巧構(gòu)函數(shù)求解不等式問(wèn)題

朱成萬(wàn)

(浙江省杭州市第十四中學(xué),310006)

函數(shù)的單調(diào)性與不等式問(wèn)題密切相關(guān).用函數(shù)的單調(diào)性解不等式問(wèn)題,首要任務(wù)是關(guān)注其代數(shù)式的結(jié)構(gòu).以單調(diào)增函數(shù)為例,其核心結(jié)構(gòu)是:若α>β, 則f(α)>f(β);反之,若f(α)>f(β),則α>β.這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)顯著特征:(1)條件與結(jié)論都是不等式;(2)不等式兩邊所含的字母或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是一致的.

因此,遇到具有上述兩個(gè)特征的不等式問(wèn)題,就可以構(gòu)造函數(shù),并利用其單調(diào)性解題.本文試舉幾例,以饗讀者.

例1(2020年全國(guó)高考題)若2x-2y<3-x-3-y成立,則( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|x-y|>0

(D)ln|x-y|<0

分析題設(shè)條件不等式的結(jié)構(gòu)是以“底數(shù)”為標(biāo)準(zhǔn)歸類(lèi),即將底數(shù)相同的放在一邊,這樣看不出x與y之間的關(guān)系.所以我們要調(diào)整不等式,以“冪”為標(biāo)準(zhǔn)歸類(lèi),即將含x的式子放一邊,含y的式子放另一邊,得到2x-3-x<2y-3-y,由此構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-3-x,利用其單調(diào)性求解.

解由條件得2x-3-x<2y-3-y.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-3-x,則f(x)

于是y-x+1>1,得ln(y-x+1)>0.故選A.

(A)m>n(B)m

評(píng)注例1和例2都是通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解題.其關(guān)鍵是調(diào)整不等式,使不等式兩邊所含的字母或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是一致的,即利用單調(diào)性代數(shù)結(jié)構(gòu)的第二個(gè)特征解題.

例3(2012年浙江高考題)設(shè)a>0,b>0.則有( )

(A)若2a+2a=2b+3b,則a>b

(B)若2a+2a=2b+3b,則a

(C)若2a-2a=2b-3b,則a>b

(D)若2a-2a=2b-3b,則a

分析題設(shè)4個(gè)選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征是:條件是等式,結(jié)論是不等式,因此需將等式化為不等式,使條件與結(jié)論的代數(shù)結(jié)構(gòu)一致.

解若2a+2a=2b+3b,必有2a+2a>2b+2b.構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+2x,則f(a)>f(b),結(jié)合f(x)在(0,+∞)單調(diào)增,得a>b成立.故選A.

評(píng)注選項(xiàng)A正確,可排除B.其余選項(xiàng)用同樣方法排除.

例4(2020年全國(guó)高考題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

解由條件,可得2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,則f(a)

評(píng)注例3和例4也都是通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解題.其關(guān)鍵是化等式為不等式,使條件與結(jié)論都是不等式,即利用單調(diào)性代數(shù)結(jié)構(gòu)的第一個(gè)特征解題.

例5(2020年遼寧高考題改編)已知a≤-2,函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.求證:對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

不妨設(shè)x1≥x2,則|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價(jià)于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.

綜上,對(duì)任意x1，x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.得證.

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵是將不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|去絕對(duì)值,將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,從而構(gòu)造函數(shù)g(x),并利用單調(diào)性求解.