例談新定義問題的特點與解題路徑

顧曉峰

[摘 ?要] 新定義問題的解決要求學(xué)生在新情境中利用已有知識直接或間接地解決問題，對學(xué)生思維的靈敏性、綜合性有著較高的要求. 文章通過對相關(guān)題目進(jìn)行梳理和歸納，總結(jié)新定義問題的主要特點并提出解題路徑.

[關(guān)鍵詞] 新定義問題;特點;數(shù)學(xué)思維;解題路徑

研究背景

在近幾年全國各地的高考、模擬考試中，新定義問題因其設(shè)計新穎、思路開闊、追本溯源等特色而愈發(fā)受到命題者青睞，也開始有越來越多的一線教師進(jìn)行研究. 不過，現(xiàn)有的研究成果并不多，且多局限于題型梳理，少有對該類問題的解決策略進(jìn)行總結(jié)和提取[1][2][3][4]. 筆者通過對新定義問題的大量梳理并結(jié)合高三復(fù)習(xí)教學(xué)時學(xué)生解決該類問題的實際情況，總結(jié)新定義問題的特點、求解策略，形成一般研究路徑，以期給讀者提供一些素材與建議.

新定義問題特點

1.問題類型

從內(nèi)容上看，新定義問題的類型可分為：新定義概念和新定義運算. 新定義概念是在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，重組或變化一些條件，生成新的名詞或通過給出新的性質(zhì)來定義一個新概念;新定義運算是根據(jù)基本的運算法則和運算律，生成一種新的運算算理. 在一定程度上，新定義問題不完全是創(chuàng)新題，因為其依然根植于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念、基本方法與基本思想.

從新定義的融入方式來看，可以分為附加式、變異式和沉浸式. 附加式指問題的本質(zhì)依然是明確使用已有知識進(jìn)行處理的常規(guī)問題，只不過是對其解決過程附加了一種說法或者對其結(jié)果附加了一個名詞;變異式指對已有知識進(jìn)行重組，或者對原有問題加以掩飾而“異化”為新問題;沉浸式是指定義的條件獨立性強，問題背景與原有知識體系有差異甚至“產(chǎn)生沖突”，需要拋開固有套路而沉浸于新情境來解決問題.

2.問題命制

新定義問題的命制方法呈現(xiàn)出兩種趨勢，第一，高等數(shù)學(xué)知識的適度下放.如向量的外積（叉乘）、狄利克雷函數(shù)、凸函數(shù)、高斯函數(shù)、卡特蘭數(shù)等，將這些新知識低深度地與學(xué)生現(xiàn)有知識相融合;第二，將已有概念內(nèi)容或數(shù)學(xué)方法重新整合使之“面目全非”，通過有效轉(zhuǎn)化便可“回歸本源”.

3.問題特性

創(chuàng)新性：新定義問題的背景新穎獨特，題目中常出現(xiàn)“定義”“規(guī)定”“稱為”等詞匯，定義內(nèi)容與教材中的知識內(nèi)容存在一定差異，并且有時表述抽象，要求學(xué)生必須首先仔細(xì)讀題并明其新意，再進(jìn)行解題.

綜合性：新定義問題背景創(chuàng)新，綜合聯(lián)絡(luò)不同知識點和知識塊，綜合運用各類數(shù)學(xué)思想方法，全面考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力.包括明晰新概念的構(gòu)成要素，挖掘與已有知識的關(guān)聯(lián)并將已有方法進(jìn)行遷移，對新問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化等，指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

速用性：新定義問題的解決是指學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)迅速學(xué)習(xí)并立即使用一個新的數(shù)學(xué)知識，這意味著學(xué)生需要在沒有老師指導(dǎo)下的短時間內(nèi)“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣”，對他們的思維靈敏性要求很高.

新定義問題解決策略分析

1.按部就班

（1）直接應(yīng)用與表示

例1 （2020無錫期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀. 相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客;人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如44，585， 2662等. 那么，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（ ?）

分析：本題屬于新定義概念，變異式問題. 新數(shù)列與熟悉的等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義不同，并使用了較為“數(shù)學(xué)化”的語言來表述，雖精練但抽象.基于條件信息中的關(guān)鍵詞（“m項為0”“m項為1”“任意”“0的個數(shù)不少于1的個數(shù)”），將待求“規(guī)范01數(shù)列”的特征具體化：一共有8項，其中4項是0，4項是1，從前往后數(shù)無論數(shù)到哪兒，數(shù)到的0的個數(shù)都大于或等于1的個數(shù). 根據(jù)轉(zhuǎn)化后的條件，必有a=0，a=1，a到a的情況則通過列舉法呈現(xiàn)，直觀地進(jìn)行計數(shù).

新定義問題解題路徑研究

基于波利亞的經(jīng)典解題范式[5]以及新定義問題的特點、解決策略的分析，下面提出該類問題的解題路徑（圖3）：

第一步：理解定義，熟悉問題. 通過認(rèn)真讀題，確定題目的類型，理解定義中語言的表述，內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系以及目標(biāo)是解決什么問題.

第二步：分析定義，制定策略. 分析新的定義與哪塊已學(xué)過的知識相關(guān)，是該部分知識的重組或是變式或是擴充？迅速建立起已知（已習(xí)得的概念、方法、思想）與未知（新情境、新條件、新目標(biāo)）之間的關(guān)聯(lián)，制定解題策略.

第三步：利用定義，執(zhí)行方案. 根據(jù)新定義的特點與解題目標(biāo)，選擇數(shù)學(xué)工具，按照合適的策略進(jìn)行處理. 在解題過程中，需要逐步檢查，來校驗每一步結(jié)果是否符合新概念或新運算所提出的要求（滿足定義的所有條件了嗎？轉(zhuǎn)化是否合理、等價？）.

第四步：回顧過程，反思定義. 解題完成后，回顧并審視關(guān)鍵步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性，確保結(jié)果的可靠性，并進(jìn)一步反思結(jié)果，加深對新定義的認(rèn)識.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?虞懿. 賞析2016年高考新定義型創(chuàng)新題[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（12）：34-37.

[2] 姜世學(xué). “新定義”型問題特征分析與解決策略淺析[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（11）：16-18.

[3] 黃杏，胡典順. 近年來高考數(shù)學(xué)中“新定義”題型解析[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2018（12）：35-38.

[4] 楊國平. 新定義問題的三個常考題型[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（15）：77-78.

[5] 波利亞. 怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2012.