讓學(xué)生在游戲中感悟概率的內(nèi)涵

徐亞艷

[摘 要]在課堂中，教師作為探究活動(dòng)的策劃者、引導(dǎo)者，應(yīng)從動(dòng)手實(shí)踐和體驗(yàn)認(rèn)知環(huán)節(jié)切入，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)活動(dòng)結(jié)果進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、總結(jié)，并提煉出數(shù)學(xué)規(guī)律，掌握知識(shí)的概念，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)能力和歸納能力得到提高，學(xué)習(xí)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。

[關(guān)鍵詞]概率;抓球;可能性

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）05-0075-03

教師出示圖1并用中秋節(jié)話題引入：“中秋節(jié)快到了，某商場(chǎng)舉行‘迎中秋抽大獎(jiǎng)’活動(dòng)，購(gòu)物金額達(dá)200元的消費(fèi)者有機(jī)會(huì)參與轉(zhuǎn)圓盤(pán)抽獎(jiǎng)活動(dòng)。指針落在矩形區(qū)域，就能獲得月餅一盒。預(yù)測(cè)一下中獎(jiǎng)的概率。”學(xué)生竊竊私語(yǔ)，片刻之后接連舉手。一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“不可能中獎(jiǎng)，因?yàn)橹羔樦荒苈湓趫A盤(pán)中，無(wú)法落在矩形中?！?/p>

興趣是最好的老師。一開(kāi)始，教師就用有意思的“轉(zhuǎn)圓盤(pán)”游戲吸引學(xué)生的注意，借助生活情境讓學(xué)生用“可能、不可能”來(lái)表述事件發(fā)生的概率，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，說(shuō)出自己的第一想法，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

一、合作探究

師（出示圖2）：探究一下另一種抽獎(jiǎng)方案，用這樣的圓盤(pán)抽獎(jiǎng)，參與抽獎(jiǎng)的消費(fèi)者會(huì)有機(jī)會(huì)得到月餅嗎？指針有可能落在哪個(gè)區(qū)域？

生1：有2種可能，可能落在藍(lán)色區(qū)域或黃色區(qū)域。

師：指針落在哪個(gè)區(qū)域的概率大？落在哪個(gè)區(qū)域的概率??？

生2：指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率大，落在黃色區(qū)域的概率小。

師：你能說(shuō)明理由嗎？

生2：因?yàn)樗{(lán)色區(qū)域面積大，黃色區(qū)域面積小，指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率就比較大。

教師板書(shū)：（1）結(jié)果有2種可能;（2）指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率大，落在黃色區(qū)域的概率小。

師：你觀察得真細(xì)致，分析得頭頭是道。（板書(shū)：概率）

師（出示圖3、圖4、圖5）：還有三種抽獎(jiǎng)方案，同學(xué)們分別說(shuō)一說(shuō)在這些方案中，指針落在哪個(gè)區(qū)域的概率大？落在哪個(gè)區(qū)域的概率小？解釋一下原因。? ? ?

（學(xué)生以小組為單位自主探究，并派代表發(fā)言）

生3：圖3中藍(lán)色、黃色區(qū)域面積各占一半，這樣指針落在藍(lán)色區(qū)域和落在黃色區(qū)域的概率相等。

生4：圖4中藍(lán)色區(qū)域的面積比黃色區(qū)域的面積大，這樣指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率大一些。

生5：圖5中藍(lán)色區(qū)域面積最小，指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率最小。

師：如果你是消費(fèi)者，你認(rèn)為用哪個(gè)圓盤(pán)抽獎(jiǎng)對(duì)你最有利？（指針落在藍(lán)色區(qū)域即為中獎(jiǎng)）

生（齊）：選圓盤(pán)4（圖4）。

師：概率大小與面積大小有什么關(guān)系？

生6：哪種顏色區(qū)域的面積大，指針落在那個(gè)區(qū)域的概率就大。

師：是的，在轉(zhuǎn)圓盤(pán)抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，哪種顏色區(qū)域的面積大（板書(shū)：面積大），指針落在那個(gè)區(qū)域的概率就大（板書(shū)：概率大）;哪種顏色區(qū)域的面積?。ò鍟?shū)：面積?。?，指針落在那個(gè)區(qū)域的概率就?。ò鍟?shū)：概率?。?面積相同，顏色不同的區(qū)域，指針落在哪個(gè)區(qū)域的概率都相等（板書(shū)：相等）。

師：下面我們就一起來(lái)通過(guò)抓乒乓球的游戲來(lái)檢驗(yàn)一下上述結(jié)論是不是具有普遍性。

【評(píng)析】

上述環(huán)節(jié)，學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的分析、推測(cè)就概括出了一般規(guī)律，關(guān)鍵是能夠說(shuō)出心中所想。

這種依據(jù)面積來(lái)判斷概率大小的問(wèn)題就是概率論中的“古典概型”問(wèn)題。指針落點(diǎn)的所有可能情況都無(wú)法統(tǒng)計(jì)清楚，也無(wú)法用具體數(shù)字表示，也就是這個(gè)事件不是由若干個(gè)可計(jì)數(shù)的基本獨(dú)立事件組成。這種“古典概型”問(wèn)題符合直觀判斷和合理猜想的教學(xué)需要。學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)“可能性”時(shí)，不懂得獨(dú)立重復(fù)事件的數(shù)量以及事件總和與概率的數(shù)量關(guān)系，而且這種關(guān)系也很隱蔽，必須通過(guò)大量獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)出各事件發(fā)生次數(shù)與實(shí)驗(yàn)總數(shù)的比才能求出，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，得出的結(jié)果越準(zhǔn)確。如將一枚硬幣向上拋，落下后正面朝上和反面朝上的可能性都是[12]，[12]這個(gè)數(shù)據(jù)需要重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)才能歸納推知。若拋100次硬幣，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)正面朝上和反面朝上的情況幾乎各占一半（也許存在些微誤差，但是基本情況不會(huì)變），這是因?yàn)閽佉幻队矌胖挥姓娉?、反面朝上兩個(gè)平等的獨(dú)立事件，事件總和為2，而其中一類(lèi)事件數(shù)量為1，因此某一事件發(fā)生的概率為[12]。然而這個(gè)理論對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很難理解，所以教師先用無(wú)法計(jì)算獨(dú)立事件數(shù)量的“古典概型”問(wèn)題導(dǎo)入“可能性”，不但降低了授課難度，還讓學(xué)生通過(guò)觀察、推理發(fā)現(xiàn)概率的計(jì)算與各類(lèi)事件體量的大小有關(guān)，為后來(lái)的“可能性”定量分析打下基礎(chǔ)。

二、抓取乒乓球游戲

師：把5個(gè)黃色乒乓球放入黑色布袋，然后任意抓取一個(gè)，猜猜它的顏色。

生1：必然是黃色。

師：是嗎？將它放回后再抓取一個(gè)呢？會(huì)抓出白色乒乓球嗎？

生2：不可能。

師：憑什么斷言抓取到的是黃色乒乓球呢？

生3：因?yàn)榇永镏挥悬S色乒乓球。

師（出示圖6）：這里有5個(gè)黑色布袋，各黑色布袋里放乒乓球的情況如下。

師：大家猜測(cè)一下，若從每個(gè)黑色布袋里任取一個(gè)乒乓球，各乒乓球可能是什么顏色？請(qǐng)記錄自己猜測(cè)的結(jié)果。

（學(xué)生猜測(cè)）

師：我發(fā)現(xiàn)大家都有自己的判斷。想不想證實(shí)一下自己的猜想？

生（齊）：想。

師：現(xiàn)在，各小組按圖擺出5個(gè)黑色布袋，各組組員輪流抓取乒乓球，一次只能抓取一個(gè)。抓乒乓球前先搖勻，取出乒乓球查看后再放回布袋，下一位同學(xué)繼續(xù)抓取。請(qǐng)小組長(zhǎng)記錄各組員抓取乒乓球的情況。

（小組探究）

師：各組觀察實(shí)驗(yàn)記錄單，概括規(guī)律。

生4：我從第一袋里抓取到的乒乓球必定是黃色乒乓球。

生5：我從第二袋里抓取到的乒乓球必定是白色乒乓球。

生6：我推測(cè)從第三、四、五袋里抓取乒乓球，黃、白兩種顏色的乒乓球都有可能被抓到。

師：那么，在第三、四、五袋中，從哪個(gè)布袋里抓取到白色乒乓球的概率最大？

生7：第五袋，因?yàn)樵诘谖宕?，白色乒乓球的?shù)量遠(yuǎn)多于黃色乒乓球的數(shù)量。

師：白色乒乓球的數(shù)量多就表明抓取到白色乒乓球的概率——

生（齊）：大！

師：概率的大小與什么有關(guān)？

生8：我認(rèn)為概率的大小與探究對(duì)象數(shù)量的多少有關(guān)。

師：當(dāng)黑色布袋里只有一種顏色的乒乓球時(shí)，抓取到的一定是這種顏色的乒乓球，不可能是其他顏色的乒乓球。當(dāng)黑色布袋里既有黃色乒乓球又有白色乒乓球時(shí)，抓取到的可能是黃色乒乓球，也可能是白色乒乓球。如果白色乒乓球的數(shù)量比較多，那么抓取到白色乒乓球的概率大（板書(shū)：概率大）。如果白色乒乓球的數(shù)量比較少，那么抓取到白色乒乓球的概率就?。ò鍟?shū)：概率小）。

【評(píng)析】

本環(huán)節(jié)教師設(shè)計(jì)了“猜想”“抓取”的活動(dòng)，首先調(diào)動(dòng)學(xué)生猜想的熱情，喚起學(xué)生的知識(shí)記憶，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣;然后通過(guò)小組合作，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到親自抓取乒乓球才能驗(yàn)證猜想，這時(shí)的操作活動(dòng)就成為學(xué)生的需求，學(xué)生會(huì)帶著目的和疑問(wèn)去探究。

第一階段用“古典概型”問(wèn)題完成“可能性”教學(xué)的鋪墊后，學(xué)生對(duì)“可能性”有了初步認(rèn)識(shí)，并且發(fā)現(xiàn)概率大小與各類(lèi)事件本身的體量（面積）有關(guān)。第二階段升入到一般概率計(jì)算，此時(shí)，探究對(duì)象不再是不可計(jì)數(shù)的面積，而是可以計(jì)數(shù)的乒乓球，學(xué)生對(duì)各種顏色的球數(shù)有了一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，甚至可以數(shù)出各種顏色的球到底有幾個(gè)，誰(shuí)多誰(shuí)少，一目了然。這樣教學(xué)沒(méi)有采用重復(fù)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法（抓球后將球放回，多次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)抓到各種顏色的球的次數(shù)和實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，再算出二者的比值）。因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)是小學(xué)五年級(jí)才出現(xiàn)的內(nèi)容（條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖），學(xué)生的思維里還沒(méi)有形成統(tǒng)計(jì)的科學(xué)概念，更別提運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)論來(lái)分析問(wèn)題。因此，采用保守教法，讓學(xué)生直接憑經(jīng)驗(yàn)和常理推測(cè)來(lái)達(dá)到合理估測(cè)“可能性”的目的，綜合了感性和理性認(rèn)知，也達(dá)到了教學(xué)目的。

三、試一試，融合試驗(yàn)

師：如果我將8個(gè)白色乒乓球、4個(gè)黃色乒乓球、2個(gè)紅色乒乓球放入一個(gè)黑色布袋里，搖勻后，抓取的結(jié)果可能有幾種情況？

生1：抓取到白色乒乓球的概率最大。

生2：抓取到紅色乒乓球的概率最小。

生3：抓取到黃色乒乓球的概率比抓取到白色乒乓球的概率小，但比抓取到紅色乒乓球的概率大。

師：真棒！你們的說(shuō)法反復(fù)印證了一個(gè)道理——有些事情的結(jié)果是不確定的，例如從有黃色和白色乒乓球的黑色布袋里抓取乒乓球時(shí)，你就無(wú)法確定抓取出來(lái)的乒乓球是黃色的還是白色的。通過(guò)驗(yàn)證猜想，我們搞清楚了抓取不同顏色的乒乓球的概率是有大有小的。

【評(píng)析】

這個(gè)時(shí)候，學(xué)生的認(rèn)識(shí)就上升到了理性認(rèn)識(shí)，原本的定性分析也會(huì)上升到定量分析。前面只有2種顏色的球，這次增加到3種顏色，這絕不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的量變，而是量變引起的質(zhì)變，從3種顏色分析抓取概率，那就不僅是比多比少的問(wèn)題（數(shù)量多的抓到的概率大一些，數(shù)量少的抓到的概率小一些）。放入3種顏色的乒乓球，那么概率多與少之間不再那么模糊，而是變得相當(dāng)具體，幾乎可以量化，如一個(gè)盒子里裝有5個(gè)白球、4個(gè)紅球、6個(gè)藍(lán)球，那么抓到藍(lán)球的概率大于抓到白球的概率，也大于抓到紅球的概率，而且大多少，也能具體算出。其實(shí)，這種推斷已經(jīng)接近概率的精確計(jì)算，只要再進(jìn)一步就能得出抓到每種顏色的球的精確概率。通過(guò)大量獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)可以統(tǒng)計(jì)出，抓到藍(lán)球的概率是[615]，抓到紅球的概率是[415]，抓到白球的概率是[515]，這些都是可以從球的總數(shù)上推知的，各種顏色的球數(shù)與總球數(shù)的比值就是摸到該種顏色的球的精確概率，這與概率學(xué)上的“設(shè)基本獨(dú)立事件的總數(shù)為m，某類(lèi)事件獨(dú)立出現(xiàn)的次數(shù)為n，那么該類(lèi)事件發(fā)生的概率是[nm]”的原理是一致的，只不過(guò)說(shuō)法不同。

概率問(wèn)題可以復(fù)雜，也可以簡(jiǎn)單;可以直觀，也可以形象。教師需要拿捏好火候，學(xué)生需要把握好分寸。對(duì)于小學(xué)中的“可能性”，學(xué)生不需要計(jì)算出精確的概率值，但是要學(xué)會(huì)比較概率大小，而比較概率大小要從某類(lèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)的多少中判斷，因?yàn)榉帜付际且粯拥模恍枰容^分子。

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探究、小組合作，認(rèn)識(shí)了什么是概率大小，然后通過(guò)“試一試”的提升試驗(yàn)，將概率比較從不同空間轉(zhuǎn)移到同一空間，進(jìn)行混合區(qū)分，大大拓寬了思維，深化對(duì)概率大小的認(rèn)識(shí)，有利于自身從生活現(xiàn)象中看透數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到“數(shù)學(xué)源于生活”的真諦，有助于建構(gòu)新知體系。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 張建發(fā).聚焦核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)據(jù)分析觀念：小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域教學(xué)思考[J].華夏教師，2020（04）.

[2] 曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)研究（五）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（Z1）.

[3] 林榕.小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的“真”[J].新教師，2019（05）.

（責(zé)編 黃 露）