探索思路構(gòu)建，撬動(dòng)思維大門(mén)

黃素蘭

[摘 ?要] 解題教學(xué)要關(guān)注學(xué)情，以學(xué)生的思維能力為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探究問(wèn)題，串聯(lián)條件，構(gòu)建思路. 中考幾何壓軸題常在教材知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，把握?qǐng)D形特點(diǎn)，逐步拆分構(gòu)建，即可達(dá)成解題目的. 解題教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生思維，注重探究體驗(yàn). 文章探究了一道幾何綜合題的構(gòu)建過(guò)程，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 幾何;動(dòng)態(tài);模型;三角函數(shù);過(guò)程

解題教學(xué)的重點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生善于解題. 但解題不在于多，而在于精，要通過(guò)解題使學(xué)生深刻理解概念，扎實(shí)基礎(chǔ)，從而靈活應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的問(wèn)題. 下面以一道幾何壓軸題為例，關(guān)注學(xué)生思維，探究解題過(guò)程，構(gòu)建解題思路.

問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題：如圖1所示，在？荀ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且DE⊥BC，∠A=45°，AB=BE，點(diǎn)F是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BF和EF，回答下列問(wèn)題.

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)F和D相重合時(shí)，如果CE=1，試求BD的長(zhǎng);

（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，∠ABF的平分線與AD交于點(diǎn)G，試證明BF=EC+AG;

（3）在（1）條件成立的情況下，將△CEF沿著CD平移，得到了△C′E′F′，連接BE′，將BE′繞著點(diǎn)E′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段E′B′，再連接AB′和BB′. 在平移過(guò)程中，當(dāng)△ABB′的周長(zhǎng)最短時(shí)，請(qǐng)求出tan∠DAB′的值.

上述是一道綜合性極強(qiáng)的幾何試題，符合新課標(biāo)對(duì)學(xué)生知識(shí)與技能的考查要求，問(wèn)題將動(dòng)態(tài)幾何與邏輯推理相結(jié)合，題干條件凝練、圖像清晰、構(gòu)建精妙，問(wèn)題難度梯度呈現(xiàn)，知識(shí)綜合性極強(qiáng). 尤其是第（3）問(wèn)將圖形平移與線段旋轉(zhuǎn)相融合，同時(shí)結(jié)合了三角函數(shù)、周長(zhǎng)最值等知識(shí). 平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合在壓軸題中不常出現(xiàn)，問(wèn)題新穎但不超越考綱，為學(xué)生提供了更大的思維空間，可將不同條件作為解題的切入點(diǎn). 在實(shí)際解題時(shí)，學(xué)生的思維活動(dòng)具有較大差異，教學(xué)引導(dǎo)提倡整體分析圖像，以思路構(gòu)建為重點(diǎn)，探索解題方向.

針對(duì)學(xué)生開(kāi)展解題分析

上述題目為幾何綜合題，對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生而言，該題過(guò)于復(fù)雜，一般讀題后就直接放棄了. 該題以平行四邊形為背景，討論了點(diǎn)F的位置，論證含有系數(shù)的線段和差關(guān)系;引入動(dòng)態(tài)圖形，分析三角函數(shù)的構(gòu)建. 對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生而言，若不能把握線段系數(shù)的特殊性，構(gòu)造等腰直角三角形，運(yùn)用“瓜豆原理”分析動(dòng)點(diǎn)軌跡，則很難轉(zhuǎn)化條件，也無(wú)法將條件與幾何相似或全等聯(lián)系起來(lái). 因此，問(wèn)題探究要注重兩點(diǎn)：一是注重破題關(guān)鍵點(diǎn)的分析;二是注重條件轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建.

1. 第（1）問(wèn)的解題分析

在第（1）問(wèn)中，點(diǎn)F與點(diǎn)D相重合，結(jié)合DE⊥BC可知△DBE為直角三角形，借助勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)即可求出BD的長(zhǎng)，問(wèn)題較為簡(jiǎn)單.

確定線段推導(dǎo)的起點(diǎn)極為重要，∠A=45°，則△DEC為等腰直角三角形，故DE=EC=1，可推知DC=AB=BE=. 在Rt△DEB中，DE=1，BE=，由勾股定理可得BD=，同時(shí)整個(gè)圖形中的線段長(zhǎng)度如圖4所示.

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注該圖形中的兩大特性：一是直角三角形特性——勾股定理;二是平行四邊形特性——對(duì)邊相等. 在幾何特性的基礎(chǔ)上開(kāi)展線段關(guān)系的推導(dǎo)，對(duì)于其中的角度條件，可引導(dǎo)學(xué)生從幾何特性和三角函數(shù)的視角來(lái)發(fā)掘. 對(duì)于圖形線段的推導(dǎo)問(wèn)題，建議采用上述直觀呈現(xiàn)的方式，將對(duì)應(yīng)線段標(biāo)注在圖中，有助于線段關(guān)系鏈的構(gòu)建.

2. 第（2）問(wèn)的解題分析

在第（2）問(wèn)中，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，并且∠ABF的平分線為BG，要求論證BF=EC+AG，屬于含有系數(shù)的線段和差問(wèn)題. 其中，系數(shù)提升了問(wèn)題的難度，也為后續(xù)的圖形構(gòu)造提供了思路. 一些學(xué)生對(duì)系數(shù)值理解不到位，同時(shí)對(duì)含系數(shù)的線段和差關(guān)系的轉(zhuǎn)化策略也掌握得不牢固，于是無(wú)法靈活地構(gòu)造圖形，也就無(wú)法消除系數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段和差關(guān)系.

根據(jù)該系數(shù)，自然可以聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合題干條件將其轉(zhuǎn)化為EF或FC或DF即可. 線段和差的處理方式通常為構(gòu)造全等三角形，拼接轉(zhuǎn)化線段，故解題時(shí)可構(gòu)造全等的等腰直角三角形來(lái)轉(zhuǎn)化含系數(shù)的線段. 后續(xù)分析AB=BE，∠A=45°，故可考慮以BE為一邊來(lái)構(gòu)造與△ABG全等的三角形. 由于∠FEC=45°，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)H，使得EH=AG，則△ABG≌△EBH，再進(jìn)一步證明FB=FH即可，具體過(guò)程如下.

延長(zhǎng)FE至點(diǎn)H，使得∠GBH=135°，如圖5所示. 結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可推知∠ABC=135°，故∠GBH=∠ABC，即∠ABG=∠EBH. 又知DE⊥EC，∠C=45°，故△DEC為等腰直角三角形. 點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，則EF⊥CF，EF=CF，故∠FEC=∠BEH=45°，EF=EC. 進(jìn)一步可證△ABG≌△EBH，則可推知∠H=∠AGB=∠EBG. 又知∠ABF的平分線為BG，所以∠ABG=∠FBG. 所以∠FBG=∠EBH，從而可推知∠EBG=∠FBH，即∠H=∠FBH. 所以FB=FH=EF+EH=EC+AG.

另解 對(duì)于本題，也可以AB為邊來(lái)構(gòu)造與△BEF全等的三角形，后續(xù)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可推出△HBG為等腰三角形，根據(jù)線段和差及等腰直角三角形的結(jié)論也可證明，具體如下.

延長(zhǎng)DA至點(diǎn)H，使得AH=EF，再連接BH，如圖6所示. 易證∠BEF=∠BAH=135°，又知AH=EF，BA=BE，則△ABH≌△EBF，所以BH=BF，∠ABH=∠EBF. 由于∠ABF的平分線為BG，所以∠ABG=∠FBG，可推知∠HBG=∠EBG. 因?yàn)锳D∥BC，所以∠HGB=∠EBG. 所以∠HGB=∠HBG，可推知BF=HB=HG=AH+AG=EC+AG.

3. 第（3）問(wèn)的解題分析

第（3）問(wèn)是融合了幾何運(yùn)動(dòng)與三角函數(shù)的綜合題，涉及圖形的平移和線段的旋轉(zhuǎn)，求解本題的關(guān)鍵是確定B′的運(yùn)動(dòng)軌跡，而實(shí)際上點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)E′的運(yùn)動(dòng)軌跡相關(guān)，即兩者存在聯(lián)動(dòng). 學(xué)生在解答時(shí)若不能把握動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)動(dòng)性，則很難確定關(guān)鍵點(diǎn)的軌跡，也就無(wú)法確定△ABB′周長(zhǎng)的最值情形. 其中“瓜豆原理”是動(dòng)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)性分析的關(guān)鍵知識(shí)，教學(xué)中需要結(jié)合圖形重點(diǎn)講解.

突破該問(wèn)的基本思路是提取動(dòng)點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，結(jié)合“瓜豆原理”分析即可. 后續(xù)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型，結(jié)合對(duì)稱(chēng)知識(shí)確定△ABB′周長(zhǎng)的最小值，此時(shí)就為點(diǎn)B′的位置，圖形即可確定，構(gòu)造直角三角形便可求得tan∠DAB′的值，具體過(guò)程如下.

結(jié)合平移知識(shí)可知，點(diǎn)E′的運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)點(diǎn)E且平行于CF′的一條線段. 利用“瓜豆原理”分析點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡. 過(guò)點(diǎn)E作EL⊥BE，使得EL=BE，構(gòu)造等腰直角三角形△BEL，如圖7所示. 易證圖7中陰影部分的兩個(gè)三角形為相似關(guān)系，故有∠B′LB=∠E′EB=45°，所以∠B′LE=90°，即點(diǎn)B′在過(guò)點(diǎn)L且平行于BE的射線上.

△ABB′的周長(zhǎng)可表示為C=AB+BB′+AB′，其中AB為定值，則三角形周長(zhǎng)的最小值由“BB′+AB′”來(lái)決定，符合“將軍飲馬”模型. 延長(zhǎng)LB′，作點(diǎn)A關(guān)于LB′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，由對(duì)稱(chēng)性可知AB′=A′B′，則BB′+AB′=BB′+A′B′. 分析可知，當(dāng)點(diǎn)A′，B′，B三點(diǎn)共線時(shí)，BB′+A′B′可取得最小值，此時(shí)點(diǎn)B′為A′B與直線L的交點(diǎn)，如圖8所示. 可證圖8中有△ANB′∽△A′OB，由相似性質(zhì)可得=，其中OB=1，AN=-1，A′O=2-1，則NB′=. 而tan∠DAB′=tan∠AB′N(xiāo)==2-1，即tan∠DAB′的值為2-1.

圍繞教學(xué)深入思考

上述針對(duì)學(xué)生的思維能力展開(kāi)考題探究，問(wèn)題共有三問(wèn)，后兩問(wèn)的難度較大，問(wèn)題各自獨(dú)立，又具有一定的知識(shí)聯(lián)系，綜合性極強(qiáng). 筆者經(jīng)過(guò)深入思考，提出了相應(yīng)的建議.

1. 基礎(chǔ)強(qiáng)化，知識(shí)聯(lián)網(wǎng)

概念、定理、定義、公式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是綜合性問(wèn)題構(gòu)建的基礎(chǔ)，深刻理解知識(shí)本質(zhì)，掌握方法技巧，才能靈活破解問(wèn)題. 本題中，平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似或全等三角形的性質(zhì)是破題的知識(shí)基礎(chǔ)，若學(xué)生不能充分理解知識(shí)內(nèi)涵，不能靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化，就會(huì)導(dǎo)致解題失敗. 教師要轉(zhuǎn)變“重解題，輕基礎(chǔ)”的觀念，在教學(xué)中重視教材基礎(chǔ)知識(shí)的講解，并結(jié)合考題指導(dǎo)方法運(yùn)用，從根本上提升學(xué)生的解題能力.

2. 重視審題，過(guò)程推理

本題中含有大量的信息條件，涉及平移、旋轉(zhuǎn)兩大幾何運(yùn)動(dòng)以及周長(zhǎng)最值、三角函數(shù)等熟悉的知識(shí)模塊. 從題干信息入手，理解問(wèn)題條件，掌握?qǐng)D形特點(diǎn)十分重要，這也是審題的重點(diǎn)內(nèi)容. 部分學(xué)生在讀題過(guò)程中不注重條件的挖掘，難以深刻理解圖像所隱含的信息，解題時(shí)就容易出現(xiàn)思維障礙. 在日常教學(xué)時(shí)，教師要依托教材習(xí)題，指導(dǎo)學(xué)生掌握正確的審題方法，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化信息條件，進(jìn)行過(guò)程體驗(yàn)，讓學(xué)生在圖形變換、過(guò)程分析中提升思維能力，培養(yǎng)理性分析的習(xí)慣.

3. 注重積累，總結(jié)模型

上述問(wèn)題的綜合性很強(qiáng)，尤其是最后一問(wèn)融合了眾多模型，如與聯(lián)動(dòng)相關(guān)的“瓜豆模型”、與線段最值相關(guān)的“將軍飲馬模型”，這些模型為后續(xù)的破題提供了條件. 雖然數(shù)學(xué)模型不是教材的重點(diǎn)內(nèi)容，但總結(jié)模型、提取結(jié)論可有效提升解題效率. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師不能一味地解題而忽視知識(shí)模型的總結(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖像模型，總結(jié)模型結(jié)論，進(jìn)而形成相應(yīng)的解題策略;同時(shí)，要注重多角度探究模型，拓展模型結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)舉一反三，在探索與思考中獲得知識(shí)與能力的提升.

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