挖掘特征 深思致遠
——對一道空間截面問題的拓展探究

廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程離不開解題,學(xué)生在解決問題的過程中能鞏固知識和學(xué)會思考,高考備考中,若教師只注重解題的熟練度,將教學(xué)的高效表現(xiàn)片面理解為“短時間內(nèi)教授最多知識”無疑是短視和功利的,忽略知識生成規(guī)律的教學(xué)對學(xué)生思維能力上的提升也相當(dāng)有限.波利亞在其著作《怎樣解題》中曾提到:“問題真正獲得解決的評判標準應(yīng)是我們對原問題的理解比剛開始時更完整和準確”.因此,教師在教學(xué)過程中應(yīng)有針對性地選擇具有啟發(fā)性的問題引領(lǐng)學(xué)生剖析思路、探究解法、反思過程并發(fā)現(xiàn)規(guī)律,突出體現(xiàn)解題的思維過程與涉及到的數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生在原有認知的基礎(chǔ)上又有新的收獲,這是課堂復(fù)習(xí)效率評價的最重要指標.以下是筆者在高三備考過程中的一個解題拓展片段,以此來說明上述觀點.

一、問題呈現(xiàn),解法探究

題目1如圖1 所示的木質(zhì)正四棱錐模型P - ABCD,過點A作一個平面分別交PB,PC,PD于點E,F,G, 若的值為____.

圖1

試題分析本題考查的是空間四點共面問題,考點清晰但缺乏問題解決和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)工具,對學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力提出了較高的要求,難度較大.

解法1利用平面延展的相關(guān)性質(zhì), 直接找到該平面和直線PD的交點G,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

如圖2,延展平面AEF,設(shè)EF與CB相交于M,MA與CD相交于T,TF與PD相交于G, 如圖3, 在ΔPBC中,作BN//PC,交MF于N;在ΔPDC中,作DS//PC,交TF于S,利用平幾知識有

圖2

圖3

評析解法1 需要較強的空間想象能力,將空間問題平面化,對學(xué)生的平面幾何相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用提出了較高的要求,故思路容易想到但在解題中會遇到轉(zhuǎn)化困難,不易完整解決.

解法2利用向量,直接從代數(shù)運算方向處理空間四點共面.如圖1,因為G在PD上,設(shè)又A,E,F,G四點共面,設(shè)

利用空間向量基底表示的唯一性,對比可知:

評析向量在描述三點共線和四點共面時具有鮮明的特征,解法2 體現(xiàn)了它的工具性作用,相比解法1 而言對學(xué)生的空間想象能力要求不高,但對運算能力提出了挑戰(zhàn).

從解答過程來看,當(dāng)三個不在同一條直線上的點確定一個面后,則第四個交點的位置必然是確定的,那么該點和前三個點的位置會不會有某種關(guān)聯(lián)? 解法1 的過程從形的角度上揭示了四個點之間的聯(lián)系,這提示我們可嘗試利用解法2的思路,從數(shù)的方向去尋找隱藏在這個具體情境中的一般規(guī)律.

二、縱向延申,深入拓展

從考查特征來看,本題在研究空間中某個截面的幾個交點位置的規(guī)律,類比到平面上應(yīng)對應(yīng)著某條線與兩條邊的交點規(guī)律,而在教材平面向量模塊章節(jié)中,有如下與之類似的習(xí)題:

題目2(新課標人教版必修2 第39 頁練習(xí)3)如圖4,在ΔABC中,點O是BC的中點,過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,設(shè)AM=mAB,AN=nAC,求的值.

圖4

解析由

又M,O,N三點共線,則

重觀題目1,若在某平面截四條直線PA,PB,PC,PD的四個截點中任選兩個截點進行考查,就轉(zhuǎn)化成平面上的相關(guān)問題(即題目2),現(xiàn)選擇相對的兩個截點為一組(共兩組),利用題目2 的解決思路嘗試探究這兩組截點分布的規(guī)律.

探究如圖5, 在正四棱錐P - ABCD中, 平面α與四條側(cè)棱PA,PB,PC,PD分別交于點M,N,S,T, 記試探究u1,u2,u3,u4之間的等量關(guān)系.

圖5

解析如圖6,連結(jié)AC與BD,設(shè)交點為O,連結(jié)MS與NT, 設(shè)交點為H, 因為P,H,O均為面PAC和面PBD的公共點, 則P,H,O三點共線.在ΔPAC中, 如圖7,記由則化簡得由O是AC中點,則解得則

圖6

圖7

同理在ΔPDB中, 如圖8, 有對比可知,此即為u1,u2,u3,u4之間的等量關(guān)系.

圖8

值得反思的是,從探究過程來看,四棱錐P -ABCD無無需滿足正四棱錐這樣的“嚴格條件”,底面ABCD為平行四邊形時結(jié)論就成立;另外從推導(dǎo)過程分析,四個截點位置也無需在底面的同側(cè),即截面與側(cè)棱的四個交點分布在底面ABCD的異側(cè)時,結(jié)論也成立,故歸納后可得到如下性質(zhì):

結(jié)論1如圖9,在四棱錐P -ABCD中,底面ABCD為平行四邊形, 若平面α與四條側(cè)棱PA,PB,PC,PD所在直線分別交于點M,N,S,T, 記,則

圖9

利用結(jié)論1 進一步思考, 如果截面只跟其中三條側(cè)棱(或延長線)相交,會有什么結(jié)論? 經(jīng)過探究可得到如下性質(zhì):

結(jié)論2如圖10,若截面α與底面為平行四邊形的四棱錐P -ABCD的三條側(cè)棱PA,PB,PC所在直線分別交于點M,N,S三點,記則PD//α的充要條件為

圖10

證明先證明充分性,用反證法,若PD與α不平行,則PD與α相交,記PD與α交點為T,設(shè)利用結(jié)論1 中結(jié)合對比可知矛盾, 故假設(shè)不成立, 即原結(jié)論成立, 于是有PD//α.

圖11

圖12

綜上,則原命題成立.

結(jié)論2 可為空間中一類線面平面的存在性問題提供一個新的思路.

題目3(2018年高考全國Ⅲ卷文科第19 題節(jié)選)如圖13, 矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的動點.(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC//平面PBD,說明理由.

圖13

解析記因為MC//平面PBD,利用結(jié)論2,令解得即P為AM中點時符合題意.

同時,利用探究活動中,也能發(fā)現(xiàn)以原四棱錐的頂點為頂點、四個截點構(gòu)成的四邊形為底面形成的新四棱錐,其體積與原四棱錐的體積應(yīng)存在某種關(guān)聯(lián),經(jīng)探究可得到如下結(jié)論:

結(jié)論3如圖14, 四棱錐P - ABCD的底面ABCD是平行四邊形, 若平面α與四條側(cè)棱PA,PB,PC,PD所在直線分別交于點M,N,S,T, 記四棱錐P - ABCD的體積為VP-ABCD,四棱錐P -MNST的體積為VP-MNST,則

圖14

證明如圖15,記三棱錐P-MNT的體積為VP-MNT,其余三棱錐體積表示法類似.由

圖15

則

故

也成立.

解題不僅僅是會做題和做對題,重視解題反思,指導(dǎo)學(xué)生對問題進行深入的探究,能更好地幫助其看清問題的本質(zhì),從而達到“做一題會一類”的效果.當(dāng)然能否及時捕捉到一個好的問題也依賴教師自身的學(xué)科素養(yǎng).如果學(xué)生在日常的教學(xué)活動中不斷地學(xué)習(xí)到這些深度思考和類比遷移,在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中也必然能自發(fā)產(chǎn)生類似的深層次疑問并主動探究交流來解決相關(guān)困惑,從而有效提升自身學(xué)科核心素養(yǎng).