唱大軸的導數

單 墫

(江蘇省南京師范大學數學與計算機科學學院，210023)

近來,大軸題(最后一題)常常是導數的應用.如下面的這道題.

題目證明函數y=ex-1-2lnx+4x-6的圖象不在函數y=(x-2)3的圖象下方.

這道題就是要證明x>0時,恒有

f(x)=ex-1-2lnx+4x-6-(x-2)3

≥0.

①

證明一般分為兩步:

(1)找一個值x=a,使① 式的左邊為零,這個a就是f(x)取最小值時的點.通?？捎捎^察法獲得,而且f(a)是比較容易計算的.例如本題a=1,f(1)=e0-2ln 1+4-6+1=0.

(2)求f′(x),證明在00,從而f(x)單調增,f(x)≥f(1)=0.

理論很簡單,但實際操作起來卻會遇到困難.困難不在求導數,而在不等式的證明.教材中缺少不等式證明的內容,不加以補充,在這里便遭遇滑鐵盧了.

但在x≥1時,

②

不是很好證明.

ex-1+2-3(x-2)2≥0 (x≥1).

③

第三,將能很快證明的部分先證明.我們要證明③ 式在x≥1時成立,一步證出有困難,可分為兩步.

在[1,3]上,(x-2)2≤1,ex-1+2-3(x-2)2≥1+2-3=0,所以f′(x)≥0,f(x)單調增,有f(x)≥f(1)=0.

最后,再全力處理區(qū)間[3,+∞).可令t=x-2(使符號簡單一些),則問題等價于證明t≥1時,

h(t)=et+1+2-3t2>0.

④

(t=1即x=3的情況,上面已經證明.當然現(xiàn)在直接驗證也不難:e2+2>3)

要證明④ 式,依然用導數.h′(t)=et+1-6t,h″(t)=et+1-6,當t≥1時,h″(t)≥e2-6>2.72-6>2.52-6=0.25>0,所以h′(t)單調增.又h′(1)=e2-6>0,所以h′(t)≥h′(1)>0,得h(t)單調增,從而t≥1時,④ 式成立,即③ 式成立,從而② 式成立.證畢.