追根溯源探尋函數(shù)背景下圖形面積類題型解題策略

辛文梁

【摘要】函數(shù)背景下綜合性強(qiáng)的圖形面積問題一直是初中學(xué)生所面對(duì)的比較棘手的問題，只有抓住這類問題的根本即三角形的面積問題，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的解題策略，遵循“橫平豎直”的轉(zhuǎn)化原則，方能撥云見日，快速解題。因此，教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)專題教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想與方法，提升解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生高階思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】圖形面積;解題策略;橫平豎直;割補(bǔ)法

幾何圖形的面積問題對(duì)于初中生來說是一類十分熟悉的題型，雖然人教版教材對(duì)幾何圖形面積沒有設(shè)置專門章節(jié)進(jìn)行系統(tǒng)地講解和歸納，但從三角形面積公式開始，幾何圖形的面積在不同章節(jié)中先后出現(xiàn)，由三角形到四邊形再到多邊形，由規(guī)則的幾何圖形到不規(guī)則的，由平面圖形到立體圖形。圖形面積解題思想已在教學(xué)中逐步滲透和拓展，學(xué)生已具備一定的圖形面積類問題的解題策略意識(shí)，解決一般的幾何圖形面積還是比較得心應(yīng)手的。然而，平面幾何圖形與平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等多知識(shí)綜合時(shí)，熟悉的面積問題又開始變得陌生了，學(xué)生不知該如何下手。尤其是進(jìn)入初三中考復(fù)習(xí)階段，平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形面積問題更加凸顯其綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，比如，拋物線上動(dòng)點(diǎn)形成的圖形面積最值問題，甚至反比例函數(shù)或一次函數(shù)中的面積問題難度也不小，給學(xué)生帶來不同程度的困擾，是什么原因造成這種現(xiàn)象的呢？其實(shí)最關(guān)鍵的原因在于沒有抓住這類面積問題的解題根本，再加上缺乏對(duì)面積類問題的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)、分類整理和歸因研究，學(xué)生缺乏綜合性較強(qiáng)面積類問題的解題方法、思路和策略。

一、尋“根”之旅

我們知道數(shù)學(xué)知識(shí)如數(shù)學(xué)概念、定理和公式大都是有背景的，有來龍去脈的，有其形成過程的，這些我們稱之為數(shù)學(xué)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”或者說是“根”。我們不妨回顧小學(xué)時(shí)三角形面積、矩形（長(zhǎng)方形）、正方形、平行四邊形等規(guī)則圖形面積公式的探究思路，乃至初中菱形、多邊形甚至一些不規(guī)則圖形面積的學(xué)習(xí)過程，不難發(fā)現(xiàn)其實(shí)面積類問題的根本就在三角形面積公式的靈活運(yùn)用，多邊形、不規(guī)則圖形都可以通過轉(zhuǎn)化為三角形的面積求解，進(jìn)而產(chǎn)生“割補(bǔ)法”“鉛錘法”等各種解題方法。正是由于面積問題的學(xué)習(xí)零散在各個(gè)章節(jié)之中，缺乏系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，學(xué)生未能及時(shí)梳理、歸納發(fā)現(xiàn)這個(gè)“根”，必然導(dǎo)致解綜合性較強(qiáng)面積問題時(shí)出現(xiàn)思路短路，無從下手的情況。

例1：如圖1，P是反比例函數(shù)y=k/x在第二象限圖像上的一點(diǎn)，由P向y軸引垂線，垂足為D，連接OP，△PDO面積為3，則k=_______。

解題方法：其實(shí)將拋物線去掉后就是變式1的斜三角形問題，方法同樣可以選擇上面的七種方法中的一種來求解。增加二次函數(shù)背景后，主要難度來源于轉(zhuǎn)化后三角形的底或高需要用動(dòng)點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)來表示，也就是說需要利用參數(shù)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)去表示轉(zhuǎn)化后的三角形的底和高，最后表示出△PBC的面積和面積的最值及P點(diǎn)坐標(biāo)（如圖10）。

總結(jié)：通過對(duì)上面七種方法的觀察、對(duì)比、分析，我們可以再次明確平面直角坐標(biāo)系中平面幾何圖形的面積解題思路為轉(zhuǎn)化成三角形的面積，但轉(zhuǎn)化的三角形不是毫無目的地轉(zhuǎn)化，不是隨意割補(bǔ)成幾個(gè)三角形，而是要遵循一定的原則和特點(diǎn)，也就是三角形的底和高要滿足“橫平豎直”的特點(diǎn)，目的是方便對(duì)底和高求解，“橫平豎直”這個(gè)特點(diǎn)就是割補(bǔ)法、鉛錘法等求面積的“法”，只要遵循這個(gè)“法”，我們不但能用多種方法求解，還能從中快速選擇最合適、最簡(jiǎn)便的方法實(shí)現(xiàn)高效解題的目的，發(fā)展學(xué)生高階思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總結(jié)：掌握?qǐng)D形面積解法的根本思想和一定策略、方法后，我們就要對(duì)方法進(jìn)行篩選，實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)求解的目的，也就是要對(duì)各種方法“擇優(yōu)錄取”。要做到快速選擇合適的方法，需要具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生知識(shí)靈活運(yùn)用的能力要求較高。因此，在教師平時(shí)的教學(xué)中要善于歸納總結(jié)，多進(jìn)行專題教學(xué)，逐步滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，提升學(xué)生能力，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和高階思維能力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程?！痹趫D形面積的教學(xué)中只有把探究的任務(wù)布置給學(xué)生，讓學(xué)生帶著問題去思考，教師適時(shí)總結(jié)點(diǎn)撥，歸納總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)圖形面積解法中的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，吃透求解面積時(shí)要抓住三角形面積公式這一根本和底與高要滿足“橫平豎直”的轉(zhuǎn)化原則，便可培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通、舉一反三的能力。

[本文系廣州市增城區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃（2021年度）課題“新中考背景下的初中生數(shù)學(xué)審題能力培養(yǎng)策略研究”（課題編號(hào)：zc2021002）的研究成果]

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]朱千秋.用“割補(bǔ)法”解決圖形面積與坐標(biāo)問題[J].初中生世界，2019（2）：73-74.

[3]劉鈺.基于數(shù)學(xué)知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”視域下的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2020（12）：7-9.

責(zé)任編輯? 羅良英