巧用“1”的逆代換求解最值問題

張之閱

(江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高一(13)班，225009)

類型1整式和與分式和在條件與結(jié)論中搭配

求解此類問題的關(guān)鍵是觀察分式中分母的和與整式的關(guān)系,合理配湊.

評(píng)注解法5充分利用橢圓的參數(shù)方程，將所有點(diǎn)的坐標(biāo)都“三角化”.除了開始利用橢圓的定義研究?jī)蓚€(gè)三角形的周長(zhǎng),再利用分割法和等積法將r1-r2表示為三角函數(shù)的形式.在后面的變形求解過程中,同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式、二倍角公式、和差化積公式、萬(wàn)能公式等諸多三角公式輪番上陣,令人目不暇接.本題的計(jì)算量之大,三角恒等變換能力要求之高,非同一般.

上面對(duì)一道橢圓聯(lián)賽試題運(yùn)用了5種方法進(jìn)行解答.5種解法各具特色、精彩紛呈,其中前4種方法凸顯了“將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì),圖形問題代數(shù)化”的數(shù)學(xué)本質(zhì),解法5則側(cè)重了三角恒等變換的運(yùn)用.比較而言,我們更推崇前兩種方法,即解法1和解法2,尤以解法1為主,后面三種方法作為輔助,僅供大家開闊思路參考.

評(píng)注觀察整式與分式分母的關(guān)系,是“1”的逆代換的前提,有時(shí)部分逆代換,有時(shí)整體逆代換,但是目標(biāo)是化成齊次式,這正是數(shù)學(xué)思維靈活變通的體現(xiàn).

類型2條件中整式和分式混合

此類問題的解法是將已知條件中整式和分式部分分別看作兩個(gè)整體,適當(dāng)重組,巧妙湊“1”.

評(píng)注求解此類問題的關(guān)鍵在于抓住已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),合理挖掘隱藏條件,配湊出“1”的恒等式,解題思路既合理自然,又富有創(chuàng)意,解題過程讓人產(chǎn)生一種撥開云霧見月明的領(lǐng)悟.

(參考答案:[2,8])

類型3在不等式條件下求函數(shù)的最值

評(píng)注本解法利用不等式構(gòu)造常數(shù)“1”進(jìn)行逆代換,方便了放縮法構(gòu)造齊次式解題.

評(píng)注利用分母的和為常數(shù)配湊,也是化為齊次式的一個(gè)手段.本題中的”1”逆代換為x+(1-x),技巧性比較強(qiáng),但與二元參數(shù)本質(zhì)上是相同的.

類型4條件和結(jié)論之間關(guān)系不明顯

分析可利用減元思想顯神效,或者將“1”逆代換二次,運(yùn)用基本不等式解題.

評(píng)注減元降維思想是處理多元問題的基本思路,“1”的逆代換只是解決問題的一種方法,雖然簡(jiǎn)潔,但不是萬(wàn)能的.

(指導(dǎo)老師:成曉燕)