專題突破——圓雛曲線與三角形銷“心”相印

陳澤剛

從近幾年高考式題中圓錐曲線的命題特

點(diǎn)看，此類題型既注重基礎(chǔ)知識又注重考查能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征又靈活多變，尤其圓錐曲線中面積、弦長、最值幾乎成為必考內(nèi)容。三角形的“四心”問題與圓錐曲線交匯，讓題目更具活力。因此，通過專題研究三角形的“四心”與圓錐曲線的交匯問題，可以幫助同學(xué)們快速提高關(guān)于這部分知識的解題能力，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。

一、三角形的重心（三角形中三條中線的交點(diǎn)）

知識儲(chǔ)備：

（1）G是△ABC的重心臺(tái)GA+GB+

（2）G為△ABC的重心，P為平面上任

意點(diǎn)，則PG=]（PA+PB+PC）;

（3）重心是中線的三等分點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離與它到對邊中點(diǎn)的距離之比是2：1;

（4）重心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的三個(gè)三角形的面積相等，即重心到三條邊的距離與三條邊的長度成反比。

例1（2019年成都市樹德中學(xué)高三二模第12題）拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P、Q、R在拋物線C上，且△PQR的重心為F，則|PF|+QF|的取值范圍為（）。

D.[3，5]

解析：由題意知，拋物線C的焦點(diǎn)為F（1，0）。設(shè)點(diǎn)P（xP，yP），Q（xQ，yQ），R（xR，yR）。

由重心的坐標(biāo)公式得

xR=3-（xP+xQ），yR=-（yP+yQ）。設(shè)直線PQ的方程為x=ky+m，由

則△=16k2+16m=16（k2+m）》0，且由韋達(dá)定理得，yp+yQ=4k，ypyQ=-4m。

所以，xp+xQ=（kyp+m）+（kyQ+m）=k（yp+yQ）+2m=4k2+2m。

故xR=3-（xp+xQ）=3-4k2-2m，yR=-（yp+yQ）=-4k。

將點(diǎn)R的坐標(biāo)代λ拋物線C的方程得16k2=4×（3-4k2-2m），即2m=3-8k2。

則△=8（2k2+2m）=8（3-6k2）》0，解

點(diǎn)評：本題考查拋物線與直線的交匯，求距離的取值范圍及重心坐標(biāo)的計(jì)算，稍難。變式1.（2020年浙江高三月考）已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|+|MF2|=4。若I是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF1F2的重心，記△IF1F2與△GF1M的面積分別為S1，S2，則（）。

A.S>S2

B.S=S2

C.S<S2

D.S，與S2的大小不確定

已知I是△MF，F(xiàn)？的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，此時(shí)：

點(diǎn)評：本題芳查了橢圓的定義，其中涉及三角形的內(nèi)心和重心，對同學(xué)們分析圖形中數(shù)量關(guān)系的能力要求較高。

二、三角形的內(nèi)心（三角形中三條角平分線的交點(diǎn)）

例2（2020年浙江高三期中卷）已知上，過點(diǎn)M作MB⊥F1F2于點(diǎn)B，過點(diǎn)I作IA⊥F1F2于點(diǎn)A。設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則IA=r。

點(diǎn)評：本題主要是利用三角形相以將所求的比值轉(zhuǎn)化成三角形相以比問題，即構(gòu)造兩個(gè)三角形相以來處理，對于內(nèi)切圓問題通

變式2.（2020年江西高三期中卷））已知

解析：設(shè)P（xp，yp），不妨設(shè)yp》0。如圖3，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為”，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是利用內(nèi)切圓的

三、三角形的垂心（三角形中三條高線的交點(diǎn)）

知識儲(chǔ)備：

（2）垂心到三角形-頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。

例3

（2020年浙江高三模擬）記橢圓C：x2+2y2=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，過F2的直線1交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點(diǎn)P，設(shè)△F1F2P的垂心為H，則PH的最小值是（）。

由題意知直線L的斜率存在（若斜率不存在，則F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章節(jié)的綜合題。

變式3.（2020年江蘇省高三期中卷）已

的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F？且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O可能為△ABF1的（）。

A.垂心

B.內(nèi)心

C.外心

D.重心

解析：對于選項(xiàng)B，若O為△ABF，的內(nèi)心，則O到直線AF1的距離等于|OF2|=c，顯然不可能。因O到直線AF，的距離恒小于OF1|，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。對于選項(xiàng)C，若O為△ABF1的外心，則|OF|=|OF2|=|OA|，故AF1⊥AF2，和已知矛盾，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。對于選項(xiàng)D，若O為△ABF，的重心，則OF，=2|OF2|，這也明顯錯(cuò)誤。

根據(jù)排除法，O可能為△ABF1的垂心，故選A。

點(diǎn)評：本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查同學(xué)們的邏輯推理能力，求解時(shí)應(yīng)注意三角形各種心的定義及性質(zhì)。

四、三角形的外心（三角形中三條垂直平分線的交點(diǎn)）

知識儲(chǔ)備：

右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的-條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MF2的中點(diǎn)，點(diǎn)I為△OMF2的外心。若O、I、D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為（）。

A.2

B.3

C.5

D.5

解析：不妨設(shè)點(diǎn)M在第二象限，設(shè)M（m，n），F(xiàn)2（c，0）。

由D為MF2的中點(diǎn)，O、I、D三點(diǎn)共線

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，運(yùn)用平面幾何的知識分析出直線OD垂直平分MF2，并用a，c表示出，點(diǎn)M的坐標(biāo)是解決此題的難，點(diǎn)。

=1（a》0，b》0）的右焦點(diǎn)，以F為圓心，b為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，線段FP的中點(diǎn)為D，△POF的外心為I，且滿足O心=λOi（λ≠0），則雙曲線E的離心率為（）。

A.2

B.3

C.2

D.5

因?yàn)辄c(diǎn)D為線段FP的中點(diǎn)，且△POF的外心為I，所以DI⊥PF，即OD⊥PF。

點(diǎn)評：本題借助三角形的外心考查雙曲線的離心率的求法，也考查雙曲線定義的應(yīng)用。

圓錐曲線是高中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之-，同學(xué)們要學(xué)習(xí)好該專題，第一步就是要先把雙曲線、拋物線以及橢圓的相關(guān)定理吃透，再進(jìn)行拓展研究。要解決此類題型，還是要多做題，自己從其中歸納總結(jié)方法，對專題深度剖析，從而提高解題效率。

（責(zé)任編輯 徐利杰）