2022年高考“三角函數”備考指導

【摘 要】 運用“三看”分析法解決三角函數恒等變換和求值問題;類比y=sinx的圖象和性質研究y=Asin（ωx+φ）圖象和性質問題;根據所涉及邊、角或式子結構特征，合理選擇正、余弦定理解決三角形邊角關系和面積問題.

【關鍵詞】 三角函數;高考復習;備考指導

高考對三角函數的考查主要體現在四個方面：利用數形結合考查，通過圖形分析、研究、總結三角函數的性質和圖象特點;利用三角公式考查，創(chuàng)設試題情境，靈活運用公式，解決問題;利用真實情境考查解三角形內容，體現三角函數的工具性作用;體現思維深度，考查創(chuàng)新意識[1].

高考三角函數考查題型有單選題、多選題、填空題、解答題、開放題、結構不良試題等.選擇題、填空題往往以三角函數的定義、誘導公式、同角三角函數關系式、和差倍角公式、降冪擴角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）等為基點，考查三角函數的恒等變換和求值問題;以三角函數圖象為載體，考查三角函數的解析式、周期性、單調性、對稱性、最值等性質.解答題常以平面幾何圖形為依托，運用正、余弦定理解決三角形邊角關系和面積等問題;也可能把三角函數與向量、平面幾何、解析幾何、立體幾何、數列、導數、不等式等問題進行融合考查.2022年高考三角復習要把握好以下幾個問題.

1 三角函數恒等變換和求值

三角函數恒等變換和求值問題可采取“三看”分析法，即“看角、看函數、看式子特征”后選擇相應的三角公式進行變換.看角就是看已知角和所求角、條件角和目標角之間有何關系;看函數就是看條件中三角函數和目標中三角函數之間的關系，涉及正切的常切化弦;看式子特征就是看已知條件與待求式子之間的聯系，選擇適當的三角公式，將已知式與待求式化異為同.要強化三角函數公式的記憶，關注公式的正用、逆用與公式的變形，以提高三角函數求值和三角恒等變換問題的解題能力.

例1 若α∈0，π2，tan2α=cosα2-sinα，求tanα.

提示：觀察tan2α=cosα2-sinα，左邊角為右邊角的2倍，故左邊要用二倍角公式;左邊為正切函數，右邊為正余弦函數，故左邊要切化弦;右邊分子為cosα，為消去cosα，左邊應先切化弦后用二倍角公式，即tan2α=sin2αcos2α，右邊消去cosα后只含sinα，故左邊分母選擇cos2α=1-2sin2α.tan2α=cosα2-sinα化為sin2αcos2α=2sinα·cosα1-2sin2α=cosα2-sinα，得sinα=14，由α范圍和同角三角函數關系式得tanα=1515.

模擬練習單項選擇題

1.若sinπ6-α=13，則

cos2π3+2α=（? ）.

A.-79? B.-13

C.13? D.79

2.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點P（1，-3），則

cos2θ+cos2θ+π4=（? ）.

A.0?? B.25?? C.35

D.45答案：1.A 2.A

2 三角函數的圖象與性質

函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）（A>0，ω>0，以下同）的圖象和性質問題，完全類比y=sinx和y=cosx的圖象和性質解決.

（1）零點

若x0為y=Asin（ωx+φ）的零點，則ωx0+φ=kπ（k∈Z，以下同）.若x0為y=Asin（ωx+φ）圖象上升時的零點，則ωx0+φ=2kπ，若x0為y=Asin（ωx+φ）圖象下降時的零點，則ωx0+φ=2kπ+π.若x0為y=Acos（ωx+φ）的零點，則ωx0+φ=kπ+π2.若x0為y=Acos（ωx+φ）圖象上升時的零點，則ωx0+φ=2kπ-π2，若x0為y=Acos（ωx+φ）圖象下降時的零點，則ωx0+φ=2kπ+π2.

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上無零點，則[a，b]介在兩個相鄰的零點之間;

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至多有2個零點，則b-a<2πω;若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至少有2個零點，則b-a≥2πω.

（2）單調性

若函數y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上單調（或無極值點），則[a，b]介在兩條相鄰的對稱軸之間.b-a≤T2是函數y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上單調的必要非充分條件.

（3）對稱軸

若x=x0為y=Asin（ωx+φ）的對稱軸，則ωx0+φ=kπ+π2.若x=x0為y=Asin（ωx+φ）圖象過最大值點的對稱軸，則ωx0+φ=2kπ+π2，若x=x0為y=Asin（ωx+φ）圖象過最小值點的對稱軸，則ωx0+φ=2kπ-π2.若x=x0為y=Acos（ωx+φ）的對稱軸，則ωx0+φ=kπ.若x=x0為y=Acos（ωx+φ）圖象過最大值點的對稱軸，則ωx0+φ=2kπ，若x=x0為y=Acos（ωx+φ）圖象過最小值點的對稱軸，則ωx0+φ=2kπ+π.

（4）解析式

由函數y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））一個周期內兩個零點或兩條對稱軸或一個零點一條對稱軸可求出周期，進而求出ω;或由三角函數的圖象確定ω范圍.由函數y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））圖象上已知點確定φ.

例2 已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ∈（0，2π））的一條對稱軸為x=-π6，且f（x）在π，4π3上無極值點，求ω最大值.

提示：f（x）在π，4π3上無極值點，則π，4π3介在兩條相鄰對稱軸間，即存在整數k，

使kπω-π6≤π，（k+1）πω-π6≥4π3，解得67k≤ω≤23（k+1），由ω>0，得23（k+1）>0，又67k≤23（k+1），解得-1<k≤72，k=0，1，2，3.ω最大值為83.

模擬練習多項選擇題

1.已知函數f（x）=cosx，函數g（x）的圖象由函數f（x）的圖象先向右平移π6個單位長度，再將所得函數圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍得到，若函數g（x）在π2，3π2上沒有零點，下列正確的是（? ）.

A.ω最大值為49

B.ω最大值為103

C.g（x）在3π8，π2有唯一一條對稱軸

D.g（x）在3π8，π2有兩條對稱軸

2.函數f（x）=asin2x+bcos2x（a，b為非零常數），fπ6=0，下列正確的是（? ）.

A.f（x）周期為π

B.fx+π6為奇函數

C.f（x）在-π12，5π12上單調遞增

D.f（x）在[0，2022π]上有4044個零點

3.函數f（x）=cosωx-π6（ω>0）的一段圖象如圖1，則下列正確的是（? ）.

A.ω=1B.f（x）周期為π

C.f（x）在2π3，13π12上遞增

D.5π6，0為f（x）圖象的對稱中心

答案：1.AC 2.ABD? 3.BCD

3 正、余弦定理應用

在三角形中運用正、余弦定理解決問題的關鍵在于根據所涉及的邊、角或式子結構特征，合理選擇正、余弦定理和三角形面積公式.涉及兩角一邊或兩邊一角時常使用正弦定理，已知三邊或一角時常使用余弦定理.有時還要注意結合平面幾何知識靈活解決問題.

例3 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（c-2a）cosB+bcosC=0，點D在邊AC上，BD平分∠ABC.

（1）求角B;

（2）若BD=3，求△ABC外接圓面積的最小值.

提示

（1）把已知等式化邊為角后由兩角和正弦公式得B=π3.

（2）如圖2，由三角形面積S△ABD+S△DBC=S△ABC，得a+c=ac，由余弦定理b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（ac）2-3ac，由ac=a+c≥2ac，得ac≥4，故b≥2，2r=bsinB≥43，△ABC外接圓面積最小值為4π3. 也可用正弦定理，在△ABD中，ADsin∠ABD=BDsinA，即AD=32sinA，在△CBD中同理得CD=32sinC.故b=321sinA+1sinC=32·sinA+sinCsinAsinC≥32·sinA+sinCsinA+sinC22=23sinA+sinC=23sinA+sin2π3-A=2332sinA+32cosA=2sinA+π6≥2.

還可用幾何法，如圖3，過點D作DE∥BC交AB于點E，由DEBC=AEAB，得a+c=ac.如圖4，做DE⊥BC，DF⊥AB，由12AB·DF+12BC·DE=12AB·BC·sin∠ABC，得a+c=ac.

模擬練習

1.在①cosC+（cosA-3sinA）cosB=0，②cos2B-3cos（A+C）=1，

③bcosC+33csinB=a這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.

問題 在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若a+c=1，，求角B的值和b的最小值.圖5

2.如圖5，三角形△ABC中，AB=1，BC=[KF（]3[KF）]，以C為直角頂點向外作等腰直角三角形ACD，當∠ABC變化時，求線段BD長度最大值.

3.△ABC中，AC>AB，AB=8，cosA=3132.

（1）若S△ABC=1574，求BC;

（2）若cos（B-C）=18，求AC.

提示：

1.①C=π-（A+B）;②A+C=π-B;③A=π-（B+C）.

2.設∠ABC=α，∠BCA=β，在△ABC中由余弦定理得AC2=4-23cosα，在△BCD中由余弦定理得BD2=7-23cosα+23CDsinβ，在△ABC中由正弦定理得ACsinβ=sinα，即CDsinβ=sinα，從而BD2=7+26sinα-π4，BD≤6+1.

3.在AC邊上取點D，使∠CBD=∠C.

4 三角函數與其他知識的融合

將三角函數與向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何、數列、不等式、導數等知識進行融合考查.如導數與函數壓軸題，所給函數往年多數是一次函數，二次函數，冪函數，指數、對數函數等基本函數的組合，融入三角函數也是高考考查的方向.例4 求證函數f（x）=12x-sinx+e-x在（0，2π）有兩個極值點x1，x2，且f（x1）+f（x2）>π-12.

提示：f′（x）=12-cosx-e-x，f（x）極值點為f′（x）零點.

當x∈0，π2時，f′（x）遞增，f′π4<0，f′π2>0，f′（x）在0，π2上有唯一零點x1，且x1∈π4，π2.當x∈π2，3π2時，f′（x）>0，f′（x）無零點.當x∈3π2，2π時，可證f′（x）有唯一零點x2，且x2∈3π2，7π4.

由12-cosx1=e-x1，

12-cosx2=e-x2，可得cosx1<cosx2=cos（2π-x2），得x1>2π-x2，即x1+x2>2π.

故f（x1）+f（x2）=12（x1+x2）-2sinx1+π4-2sinx2+π4+1>π-2+1>π-12.

參考文獻

[1] 陳昂，任子朝，趙軒.高考中三角函數內容考查研究[J].數學通報，2018（10）：4447.

作者簡介 黃如炎（1964—），男，福建閩清人，中學正高級教師，特級教師;發(fā)表論文90多篇.