構(gòu)造數(shù)量積，巧解向量題
——由一道課本習(xí)題所想到的

■俞 飛 張啟兆

題目判斷下列結(jié)論是否正確:已知a，b，c是三個(gè)非零向量，若a·c＝b·c，則a＝b。

容易判斷這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。由a·c＝b·c，可得a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c，故這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。其逆命題:若a＝b，則a·c＝b·c是正確的。利用這個(gè)正確結(jié)論，在解向量問(wèn)題中有時(shí)能起到事半功倍的效果。下面舉例說(shuō)明。

一、從向量等式結(jié)構(gòu)入手,兩邊取數(shù)量積

二、從向量垂直條件入手,兩邊取數(shù)量積

例2若＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為（ ）。

A.30° B.60° C.120° D.150°

解：從c⊥a入手，在c＝a＋b的兩邊取數(shù)量積。

設(shè)向量a與b的夾角為θ。由c⊥a，可得c·a＝0。在c＝a＋b的兩邊同乘以向量a得c·a＝(a＋b)·a，即a2＋a·b＝0，所以1＋2cosθ＝0，即cosθ＝－。又θ∈[0 °，180°]，所以θ＝120°。應(yīng)選C。

評(píng)注：利用c⊥a這一條件，在向量等式c＝a＋b的兩邊取數(shù)量積，能達(dá)到條件和目標(biāo)的和諧統(tǒng)一，從而快速準(zhǔn)確得到結(jié)果。

三、從目標(biāo)需要入手,兩邊取數(shù)量積