋物線的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程以及三角形的性質(zhì)、面積公式來(lái)求解.下面，筆者結(jié)合例題，詳細(xì)介紹解答拋物線中三角形面積最值問(wèn)題的兩種途徑.

一、割補(bǔ)圖形

三角形的面積公式主要有兩種形式：（1） S =底×高;（2）S = ab sin C .有些拋物線中三角形的面積很難快速求得，此時(shí)可將三角形分割或補(bǔ)充為面積易于求得的三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式分別求得幾個(gè)三角形的面積，再通過(guò)加減運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.

例1.已知拋物線 y =-x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線的方程.

（2）C 為拋物線與 y 軸的交點(diǎn).在第二象限，拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得△PBC 的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)以及△PBC 面積的最大值;如果不存在點(diǎn) P，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）y =-x2-2x +3.（過(guò)程略）

（2）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

x， -x2-2x +3（-3<x <0），

過(guò) P 作 PE⊥BO ，

由圖1可知S△PBC =S四邊形BPCO -S△BOC =S四邊形BPCO -2，

當(dāng)四邊形 BPCO 的面積最大時(shí)，△PBC 的面積取最大值，

S四邊形BPCO =SRT△BPE +S直角梯形PEOC = BE ?PE + OE·（PE + OC）=（x +3）（-x2-2x +3）+（-x）（-x2-2x +3+3）=-（x +）2+ + ，

當(dāng) x =-時(shí)，S四邊形BPCO最大值= + = ，

所以 S△PBC =S四邊形BPCO -S△BOC =8-2=2，

則-x2-2x +3= ，解得 x =-，

所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（- ，）.

△PBC 的面積很難快速求得，于是通過(guò)割補(bǔ)圖形，將△PBC 看作四邊形BPCO 的一部分，作PE⊥BO，先求得四邊形BPCO 面積的最大值，再減去△OBC 的面積，便可求得△PBC 面積的最大值.

二、采用切線法

當(dāng)三角形的底一定時(shí)，要使三角形的面積最大，需使三角形的高最大.可以采用切線法，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)作切線，則該點(diǎn)距離三角形的底最遠(yuǎn)，即可得到最大的高，就能使三角形的面積最大.

例2.已知拋物線 y =ax2+bx +2（a ≠0）與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) D（-2，-3）和點(diǎn) E（3，2），點(diǎn) P 在第一象限.

（1）求該拋物線的方程.

（2）當(dāng)△BPC 的面積取最大值時(shí)，求△BPC 面積及點(diǎn) P 的坐標(biāo).

解：（1）y =- x2+ x +2;（過(guò)程略）

（2）如圖2，過(guò) P 作拋物線的切線 PE ，且使 PE∥BC ，

由題意可得直線 CB 的方程圖2為 y =- x +2.

設(shè)直線 PE 的方程為y =- x +b ，

則

整理得：- x2+ x +2=- x +b - x2+2x +2-b=0，

所以△=8-2b =0，解得： b =4.

所以點(diǎn) P（2，3），△BPC 最大值為4.

要使S△PCB 最大，需使P 到 BC 的距離最大，于是過(guò) P 作拋物線的切線 PE，且使 PE∥BC，則 PE 與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí) S△PCB 最大.將直線 PE 的方程與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求得 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得S△PCB 最大值.

解答拋物線中三角形面積最值問(wèn)題，第一種途徑用得較多，且易于操作;第二種途徑雖然運(yùn)算量較小，但很多同學(xué)難以想到.在解題時(shí)，同學(xué)們可根據(jù)圖形和解題需求，合理選擇與之相應(yīng)的解題方法.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）