一道美國數(shù)學(xué)月刊問題的探討

威海職業(yè)學(xué)院藝術(shù)學(xué)院(264210) 姜衛(wèi)東

希臘學(xué)者George Apostolopoulos 在《美國數(shù)學(xué)月刊》2022年第2 期上給出的問題12303 如下[1]:

問題12303 設(shè)ΔABC的三邊長為a,b,c, 外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r.在三條邊BC,CA,AB上分別取點D,E,F,使得AD,BE,CF為ΔABC的角平分線.求證:

筆者通過研究,得到(1)的一種加強,并給出(1)下界的一個估計.

定理1條件同(1),則

等號當(dāng)且僅當(dāng)ΔABC為正三角形時取得.

證明先證明(2)右邊不等式.

圖1

注意到b3+c3≥b2c+bc2,ab2+ac2≥2abc.由(4)可得

從而

同理可得

(5)(6)(7)三式相加并化簡,可得

要證(2)右端成立,由(8)可知,只需證

注意到

從而(9)成立.

下面證明(2)左端不等式.

如圖2 所示,過E,F向BC作垂線, 垂足分別為N,M,則有

圖2

從而

注意到

從而有

同理可得

其中∑表示循環(huán)求和.以上三式相加,可得

由三角形中熟知的恒等式

經(jīng)計算,

從而定理1 證畢.