不等式證明的視角
——以Nesbitt不等式為例

廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

不等式是高中數(shù)學的重點和難點,內(nèi)容豐富,應(yīng)用廣泛.不等式的證明方法靈活多樣,技巧性強.研究經(jīng)典不等式的證明是掌握不等式的證明技巧的捷徑.本文以Nesbitt 不等式為例,來探究不等式證明的不同視角.

Nesbitt 不等式設(shè)a,b,c＞0,則

在證明Nesbitt 不等式之前, 先給出本文要用到的不等式.

1 均值不等式及推論

(1)a,b ＞0,a+b≥

(2)a,b,c ＞0,a+b+c≥

(3)a,b,c ∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

(4)a,b,c ∈R,(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).

2 柯西不等式及推論

(1)a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,(a1b1+a2b2+a3b3)2≤

(2)a1,a2,a3∈R,b1,b2,b3＞0,

3 排序不等式

若a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3,則a1b1+a2b2+a3b3≥a1bi1+a2bi2+a3bi3≥a1b3+a2b2+a3b1,其中i1i2i3是1,2,3 的任一排列.

4 切比雪夫不等式

若a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3,則

Nesbitt 不等式形式優(yōu)美,結(jié)構(gòu)精巧.本文經(jīng)過探究,得到Nesbitt 不等式的多種證明方法.

證法一(分母換元)令x=b+c,y=c+a,z=a+b,則由均值不等式得

當且僅當x=y=z,即a=b=c時取等號.

注表達式中都是分式,若直接通分,運算復雜,且很難利用均值不等式.證法一將分母換元,令x=b+c,y=c+a,z=a+b,將轉(zhuǎn)化為x,y,z的表達式,然后利用均值不等式證明結(jié)論.

證法二(柯西不等式)由柯西不等式得

當且僅當a=b=c時取等號.

注證法二通過巧妙地給表達式中的每一項加上1,使得每一項的分子相同,然后利用柯西不等式證明結(jié)論.

證法三(均值不等式)由均值不等式得當且僅當a+b=b+c=c+a,即a=b=c時取等號.所以當且僅當a=b=c時取等號.

注證法三通過巧妙地給表達式中的每一項加上1,使得每一項的分子分別為兩個分母之和,然后利用均值不等式證明結(jié)論.

證法四(柯西不等式)由柯西不等式得

當且僅當a=b=c時取等號.

注證法四通過巧妙地將表達式中的每一項的分子變成平方,然后利用柯西不等式證明結(jié)論.

若a+b+c≠1,令a′=則a′+b′+c′=1,且所以不妨設(shè)a+b+c=1,這樣可以簡化形式,并減少運算量.

證法五(柯西不等式)不妨設(shè)a+b+c=1,則a,b,c ∈(0,1), 且同理可得所以

由柯西不等式得

注由于表達式是齊次的,所以不妨設(shè)a+b+c=1,這是齊次式的一個處理技巧.

證法六( 排序不等式)不妨設(shè)a≤b≤c, 則a+b≤c+a≤b+c,由排序不等式得

于是

注由于表達式具有對稱性,所以不妨設(shè)a≤b≤c,然后利用排序不等式證明結(jié)論.通過假設(shè)變量的大小排序,然后利用排序不等式證明結(jié)論,這是處理具有對稱性的表達式的一個技巧.

證法七(切比雪夫不等式)不妨設(shè)a≤b≤c, 則a+b≤c+a≤b+c,由切比雪夫不等式得當且僅當a=b=c時取等號.

證法八(切線法)不妨設(shè)a+b+c=1,則a,b,c ∈(0,1),且令x ∈(0,1),則f′(x)=由?x ∈(0,1),f′′(x)＞0 得f(x)的圖象是下凸的, 于是f(x)的圖象在處的切線位于f(x)的圖象的下方, 即有不等式可用初等方法嚴格證明該不等式, 由x ∈(0,1),得,x ∈(0,1).所以

注由于表達式是齊次的,所以不妨設(shè)a+b+c= 1,然后由函數(shù)的凸凹性得到局部不等式,x ∈(0,1),并用初等方法嚴格證明該不等式.一般對滿足條件證明≥M(≤M)(A,M為常數(shù))的不等式問題,利用切線法構(gòu)造局部不等式來證明結(jié)論是一個非常好的方法.

證法九(局部不等式)不妨設(shè)a+b+c= 1,則a,b,c ∈(0,1),且由均值不等式得于是所以同理可得所以

注由于表達式是齊次的,所以不妨設(shè)a+b+c= 1,并巧妙利用取等條件構(gòu)造不等式然后得到局部不等式

證法十(局部不等式)不妨設(shè)a+b+c= 1, 則a,b,c ∈(0,1),且由(1-a)·(1-a)·2a≤得

由均值不等式得

證法十一(整體代換)令則,所以由柯西不等式得

注將表達式中的三個分式進行整體代換, 令并得到x,y,z滿足的條件式然后利用柯西不等式證明結(jié)論.

證法十二(整體代換)令則所以通分整理得xy+yz+zx+2xyz=1.

由(x+y+z)2≥ 3(xy+yz+zx)得xy+yz+所以1 ≤

設(shè)x+y+z=3t,得1 ≤2t3+3t2,即(2t-1)(t+1)2≥0,于是所以所以當且僅當a=b=c時取等號.

不等式的證明往往沒有通法,也沒有固定的模式,方法巧妙而靈活,通過研究經(jīng)典不等式的證明可以提高不等式的證明技巧.