注重基礎(chǔ)·綜合應(yīng)用·創(chuàng)新實踐

劉密貴

摘? 要：綜合與實踐是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動. 現(xiàn)結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》的目標和內(nèi)容要求，通過梳理2021年全國各地中考試卷中涉及“綜合與實踐”內(nèi)容的代表性試題，對其按特點進行解法分析，列舉部分典型試題進行解題思路評析，最后展示部分試題的特色解法賞析，以期達到為中考備考和試題研究服務(wù)的目的.

關(guān)鍵詞：綜合與實踐;解題分析;中考數(shù)學(xué)

一、考點概述

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，綜合與實踐是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動.“綜合與實踐”是實現(xiàn)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要和有效載體.“綜合與實踐”的基本目標是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程，體驗知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并形成對數(shù)學(xué)整體性的認識;讓學(xué)生親歷實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程，綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科知識與方法解決現(xiàn)實世界的真實問題，獲取一些研究問題的方法和經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

在近幾年的中考試題中，“綜合與實踐”專題是一道獨具魅力的風(fēng)景線.“綜合與實踐”試題突出體現(xiàn)了如下特點.

1. 注重多種現(xiàn)實的“綜合”

本專題題材豐富，與學(xué)生的生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實、其他學(xué)科現(xiàn)實聯(lián)系緊密. 有的試題綜合“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概念”等分支，打通不同領(lǐng)域之間的合理聯(lián)系，如函數(shù)與方程的綜合、代數(shù)與幾何的綜合等. 有的試題以生活現(xiàn)實和其他學(xué)科現(xiàn)實中的問題為命題素材，構(gòu)建學(xué)生熟悉而有探索價值的問題情境. 這是試題內(nèi)容的綜合，為學(xué)生的實踐提供了良好的載體.

2. 注重“四基”的“綜合”

試題考查的不只是數(shù)學(xué)知識，更是學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本思想解決問題的能力. 試題加強了對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題、運用數(shù)學(xué)思想和研究方法解決問題的考查. 一方面，體現(xiàn)了對學(xué)生綜合水平的要求;另一方面，突出體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析這六個方面的核心素養(yǎng)的考查.

3. 注重學(xué)生的解題“實踐”

學(xué)生在解答試題的過程中，不斷經(jīng)歷“自主發(fā)現(xiàn)和提出問題—分析和轉(zhuǎn)化問題—解決問題”的過程，這樣的實踐過程，一方面，能檢驗學(xué)生的綜合素養(yǎng)水平;另一方面，使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，以及數(shù)學(xué)問題解決的方式、方法和經(jīng)驗，并引領(lǐng)日常教學(xué)重視培育學(xué)生的綜合與實踐能力.

二、解題分析

對于“綜合與實踐”專題的試題，解題要把握以下幾點.

在數(shù)學(xué)現(xiàn)實類試題中，要注重挖掘基本結(jié)構(gòu)（在復(fù)雜的圖形中分解基本結(jié)構(gòu)——看多為少，在殘缺的圖形中補全基本結(jié)構(gòu)——看無為有），不斷將新問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題求解;要關(guān)注在遞進型問題中類比遷移解決問題;要靈活運用特殊與一般、強化與弱化、確定與變化等經(jīng)驗轉(zhuǎn)化問題.

在生活現(xiàn)實類和其他學(xué)科現(xiàn)實類試題中，要注意通過閱讀材料弄清問題，從而把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)現(xiàn)實類問題.

1. 數(shù)學(xué)現(xiàn)實類之一：發(fā)掘基本結(jié)構(gòu)

例1 （廣西·北部灣經(jīng)濟區(qū)卷）【閱讀理解】

如圖1，l1∥l2，△ABC的面積與△DBC的面積相等嗎？為什么？

解：相等.

在△ABC和△DBC中，分別作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分別為點E，F(xiàn).

所以∠AEF = ∠DFC = 90°.

所以AE∥DF.

因為l1∥l2，

所以四邊形AEFD是平行四邊形.

所以AE = DF.

又因為S△ABC =[12]BC·AE，S△DBC =[12]BC·DF，

所以S△ABC = S△DBC.

【類比探究】

如圖2，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△CDE，CE = DE，AD = 4，連接AE，求△ADE的面積.

解：過點E作EF⊥CD于點F，連接AF.

試將余下的求解步驟補充完整.

【拓展應(yīng)用】

如圖3，在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，點B，C，E在同一直線上，AD = 4，連接BD，BF，DF，直接寫出△BDF的面積.

解析：此題結(jié)構(gòu)清晰明了，閱讀理解—類比探究—拓展應(yīng)用，層層深入，漸次提升，意在考查學(xué)生是否能運用圖1中的基本結(jié)構(gòu)解決問題.

以最后一道小題為例：基于解決前面兩道小題的經(jīng)驗，學(xué)生應(yīng)著眼于尋找“平行線”. 這條平行線一定經(jīng)過△BDF的某個頂點，容易發(fā)現(xiàn)，連接CF，則CF∥BD，顯然△BDF的面積等于△BCD的面積，即正方形ABCD面積的一半.

需要指出，例1是指明基本結(jié)構(gòu)，學(xué)生解題相對容易，例2則是隱藏基本結(jié)構(gòu)，解題難度較大，對學(xué)生的綜合能力提出了更高的要求.

例2 （浙江·湖州卷）由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個故事：如圖4，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地毯分割成七塊，再拼成三個小正方形（陰影部分）. 則圖中AB的長應(yīng)是 ? ? ? ?.

解析：此題圖形復(fù)雜，關(guān)系隱蔽，需反復(fù)審視圖形，發(fā)掘基本結(jié)構(gòu).

基本結(jié)構(gòu)1：大正方形面積為1，拼成三個全等的小正方形，根據(jù)總面積不變可以求得小正方形的邊長為[33].

基本結(jié)構(gòu)2：如圖5，不妨找一個能夠把“1”和“[33]”集于一身的圖形作為突破口，如△CDE.

基本結(jié)構(gòu)3：如圖5，不妨以△CDE為錨點，繼續(xù)向外擴張，容易發(fā)現(xiàn)△CDE ～ △DFE，從而可以求出DF的長為[22].

基本結(jié)構(gòu)4：如圖5，立足△CDF，向目標AB靠近，由正方形對邊平行，可發(fā)現(xiàn)△CDF和△BAF是熟悉的X型相似，即△CDF ～ △BAF，BA的對應(yīng)邊是CD，AF的對應(yīng)邊是DF，顯然由[BACD=AFDF]，可求出AB的長為[2-1].

2. 數(shù)學(xué)現(xiàn)實類之二：理解新概念

例3 （江蘇·無錫卷）設(shè)P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當a ≤ x ≤ b時，總有

-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a ≤ x ≤ b上是“逼近函數(shù)”，a ≤ x ≤ b為“逼近區(qū)間”. 則下列結(jié)論：

① 函數(shù)y = x - 5，y = 3x + 2在1 ≤ x ≤ 2上是“逼近函數(shù)”;

② 函數(shù)y = x - 5，y = x2 - 4x在3 ≤ x ≤ 4上是“逼近函數(shù)”;

③ 0 ≤ x ≤ 1是函數(shù)y = x2 - 1，y = 2x2 - x的“逼近區(qū)間”;

④ 2 ≤ x ≤ 3是函數(shù)y = x - 5，y = x2 - 4x的“逼近區(qū)間”.

其中，正確的有（ ? ）.

（A）②③ （B）①④

（C）①③ （D）②④

解析：推陳出新是事物發(fā)展的必然方向，命制數(shù)學(xué)試題也是如此. 此題的“逼近函數(shù)”即在逼近區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值的差的絕對值不大于1，只要把握住這個實質(zhì)，就可以迅速判斷和排除.

以①③為例.

① y2 - y1 = 2x + 7，y2 - y1隨著x的增大而增大，在1 ≤ x ≤ 2上，當x = 1時，y2 - y1最小，最小值為9，9 > 1，故錯誤;

③ y2 - y1 = x2 - x + 1，在0 ≤ x ≤ 1上，當x =[12]時，y2 - y1的最小值為[34]，當x = 0或x = 1時，y2 - y1的最大值為1，即[34]≤ y2 - y1 ≤ 1，故正確.

此題答案為選項A.

3. 數(shù)學(xué)現(xiàn)實類之三：轉(zhuǎn)化問題

例4 （江蘇·南京卷）如圖6，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板. 在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是

（? ? ）.

解析：此題考查了學(xué)生的直觀想象水平，盡管直觀想象并非像概念、求解一樣可以通過教學(xué)解決，但只要通過恰當?shù)剞D(zhuǎn)化，仍有可能化復(fù)雜為簡單，輕巧地解決問題.

通過題目敘述，可以判斷影子的形狀是一個軸對稱的四邊形，如圖7，關(guān)鍵要判斷通過頂點A，C的光線在地面上的落點.

空間中想象難度高，就要想辦法轉(zhuǎn)化成平面問題. 如圖8，沿著直線DB的方向看，可以發(fā)現(xiàn)地面上的投影中，A′B′顯然比B′C′更長，因此此題顯然選擇選項D.

例5 （四川·成都卷）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發(fā)，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和. 如圖9，ar + cq + bp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，ap + bq + cr是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和.已知某三角形的特征值如圖10所示，若從1，2，3中任取一個數(shù)作為x，從1，2，3，4中任取一個數(shù)作為y，則對任意正整數(shù)z，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是 ? ? ? ? .

解析：這道填空題閱讀量較大，正文約60%的部分是定義新概念，隨機事件“對任意正整數(shù)z，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4”也比較復(fù)雜.

根據(jù)新概念，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差為（4x + 2z + 3y） - （3x + 2y + 4z） = x + y - 2z. 從而我們把原事件進行了第一次轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化1：對任意正整數(shù)z，x + y - 2z < 4.

即x + y < 4 + 2z.

由于z ≥ 1，

所以4 + 2z的最小值是6.

要使x + y的和總滿足條件，只要繼續(xù)轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化2：x + y < 6.

此題的真實面目千呼萬喚始出來：

若從1，2，3中任取一個數(shù)作為x，從1，2，3，4中任取一個數(shù)作為y，則x + y < 6的概率是 ? ? ? .

從而容易求出此題答案為[34].

4. 數(shù)學(xué)現(xiàn)實類之四：呈現(xiàn)研究場景

例6 （河南卷）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

[小明：如圖11，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）;（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為點P，垂足分別為點G，H;（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，∠PGO = ∠PHO = 90°，OG = OH，OP = OP. 所以Rt△PGO ≌ Rt△PHO. 則∠POG = ∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下. 如圖12，（1）分別在射線OA，OB上截取OC = OD，OE = OF（點C，E不重合）;（2）連接DE，CF，交點為點P;（3）作射線OP. 射線OP即為∠AOB的平分線.

……

任務(wù)：

（1）小明得出Rt△PGO ≌ Rt△PHO的依據(jù)是

（填序號）.

① SSS;② SAS;③ AAS;④ ASA;⑤ HL.

（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？判斷并說明理由.

（3）如圖13，已知∠AOB = 60°，點E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE = OF =[3]+ 1. 點C，D分別為射線OA，OB上的動點，且OC = OD，連接DE，CF，交點為點P，當∠CPE = 30°時，直接寫出線段OC的長.

解析：此題呈現(xiàn)了兩位同學(xué)圍繞同一個問題展開思辨的探究場景，真實生動，給學(xué)生較強的代入感. 此題體現(xiàn)了不同層次的意味;從小明的作法到小軍的作法，體現(xiàn)了解法的優(yōu)化;從小軍的作法到最后一道小題，體現(xiàn)了基本結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.

第（2）小題，從條件看，容易得到一組全等三角形，即△ODE ≌ △OCF;從目標看，要證明射線OP是∠AOB的平分線，只要證明∠AOP = ∠BOP，只要證△OPE ≌ △OPF（這組全等不唯一，也可以由其他全等代替）.

在△ODE ≌ △OCF基礎(chǔ)上證明△CPE ≌ △DPF（AAS），從而PE = PF. 易證△OPE ≌ △OPF（SAS）. 此題的思路不唯一.

第（3）小題，首先根據(jù)題意畫出相符的圖形（如圖14），可以求出∠CFO = 45°，要求OC，只要解△OCF即可，易得OC = 2.

解答顯然還沒有結(jié)束，“點C，D分別為射線OA，OB上的動點”，還應(yīng)該繼續(xù)考慮點C，D的位置. 點C一定在點O，E之間嗎？不一定！同理還應(yīng)該有如圖15所示的情形.

在教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對“射線”“直線”進行圈點勾畫，并大膽想象、不斷嘗試. 此道小題綜合以上兩種情況，可得OC = 2或OC = 2 +[3].

5. 其他學(xué)科現(xiàn)實類：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題

例7 （浙江·金華卷）圖16是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置. 木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為點D，從點A發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點E. 已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB = 6.5，BP = 4，PD = 8.

（1）ED的長為? ? ? .

（2）將木條BC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC′（如圖17），點P的對應(yīng)點為點P′，BC′與MN的交點為點D′，從點A發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上的光點為點E′. 若DD′ = 5，則EE′的長為? ? ? ?.

解析：此題的背景是物理中的鏡面反射現(xiàn)象.

第（1）小題容易發(fā)現(xiàn)△ABP ∽ △EDP，從而求得ED = 13.

第（2）小題木條旋轉(zhuǎn)后，原有的相似不再成立，從哪里入手呢？當然是回到數(shù)學(xué)現(xiàn)實中去，去剖析內(nèi)里的關(guān)系和可能.

目標方面，要求EE′的長，只需求出E′D的長.

條件方面，鏡面反射實際上帶來了∠AP′B = ∠E′P′D′.

又由AB和BP′定長，

則△ABP′是一個匯聚多個條件于一身的關(guān)鍵圖形，可以嘗試在∠E′P′D′基礎(chǔ)上構(gòu)造相似.

如圖18，在P′D′上取點F，使∠3 = ∠ABD′，

易證△ABP′ ∽ △E′FP′.

可得[E′FP′F=ABP′B=138].

下面繼續(xù)發(fā)掘基本結(jié)構(gòu).

基本結(jié)構(gòu)1：在Rt△BDD′中，BD = 12，DD′ = 5，可以求得BD′ = 13.

基本結(jié)構(gòu)2：由于∠4和∠3互補，∠5和∠ABD′互補，易證∠4 = ∠5，即E′F = E′D′.

通過設(shè)元把這兩個基本結(jié)構(gòu)勾連起來.

設(shè)E′F = E′D′ = 13a，

則P′F = 8a.

過點E′作E′G⊥D′F，易證△E′D′G ∽ △BD′D.

可得D′F = 10a.

由BD′ = 13，可列式4 + 18a = 13，解得a =[12].

從而E′D = 13a - 5 = 1.5，EE′ = ED - E′D = 11.5.

三、總結(jié)

“綜合與實踐”專題試題因其自帶的綜合性、探究性和開放性而對學(xué)生的要求較高，需要學(xué)生透過表象看清數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與方法解決問題，能夠不斷轉(zhuǎn)化問題.

一方面，在日常教學(xué)中，建議增加“綜合與實踐”活動，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷更多數(shù)學(xué)問題的探究過程，體驗實際問題的解決方法. 實施“綜合與實踐”時，教師要放手讓學(xué)生參與，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進入角色，組織好學(xué)生之間的合作交流，并照顧到所有學(xué)生. 教師不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程，不要急于求成，要鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生充分利用“綜合與實踐”的過程，積累活動經(jīng)驗，展現(xiàn)思考過程，交流收獲體會，激發(fā)創(chuàng)造潛能.

在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學(xué)生素質(zhì)的互動過程.

另一方面，建議增加“綜合與實踐”類的作業(yè)和評價形式，并加強這方面的訓(xùn)練. 這些有助于積累“綜合與實踐”類問題的解題經(jīng)驗，推動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]陳莉紅，張仁華. 2018年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（3）：47-55，59.

[3]邱思明. 2019年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（3）：40-47.

[4]王曄，李曉宇. 2020年中考“綜合與實踐”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（3）：50-57.