蝴蝶定理的妙用及變式推廣

吳宏考

(浙江省寧波市北侖區(qū)明港高級中學(xué),315800)

一、理論背景

1.圓中的蝴蝶定理

蝴蝶定理是平面幾何中最優(yōu)美的結(jié)論之一,這個定理因圖形像一只蝴蝶而得名.該定理的證明有較多方法,這里介紹簡便易懂的面積法證明[2].

蝴蝶定理如圖1,點(diǎn)M是圓O中弦AB的中點(diǎn),CD,GH是過點(diǎn)M的兩條弦,連結(jié)CH,DG分別交AB于點(diǎn)P,Q,則MP=MQ.

如圖2,連結(jié)AH,AC,BG,BD,由面積及相似三角形關(guān)系,可得

綜上,得證.

2.橢圓中的蝴蝶定理

推廣1如圖3,AB是二次曲線Ω的一條弦,O是AB的中點(diǎn),過O作Ω的兩條弦CD和EF,其中C,E位于AB的同一側(cè),直線CF和DE分別交AB于點(diǎn)P,Q,則有OP=OQ.

證明建立直角坐標(biāo)系如圖3,不妨設(shè)A(-m,0),B(m,0),P(xp,0),Q(xQ,0),由于二次曲線過點(diǎn)A,B則可設(shè)二次曲線的方程為

x2+uy2+vxy+wy-m2=0.

另設(shè)直線CD,EF的方程分別為y=k1x,y=k2x,則過點(diǎn)C,D,E,F的二次曲線為x2+uy2+vxy+wy-m2+λ(k1x-y)(k2x-y)=0,其中λ為實(shí)數(shù).

令y=0,則有xP,xQ是方程(1+λk1k2)x2-m2=0的兩個根.由韋達(dá)定理,可知xP+xQ=0,故OP=OQ.結(jié)論得證.

二、應(yīng)用舉例

筆者在解題中發(fā)現(xiàn),解析幾何中有些與比值有關(guān)的問題,如果運(yùn)用“蝴蝶定理”會更加容易解決,不僅使得計(jì)算大大簡化,而且可以窺視命題的出發(fā)點(diǎn)與根源,深化我們對問題本源的理解與把握.

(1)求橢圓C的方程;

評注此題有較多解法,文[3]提供了3種解法從計(jì)算量來說本解法直接由蝴蝶定理來思考,可做到一步到位.

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡;

(3)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

三、蝴蝶定理的變式推廣

推廣2在橢圓中,過弦AB的端點(diǎn)作曲線的切線相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作直線l∥AB,CD,EF為過點(diǎn)M的兩條弦,直線CE,DF交直線l于點(diǎn)P,Q,則有MP=MQ.

證明如圖6,以點(diǎn)M為原點(diǎn),以直線l為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線方程為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

p+q

又由上可知x5x6(x3+x4)=x3x4(x5+x6),故p+q=0,即MP=MQ.

評注特別地, 在推廣2中,直線MD或ME為切線,結(jié)論依然成立.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

例4(2012年北京高考題)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).

(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;

(2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證:A,G,N三點(diǎn)共線.

解(1)略.

(2)由題知曲線C的方程為x2+2y2=8.

如圖8，設(shè)直線y=1與橢圓相交于E,F兩點(diǎn),易驗(yàn)證DE,DF為橢圓的切線(E,F為切點(diǎn)).由蝴蝶定理推廣2,可知DP=DQ.

在高中階段的解析幾何,傳統(tǒng)的解法主要是靠代數(shù)關(guān)系來研究幾何問題.以上研究表明在常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)之中,若能對解析幾何的知識進(jìn)行有機(jī)的補(bǔ)充,既能挖掘和彌補(bǔ)課外有益的知識點(diǎn),又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),訓(xùn)練其綜合分析與解決問題的能力,對于某些特定類型的題目起到秒解的效果.