概念教學(xué)：在深根厚植中自然生長(zhǎng)
——例談“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”

江蘇省常州市新北區(qū)九里小學(xué) 陳 莉

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)概念是抽象化的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生首先需要基于抽象的過程理解抽象的數(shù)學(xué)概念?！胺?jǐn)?shù)”這個(gè)概念的產(chǎn)生，在整個(gè)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一體系中，對(duì)于學(xué)生來說，是一次巨大的飛躍。同時(shí)，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)段內(nèi)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)又起到了一個(gè)承上啟下的作用。如何理解好“分?jǐn)?shù)”這個(gè)概念？結(jié)合多次磨課的經(jīng)歷，對(duì)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一課的教學(xué)，筆者通過聚焦問題打開思維，借助直觀豐富表象，從而促使學(xué)生對(duì)概念形成深度的理解。

一、問題引領(lǐng)，產(chǎn)生概念

師（播放課件）：小紅和小明要去郊游，把4個(gè)蘋果、2瓶水、1個(gè)蛋糕，平均分成兩份，每種食物每人分得多少？

生：每人分得2個(gè)蘋果，每人分得1瓶水。

師：像這樣，把每份分得同樣多，我們給它一個(gè)名稱叫“平均分”，我們?cè)诙昙?jí)的時(shí)候就已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平均分。

師：如果把1個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份是多少呢？

生：半個(gè)。

師：“半個(gè)”怎么用數(shù)來表示？它還能像剛才分蘋果那樣用2或者1來表示嗎？

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是知道什么是“平均分”，并且會(huì)用“1”“2”……這樣的整數(shù)來表示“平均分”的結(jié)果。因?yàn)椤捌骄帧边@一概念是學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的重要基石，教師首先要喚醒學(xué)生對(duì)“平均分”這一概念的已有認(rèn)識(shí)，接著用“半個(gè)怎么用數(shù)來表示呢”這一問題，讓學(xué)生進(jìn)入了思維盲區(qū)，正是這一問，激發(fā)了學(xué)生認(rèn)識(shí)新知的動(dòng)力，同時(shí)也闡明了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的價(jià)值所在，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打開了局面。

二、直觀表征，形成概念

師：把1個(gè)蛋糕平均分成兩份，該怎么分呢？請(qǐng)你試著用圓片分一分。

（學(xué)生試著把圓片對(duì)折）

師：請(qǐng)一位同學(xué)上來演示平均分蛋糕的過程。

（學(xué)生上講臺(tái)把蛋糕圖片平均分成兩份）

師：像這樣把1個(gè)蛋糕平均分成兩份，這一份就是這個(gè)蛋糕的二分之一。（在其中的一份蛋糕上面寫上）

師：那么另一份呢？誰能試著說一說？

生：另一份也是這個(gè)蛋糕的二分之一。

師：像這樣，把1個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份就是這個(gè)蛋糕的二分之一。這個(gè)每份既指左邊一份，又指右邊一份。

（師指導(dǎo)書寫）

……

師：想一想，除了蛋糕平均分成兩份，每份是這個(gè)蛋糕的二分之一外，還有哪些地方也需要用到二分之一？請(qǐng)?jiān)谛〗M里交流。

（小組交流）

生1：把1個(gè)西瓜平均分成兩份，每份是這個(gè)西瓜的二分之一。

生2：把1塊巧克力平均分成兩份，每份也是這個(gè)巧克力的二分之一。

……

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生既有現(xiàn)實(shí)需要的推力，也有數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需要的推力。由此出發(fā)，分?jǐn)?shù)的定義主要有份數(shù)定義和商定義（由此還可以延伸出分?jǐn)?shù)的其他定義）。其中，分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義（把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)）具有核心作用。我們由分?jǐn)?shù)的定義可知，分?jǐn)?shù)本質(zhì)上是一種數(shù)。由于數(shù)又是抽象的，學(xué)生在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中從未接觸過分?jǐn)?shù)，在生活經(jīng)驗(yàn)中，對(duì)分?jǐn)?shù)也接觸不多。如何揭開這位“新朋友”的面紗？教師借助直觀形象的切蛋糕過程，讓“二分之一”這個(gè)分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)有了著力點(diǎn)，并且通過左邊一份是這個(gè)蛋糕的二分之一，右邊一份也是這個(gè)蛋糕的二分之一的反復(fù)強(qiáng)化，讓學(xué)生理解了“只要把1個(gè)蛋糕平均分成兩份，每一份都是這個(gè)蛋糕的二分之一”這樣一個(gè)比較豐富的內(nèi)涵意義。同時(shí)，教師通過讓學(xué)生自己去說一說“哪些地方還可以用到二分之一”，進(jìn)一步豐富了學(xué)生對(duì)“二分之一”這一概念的理解。但是，由于受到蛋糕的影響，學(xué)生的舉例僅僅局限在食品。因此，教師還需要進(jìn)一步抽象、提煉“二分之一”這一概念的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生真正理解什么是“二分之一”。

三、變式融通，深化概念

師：除了物體中隱藏著分?jǐn)?shù)，實(shí)際上，平面圖形中也隱藏著分?jǐn)?shù)。

師：請(qǐng)你拿出課前準(zhǔn)備的正方形紙，折一折，寫一寫，按照活動(dòng)要求完成探索活動(dòng)一。

（大屏幕出示活動(dòng)一要求）

活動(dòng)一要求：

1.折一折：自己想辦法折出正方形紙的二分之一。

2.寫一寫：在正方形紙對(duì)應(yīng)的位置寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

3.說一說：在小組里說一說，你是怎么折出二分之一的？

4.比一比：和小組里的同學(xué)比一比，折法一樣嗎？

（小組互動(dòng)，教師巡視）

（生匯報(bào)交流，結(jié)果如圖1）

圖1

師：為什么折法不同，卻都能折出這張紙的二分之一呢？

生：折法雖然不同，但是，都是把一張紙平均分成兩份，所以，每份都是它的二分之一。

師：是的，不管怎么折，只要是把它平均分成兩份，每份就是它的二分之一。

師：在這張正方形紙上，你還能折出不同的分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)你完成探索活動(dòng)二。

（大屏幕出示活動(dòng)二要求）

活動(dòng)二要求：

1.折一折：自己想辦法在正方形紙上折出不同的分?jǐn)?shù)。

2.說一說：在小組里說一說，你是怎么折的？折出的分?jǐn)?shù)是什么？

3.比一比：和小組里的同學(xué)比一比，折出的分?jǐn)?shù)一樣嗎？

4.想一想：為什么同樣的正方形紙，折出的分?jǐn)?shù)卻不一樣？

（小組活動(dòng)，展示研究成果，如圖2）

圖2

師：為什么同一張紙，折出的分?jǐn)?shù)卻不相同呢？

生：因?yàn)橛械氖前颜叫纹骄殖?份，所以，每份就是這張紙的四分之一。有的是把正方形紙平均分成8份，每份就是這張紙的八分之一……

師：雖然是同一張紙，但是，平均分的份數(shù)不一樣，每份表示的分?jǐn)?shù)也不一樣。

理解一個(gè)概念，既要認(rèn)識(shí)它的內(nèi)涵，也要重視它的外延。概念的定義用來揭示概念的內(nèi)涵，概念的外延主要指概念所涉及的不同對(duì)象。學(xué)生通過直觀表征初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)以后，其實(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)還僅僅停留在具體的物體上。教師通過“除了物體中隱藏著分?jǐn)?shù)，實(shí)際上，平面圖形中也隱藏著分?jǐn)?shù)”這樣的一句過渡語，讓學(xué)生明確分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的豐富性。教師通過兩次折正方形紙的活動(dòng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：盡管對(duì)象不同，但是，只要是平均分，都可以用分?jǐn)?shù)來表示。其中，在兩次折正方形的活動(dòng)中，“為什么折法不同，卻都能折出這樣紙的二分之一呢”“為什么同樣的正方形紙，折出的分?jǐn)?shù)卻不一樣”兩個(gè)指向概念本質(zhì)的問題引領(lǐng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念進(jìn)行了深度思考，即不管什么對(duì)象，不管怎么折，只要符合分?jǐn)?shù)的概念，就可以用分?jǐn)?shù)來表示。

四、想象推理，拓展概念

師：如果把這張正方形紙繼續(xù)對(duì)折下去，還能得到哪些分?jǐn)?shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們充分發(fā)揮自己的想象，想一想，然后和同桌交流。

（小組交流討論）

生：我覺得還可以折出十六分之一。

師：你是怎么想的呢？

生（上臺(tái)演示）：對(duì)折一次，就是平均分成兩份，再對(duì)折，打開就是平均分成4份，再對(duì)折，打開，就是平均分成8份，如果繼續(xù)對(duì)折，我覺得應(yīng)該是8×2=16份，所以，我說是十六分之一。

師：是不是十六分之一呢，我們可以繼續(xù)折一折，看一看。

師（演示對(duì)折）：雖然折起來有點(diǎn)困難，但是，還是可以折的，我們一起數(shù)一數(shù)是不是16份。

（驗(yàn)證，果然是16份）

師：按照這樣的方法繼續(xù)推理，再往下折，會(huì)折出怎樣的分?jǐn)?shù)呢？

生1：應(yīng)該是16×2=32份，應(yīng)該是三十二分之一。

生2：再往下折，就是32×2=64份，就是六十四分之一。

……

師：在這張正方形紙上，能不能表示出五分之一呢？也就是說這張紙能不能平均分成5份呢？

生（異口同聲）：不能。

師：再想想呢？

生：應(yīng)該可以吧，不過有點(diǎn)難的。

師：是的，這張正方形是可以平均分成5份的，也可以平均分成6份、7份，只不過靠我們手工操作比較困難，但實(shí)際上是可以的，我們可以在電腦上演示一下怎么把這樣的正方形紙平均分成5份、6份、7份。（見圖3）

圖3

在上一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生借助折紙的過程，對(duì)分?jǐn)?shù)的概念有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。但是，這種概念的建立還只是建立在幾何直觀上，而建立在幾何直觀上的認(rèn)識(shí)的分?jǐn)?shù)是有限的。教師提出“如果把這張正方形紙繼續(xù)對(duì)折下去，還能得到哪些分?jǐn)?shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們充分發(fā)揮自己的想象，想一想，然后和同桌交流”這個(gè)問題，給了學(xué)生很大的想象空間，極大地培養(yǎng)了學(xué)生的想象力和推理能力，同時(shí)給學(xué)生提供了一個(gè)進(jìn)一步拓展分?jǐn)?shù)概念的平臺(tái)，極大地豐富了分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。教師接著又提出“在這張正方形紙上，能不能表示出五分之一呢？也就是說這張紙能不能平均分成5份呢”這個(gè)問題，讓學(xué)生的思維處于“欲罷不能”的狀態(tài)。通過教師引領(lǐng)、深度思考，學(xué)生的思維更加趨于理性，邏輯性更強(qiáng)，同時(shí)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更加豐富。

五、溝通聯(lián)系，統(tǒng)整概念

師：今天這節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，想一想，什么時(shí)候需要用到分?jǐn)?shù)？

生：當(dāng)我們平均分的時(shí)候，得到的不是正好是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)這樣的數(shù)時(shí)，我們就要用到分?jǐn)?shù)。

師：那它和我們之前學(xué)的整數(shù)有聯(lián)系嗎？有怎樣的聯(lián)系？

生：我覺得分?jǐn)?shù)和整數(shù)有聯(lián)系，首先，一個(gè)叫整數(shù)，一個(gè)叫分?jǐn)?shù)，它們都是數(shù)。

師：說得真好，分?jǐn)?shù)、整數(shù)都是數(shù)，它們都屬于數(shù)的范疇，但是，它們又有區(qū)別，整數(shù)只能表示一個(gè)物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)不滿一個(gè)時(shí)，我們可以用分?jǐn)?shù)來表示。

建構(gòu)主義認(rèn)為，只有系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)才便于學(xué)生真正理解、掌握和提取。分?jǐn)?shù)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的概念，它不是獨(dú)立于已有知識(shí)的全新概念，而是與整數(shù)息息相關(guān)的。它和整數(shù)都是數(shù)，都是用來表示物體的個(gè)數(shù)，只是整數(shù)是表示完整物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)不能用整數(shù)來表示時(shí)，我們就可以用分?jǐn)?shù)來作為補(bǔ)充。教師通過這樣的融通整合，有效地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解以及存在的價(jià)值的認(rèn)同。

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基本單位。因此，教師一定要重視概念的形成過程，通過豐富形式，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵和外延，讓概念在深根厚植中自然生長(zhǎng)。