K鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與智能誤差分配

新其其格，陳憶，季杭馨，王磊，朱永田，張凱，章華濤

（1 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)南京天文光學(xué)技術(shù)研究所，南京210042）

（2 中國(guó)科學(xué)院天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（南京天文光學(xué)技術(shù)研究所），南京210042）

（3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

0 引言

地平式天文望遠(yuǎn)鏡中存在多面反射鏡，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡跟蹤目標(biāo)時(shí)，望遠(yuǎn)鏡光路中的反射鏡間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生像方視場(chǎng)旋轉(zhuǎn)，同時(shí)由于地球自轉(zhuǎn)引起物方視場(chǎng)旋轉(zhuǎn)，因此，在地平式望遠(yuǎn)鏡中獨(dú)立配置了消旋系統(tǒng)以補(bǔ)償像旋對(duì)成像產(chǎn)生的影響［1］。常見(jiàn)的消旋法有：物理消旋、電子消旋和光學(xué)消旋。其中使耐焦后的系統(tǒng)整體旋轉(zhuǎn)的物理消旋方案，由于無(wú)法實(shí)現(xiàn)在消旋系統(tǒng)后同時(shí)加裝多個(gè)終端儀器，其應(yīng)用受限；電子消旋則因?yàn)樾枰盘?hào)傳遞，會(huì)引起的數(shù)據(jù)誤差和延時(shí)性［2］；而光學(xué)消旋是在系統(tǒng)光路中添加光學(xué)部件，使其與望遠(yuǎn)鏡中的反射鏡同步周期性運(yùn)動(dòng)來(lái)完成消旋，具有“非接觸”、“實(shí)時(shí)”、“全場(chǎng)”等特點(diǎn)，消旋器件可以放置于成像元件前任意位置，安裝接口充足的情況下，可在多個(gè)光學(xué)平臺(tái)上通用［3］，是目前應(yīng)用最廣泛的消旋方案。

按照使用的光學(xué)元件類型，光學(xué)消旋可以分為折射式和反射式兩種［3］。折射式消旋系統(tǒng)常用的光學(xué)棱鏡一般為道威棱鏡和別漢棱鏡，其優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在棱鏡為整體，各個(gè)反射面間的相對(duì)位姿可保持不變。隨著望遠(yuǎn)鏡口徑的增大，棱鏡的線性尺寸也不斷增加，現(xiàn)有的光學(xué)材料已經(jīng)無(wú)法滿足需求，同時(shí)受光學(xué)材料的限制，光線的全波段透射率并不能達(dá)到要求，并且存在色散現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致能量損失。反射式消旋系統(tǒng)則由三塊平面反射鏡組成，其能量損失小，適用于全波段范圍。綜上所述，多數(shù)地基大口徑望遠(yuǎn)鏡均采用反射式光學(xué)消旋系統(tǒng)，例如大口徑望遠(yuǎn)鏡大型雙筒望遠(yuǎn)鏡（Large Binocular Telescope，LBT）、胡克望遠(yuǎn)鏡（Hooker Telescope）、詹姆斯·克拉克·麥克斯韋望遠(yuǎn)鏡（The James Clerk Maxwell Telescope，JCMT）均采用反射式消旋。

國(guó)內(nèi)外對(duì)光學(xué)消旋的光機(jī)設(shè)計(jì)、誤差分析和消旋控制方面已有很多研究。意大利帕多瓦天文臺(tái)研究人員就LINCNIRVANA 上的兩個(gè)K 鏡的具體情況對(duì)消旋系統(tǒng)進(jìn)行了提高剛性的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并研究了軸承安裝對(duì)消旋精度的影響［4］；日本研究人員就斯巴魯望遠(yuǎn)鏡AO188 系統(tǒng)安裝的消旋系統(tǒng)的實(shí)時(shí)和精確跟蹤控制方案進(jìn)行了進(jìn)一步的研究［5］；土耳其研究人員對(duì)DAG（Dogu Anadolu Gozlemevi）放置在Nasmyth 平臺(tái)的自適應(yīng)光學(xué)儀器的消旋系統(tǒng)進(jìn)行了加強(qiáng)剛性的設(shè)計(jì)并分析了其結(jié)構(gòu)變形對(duì)儀器性能的影響［6］。國(guó)內(nèi)中科院長(zhǎng)春光機(jī)所對(duì)消旋系統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)進(jìn)行了研究和裝調(diào)實(shí)驗(yàn)［7-11］；國(guó)家天文臺(tái)、云南天文臺(tái)就消旋機(jī)構(gòu)的理論誤差分析和光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)以及在天文望遠(yuǎn)鏡上的應(yīng)用進(jìn)行了研究［12-13］。

在國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究中都提出了消旋的精確度由K鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)的多個(gè)組件（機(jī)械旋轉(zhuǎn)不完善，內(nèi)部對(duì)齊不完善，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的彎曲）之間的誤差耦合決定，在這種情況下，對(duì)各組件的誤差分配要求嚴(yán)格控制。本文從光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和光機(jī)耦合分析出發(fā)，對(duì)誤差的智能優(yōu)化分配［14-15］進(jìn)行了研究，應(yīng)用蒙特卡洛算法［16-17］結(jié)合類粒子群優(yōu)化算法［18］進(jìn)行智能優(yōu)化；就4M 級(jí)地平式望遠(yuǎn)鏡上一套K 鏡消旋機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)影響消旋機(jī)構(gòu)消旋指向精度的誤差源以及工程化過(guò)程中的公差分配和零部件選型進(jìn)行了研究；以K 鏡消旋指向精度為前提，進(jìn)行了裝調(diào)實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與誤差分配的有效性與準(zhǔn)確性。

1 消旋系統(tǒng)理論模型

1.1 反射式消旋系統(tǒng)工作原理

望遠(yuǎn)鏡跟蹤過(guò)程中，反射式消旋系統(tǒng)作為隨動(dòng)系統(tǒng)始終保持轉(zhuǎn)速為像旋速度的一半，達(dá)到其消旋功能。最常用的反射式消旋系統(tǒng)由三塊反射鏡面呈“K”字型排列組成，分別為KM1，KM2，KM3，其分布方式如圖1所示。其中KM1 與KM3 互為120°夾角，同時(shí)分別與望遠(yuǎn)鏡主光軸成30°和150°夾角；KM2 工作鏡面法線垂直于望遠(yuǎn)鏡主光軸。

圖1 消旋系統(tǒng)（K 鏡）光機(jī)簡(jiǎn)圖Fig.1 Opto-mechanical schematic diagram of derotator（K-mirror）

1.2 K 鏡消旋指向精度數(shù)學(xué)模型

2 K 鏡消旋指向精度智能優(yōu)化分配

2.1 消旋系統(tǒng)光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其誤差源分析

基于K 鏡消旋系統(tǒng)的工作原理可知，消旋系統(tǒng)由三塊反射鏡排列成“K”字型。設(shè)計(jì)的K 鏡消旋系統(tǒng)安裝于望遠(yuǎn)鏡叉臂上，通光口徑為75 mm，其主光軸沿水平方向。在光學(xué)元件的選擇中，考慮到棱鏡消旋系統(tǒng)工作面相對(duì)穩(wěn)定和保持工作面面型的優(yōu)勢(shì)，最終選用三棱柱棱鏡來(lái)保證KM1、KM3 的工作反射面，KM2 選用20 mm 厚的圓形反射鏡。為保證光學(xué)元件的剛性，并得到優(yōu)質(zhì)反射效果，反射鏡材料選用微晶玻璃，反射面均鍍寬波段高效率的金屬介質(zhì)膜。

消旋機(jī)構(gòu)三維模型如圖2所示，在光學(xué)元件的支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，KM2 為單獨(dú)的圓形反射鏡，選用背部三點(diǎn)柔性支撐，其中柔性材料選用不銹鋼403，以銦鋼塊為墊塊與反射鏡背部粘接，柔性支撐連接到KM2 基底結(jié)構(gòu)上，其基底結(jié)構(gòu)進(jìn)行柔性微調(diào)設(shè)計(jì)，可調(diào)節(jié)KM2 的位姿。組成KM1、KM3 的棱鏡則選用銦鋼墊塊與基板連接，通過(guò)調(diào)節(jié)銦鋼塊厚度、斜率來(lái)調(diào)整其位姿。為達(dá)到消旋機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)機(jī)能，基板與基底結(jié)構(gòu)均固連到內(nèi)鏡筒上，通過(guò)兩端角接觸球軸承與外筒連接，由電機(jī)直驅(qū)完成內(nèi)筒相對(duì)外筒的旋轉(zhuǎn)。其中，外筒一端與望遠(yuǎn)鏡叉臂相連，承懸臂狀態(tài)。

圖2 K鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案Fig.2 Opto-mechanical structure design of K-mirror

根據(jù)消旋系統(tǒng)的工作原理與光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，影響K 鏡消旋系統(tǒng)指向度的主要因素有KM1、KM2、KM3 的相對(duì)位姿和K 鏡總裝的機(jī)械旋轉(zhuǎn)軸與主光軸的偏移與角度。

設(shè)計(jì)的K 鏡消旋機(jī)構(gòu)中不可調(diào)節(jié)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)誤差源如表1所示，其中系統(tǒng)誤差隨消旋系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)呈現(xiàn)周期性變化，隨機(jī)誤差則在誤差范圍內(nèi)隨機(jī)出現(xiàn)，呈抖動(dòng)狀態(tài)。

表1 K 鏡消旋機(jī)構(gòu)誤差源Table 1 Error sources of K-mirror derotator

2.2 基于類粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行誤差分配

式中，w為權(quán)重因子，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，sj為靈敏度因子S=(s1，s2，…，sD)中相對(duì)應(yīng)的元素，dj為每個(gè)誤差源的公差辨識(shí)精度，r1、r2為［0，1］范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，在指向精度未達(dá)到目標(biāo)值時(shí)pij=pgj=xij。

根據(jù)優(yōu)化路徑經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代，蒙特卡洛算法計(jì)算合格率和焦面最大消旋指向精度的迭代優(yōu)化如圖3所示，由圖可知在第8 次迭代時(shí)收斂。

圖3 優(yōu)化迭代收斂圖Fig.3 Optimize iterative convergence graph

采用類粒子群優(yōu)化的結(jié)果有多種排列組合方式，考慮滿足偏移小、加工成本低、需要調(diào)節(jié)量少等多因素取值，最終優(yōu)化結(jié)果如表2所示。表2 中的次誤差源為主誤差源引入的影響指向精度的自由度，其中，Tz、Rx、Ry分別表示因彈性變形導(dǎo)致的KM1、KM2、KM3 沿Z軸的平移和沿X和Y軸的旋轉(zhuǎn)；θ1、θ2、θ3分別為主鏡加工中KM1 和KM3 兩個(gè)表面沿X、Y、Z軸偏轉(zhuǎn)的夾角誤差；（X1+X2）/2、（Y1+Y2）/2、（X1-X2）/2、（Y1-Y2）/2 為依據(jù)消旋系統(tǒng)左右兩個(gè)軸承的安裝中心位置坐標(biāo)(X1Y1Z1)與(X2Y2Z2)，計(jì)算得到的內(nèi)鏡筒相對(duì)外鏡筒的安裝偏差；IRx、IRy分別為內(nèi)鏡筒中心軸在X和Y軸方向產(chǎn)生的加工角度誤差；ORx、ORy分別為外鏡筒中心軸在X和Y軸方向產(chǎn)生的加工角度誤差。其公差范圍相對(duì)經(jīng)驗(yàn)取值法，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與加工精度上可相應(yīng)放寬數(shù)值范圍。

表2 關(guān)鍵零部件誤差分配優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of key component error distribution

3 優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

根據(jù)表2所示的關(guān)鍵零部件誤差分配方案，將表中的次誤差源換算到關(guān)鍵零部件尺寸與形位公差上，選擇相應(yīng)的型號(hào)及其加工尺寸公差如表3所示。

表3 關(guān)鍵零部件公差等級(jí)與軸承型號(hào)的選擇Table 3 Selection of tolerance grades of key components and bearing models

3.1 光機(jī)耦合分析驗(yàn)證

對(duì)于如K 鏡的多個(gè)光學(xué)元件組成的光機(jī)系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行仿真分析時(shí)，應(yīng)用MATLAB 建立統(tǒng)一的仿真模型，連接光機(jī)結(jié)構(gòu)的有限元仿真軟件與光線追跡軟件進(jìn)行光機(jī)耦合分析。驗(yàn)證結(jié)果由光學(xué)系統(tǒng)的精度表示。

根據(jù)K 鏡消旋系統(tǒng)的誤差源分析，光機(jī)結(jié)構(gòu)在工作過(guò)程中的彈性變形會(huì)引起反射鏡位姿變化，在光機(jī)耦合分析中，首先對(duì)K 鏡進(jìn)行有限元分析。由于K 鏡進(jìn)行消旋工作時(shí)，內(nèi)鏡筒部件相對(duì)外鏡筒發(fā)生旋轉(zhuǎn)，從而光學(xué)元件在空間中的位置發(fā)生改變，受重力場(chǎng)影響，各反射鏡在不同工作位置表現(xiàn)出不同的受力變形狀態(tài)，因此需要對(duì)K 鏡處于不同工作位置時(shí)的反射鏡位姿變化進(jìn)行均勻采樣，提取其位移和旋轉(zhuǎn)變化量。

有限元分析導(dǎo)入模型如圖2所示，結(jié)構(gòu)所用材料參數(shù)如表4所示，得到結(jié)構(gòu)變形對(duì)K 鏡反射鏡的位姿影響如圖4所示，分別為KM1、KM2、KM3 的工作面產(chǎn)生的平移偏差和角度偏差的周期變化的采樣擬合。

表4 K鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)所用材料參數(shù)Table 4 Material parameters of K-mirror

由擬合結(jié)果可知，其影響指向性的偏差都隨K 鏡整體旋轉(zhuǎn)角度呈正弦和余弦的模式，其中AKMi-Tz，AKMi-Rx，AKMi-Ry分別代表K 鏡結(jié)構(gòu)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的變形引起的KM1、KM2、KM3 在Z方向的平移最大值和沿X、Y軸的旋轉(zhuǎn)最大值，由圖4（b）可知，由于KM1 和KM3 為同一塊棱鏡上的兩個(gè)反射面，因此KM1-Rx和KM2-Rx的周期變化圖形重合。相應(yīng)的振幅A均小于表3 中的最優(yōu)結(jié)果，分別為AKM1-Tz=0.0069，AKM1-Rx=2.26×10-5，AKM1-Ry=1.62×10-5，AKM2-Tz=0.0106，AKM2-Rx=1.53×10-5，AKM2-Ry=2.33×10-6，AKM3-Tz=0.0054，AKM3-Rx=2.26×10-5，AKM3-Ry=1.96×10-6。

圖4 有限元分析得到的KM1、KM2、KM3 的位姿周期變化擬合Fig.4 Fitting graphs of KM1，KM2，and KM3 pose cycle changes obtained by finite element analysis

根據(jù)式（6）和（7），應(yīng)用仿真軟件建立消旋系統(tǒng)仿真模型，模擬模型焦面位置為從望遠(yuǎn)鏡中轉(zhuǎn)鏡開(kāi)始的距離1.94 m，圖4所示的誤差對(duì)應(yīng)式（6）中的MF-Ki(θ)，TF-Ki(θ)。將主鏡加工產(chǎn)品實(shí)際三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果和軸承供應(yīng)商提供的軸承誤差帶入仿真模型中，軸承選型和內(nèi)外鏡筒加工引入的誤差在公差范圍內(nèi)，以100 個(gè)滿足條件的隨機(jī)誤差求得在仿真模型焦面上形成的圖形，其中半徑最大的圖形如圖5所示。根據(jù)式（20）求得最大指向性偏差角度。

圖5 誤差仿真分析焦面圖形Fig.5 Focal plane graphics from error simulation analysis

式中，r為在焦面上圖形的最大直徑，d為焦面距離KM3 中心的直線距離，β為消旋指向精度值。在模擬仿真中r=0.079 208 mm，d=2 350 mm，代入式（20）得到指向偏差β=6.95′′。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

消旋機(jī)構(gòu)實(shí)際裝調(diào)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示，在進(jìn)行裝調(diào)中，為保證消旋系統(tǒng)的出射光源在探測(cè)器內(nèi)形成的偏移誤差來(lái)源于消旋機(jī)構(gòu)本身，對(duì)入射光源進(jìn)行光路修正，保證入射光源的指向穩(wěn)定性。

圖6 K 鏡裝調(diào)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.6 Experimental bench of K-mirror

在基礎(chǔ)裝配后，對(duì)K 鏡主鏡和KM2 子鏡進(jìn)行位姿調(diào)整，主要通過(guò)改變墊片的尺寸對(duì)主鏡的傾斜和Y向平移進(jìn)行調(diào)節(jié)，對(duì)KM2 子鏡進(jìn)行Y向調(diào)節(jié)和傾斜調(diào)節(jié)，在調(diào)解過(guò)程中可進(jìn)行相互補(bǔ)償。其中，Z向具有安裝基準(zhǔn)面無(wú)需調(diào)節(jié)。實(shí)驗(yàn)室調(diào)節(jié)狀態(tài)下得到最優(yōu)調(diào)節(jié)結(jié)果。調(diào)節(jié)最優(yōu)情況下，截取探測(cè)器上顯示的圖形，尋找圖形的最小外接圓，得到的探測(cè)器圖形如圖7所示，其最小外接圓半徑占像面45個(gè)像元（像元大小：5.2 μm），將探測(cè)器圖形所測(cè)得到的圖像半徑帶入式（20）中，得到光經(jīng)過(guò)K 鏡后產(chǎn)生的消旋指向精度為β=14.24′。

仿真驗(yàn)證時(shí)，其有限元分析結(jié)果小于表2所示的誤差分配結(jié)果，因此仿真結(jié)果小于數(shù)值優(yōu)化得到的指向精度。并且仿真時(shí)，假設(shè)軸承、內(nèi)鏡筒、外鏡筒等關(guān)鍵零部件的安裝誤差處于理想狀態(tài)下，因此其仿真誤差小于實(shí)際裝調(diào)誤差。

4 結(jié)論

本文針對(duì)地平式天文光譜儀的消旋需求，對(duì)一套懸臂式K 鏡消旋系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)光機(jī)系統(tǒng)的多誤差源影響指向性問(wèn)題，根據(jù)消旋系統(tǒng)工作原理和光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案找到不可調(diào)節(jié)誤差源，并提出了類粒子群優(yōu)化方法，利用該優(yōu)化方法對(duì)其誤差源進(jìn)行智能優(yōu)化，得到了可收斂的誤差優(yōu)化分配結(jié)果。對(duì)最終設(shè)計(jì)方案和公差分配方案進(jìn)行了光機(jī)耦合誤差分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，仿真分析結(jié)果表明最大消旋指向精度為6.95′′，實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)中探測(cè)器顯示圖形占像面45 個(gè)像元，即K 鏡的消旋指向精度為14.24′。提出的基于類粒子群算法結(jié)合蒙特卡洛算法的智能優(yōu)化方法對(duì)各誤差源進(jìn)行了合理的公差分配，可為以后智能誤差分配高精度光機(jī)儀器的誤差源、指導(dǎo)工程化的加工公差分配和結(jié)構(gòu)優(yōu)化極限提供參考。