數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的實(shí)踐與思考
——以正余弦定理為例

陶 雪 梅

(牡丹江市第一高級中學(xué)，黑龍江 牡丹江 157000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)學(xué)科的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值及數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，使其逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。理解數(shù)學(xué)文化，讓數(shù)學(xué)文化更好地融入課堂教學(xué)，值得深思與實(shí)踐。

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值主要有以下四個(gè)方面：

一、 科學(xué)價(jià)值

法國數(shù)學(xué)家高斯曾說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后?！币庠诒砻鲾?shù)學(xué)較高的地位及其對科學(xué)發(fā)展的重要性。高中數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)為抽象性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。

案例1:正弦定理的證明(這些證明都是綜合歷屆學(xué)生的證明得來)

(一)幾何法

證法1：

(1)當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，作AD⊥BC交BC于D點(diǎn)

(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)角A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),為直角， 如圖，

則BC=a，

即a2=b2+c2-2bccosA,又AD⊥BC所以BD=ccosB,AD=csinB,DC=BC-BD=a-ccosB成立

(3)當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)角ΔADC為鈍角，

作b2=(csinB)2+(a-ccosB)2=c2+a2-2accosB交cosB=0延長線于b2=c2+a2-2accosB點(diǎn)，

則b2=c2+a2-2accosB， 即R=c

所以CD=c-a,CE=a+c,AC=b,AG=2RcosA。

作∴CG=2RcosA-b交|CD||CE|=|AC||GC|,于點(diǎn)(c-a)(c+a)=b(2RcosA-b)，可得a2=b2+c2-2bccosA

即ΔABC成立

綜上有ABDC

證法2： 利用三角形面積證明

(1)當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，作AD=BC=a,BD=AC=b交CE⊥AB,DF⊥AB于AB點(diǎn)

E,F

(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)角AE=BF=bcosA,∴CD=c-2bcosA為直角時(shí)，

AD·BC=AB·CD+AC·BD

(3)當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)角a·a=c(c-2bcosA)+b·b為鈍角，

作a2=b2+c2-2bccosA交a=bcosC+ccosB延長線于b=acosC+ccosA點(diǎn)，

c=bcosA+acosB

同理(2)×b+(3)×c-(1)×a

則a2=b2+c2-2bccosA

證法3：利用和角正弦證明

(1)當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，作2bccosA=2AD2-2BD·CD=AD2+AD2-2BD·CD交=b2-CD2+c2-BD2-2BD·CD=b2+c2-(BD+CD)2于a2=b2+c2-2bccosA點(diǎn)

所以a2=b2+c2-2bccosA

所以bccos∠BAC+accos∠CBA=2(SΔACQ+SΔPBC)=c2，同理accos∠CBA+abcos∠ACB=a2即abcos∠ACB+cbcos∠BAC=b2成立

(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，同證法1的2)

(3)當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)角a2=b2+c2-2bccosA為鈍角，

則a(sinAcosB+cosAsinB)=csinA

asinAcosB+bsinAcosA=csinA

說明：利用=2cosAsinCsinB同上證明也可以。

證法4：

(1)當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，作a2=b2+c2-2bccosA交a=2RsinA于a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)點(diǎn)

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

所以=4R2[sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA]=(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinC)cosA

同理可得a2=b2+c2-2bccosA

即ΔABC,成立

(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，見證法1的2)

c=a(cosB+isinB)+b(cosA-isinA)=acosB+bcosA+i(asinB-bsinA)

c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2=a2+b2+2abcos(A+B)

證法5：利用外接圓證明

(1)當(dāng)三角形為銳角或鈍角三角形時(shí)，作三角形的外接圓圓O，

連AO并延長與圓交于點(diǎn)D，連接BD，

則三角形ABD為直角三角形，

(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，見證法1的(2)

證法6：利用外接圓證明

(1)當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，作OD⊥BC交BC于D，

(2)當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)角A為鈍角，

作OD⊥BC交BC于D，

作OF⊥AC交AC于F，連接AO,CO，如圖

(3)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，見證法1的(2)

二、應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)不只是存在于紙上的符號，更重要的是在現(xiàn)實(shí)社會中的應(yīng)用意義，而數(shù)學(xué)的發(fā)展作為數(shù)學(xué)文化中的重要一環(huán)，受到學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的影響。

三、人文價(jià)值

數(shù)學(xué)的歷史是一部充滿創(chuàng)新的著作，經(jīng)歷了大量的里程碑式的定義與定理：從有理數(shù)到無理數(shù)，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)，從笛卡爾的解析幾何到牛頓、萊布尼茲的微積分的理論等等，所以，數(shù)學(xué)被稱為“創(chuàng)造性的藝術(shù)”。在教學(xué)中，教師要充分挖掘數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的創(chuàng)新價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決各種問題。

案例2:以下是歷史上的數(shù)學(xué)家對于正弦定理證明

1.13世紀(jì)，納綏爾丁分別以B和C為圓心，以長度R為半徑作圓弧，交BA和CA的延長線于E和G。過E和G作BC的垂線，垂足為F和H，則有EF=RsinB，GH=RsinC，

于是AB:AD=1:sinB，AD:AC=sinC:1，故得AB:AC=sinC:sinB。

2.15世紀(jì)，雷吉奧蒙塔努斯

延長BA到E，使得BE=AC。作AD⊥BC，EF⊥BC，垂足為D和F，則sinB：sinC=EF:AD=EB:AB=AC:AB。

3.16世紀(jì)，韋達(dá)過ΔABC的外心O作三邊的垂線，垂足分別為D,E和F，則|

sin∠BAC=sin∠BOD

sin∠ABC=sin∠AOE

故得定理結(jié)論。

4.17世紀(jì)，梅文鼎

在AC上取點(diǎn)E，使得CE=AB。分別過A和E作BC的垂線，垂足為D和F。則sinB：sinC=AD:EF=AC:EC=AC:AB。

5.18世紀(jì)，賴特以B為圓心，BA為半徑作圓弧，過點(diǎn)B作AC的平行線，交圓弧于點(diǎn)E。分別過A和E作BC的垂線，垂足為D和F，

則由RtΔADC相似RtΔEFB可得：

sin∠ABC：sinC=AD:EF=AC:BE=AC:AB。

6.18世紀(jì)，麥格雷戈作BD⊥AC,CE⊥AB，垂足分別為D和E，

則由RtΔACE相似RtΔABD

可得sin∠ABC：sin∠ACB=CE:BD=AC:AB。

7.19世紀(jì)，伍德豪斯AD為BC邊上的高，則有AD=csinB=bsinC，類似可得其他等式。

故得

四、美學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)從邏輯性、抽象性、對稱性和簡潔性等方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。正因?yàn)槿绱?，很多?shù)學(xué)家都認(rèn)為數(shù)學(xué)是美學(xué)，著名數(shù)學(xué)家巴拿赫說：“數(shù)學(xué)是最美的，也是最有力的人類創(chuàng)造”。數(shù)學(xué)的理性是數(shù)學(xué)文化的精髓，這種理性最主要是理科的證明，數(shù)學(xué)之美也體現(xiàn)在證明之中。

由某一主題的數(shù)學(xué)展開就是數(shù)學(xué)美展示的一個(gè)過程，將中學(xué)數(shù)學(xué)不同知識點(diǎn)串聯(lián)起來，并應(yīng)用于教學(xué)，學(xué)生能夠在高度關(guān)聯(lián)的情境中學(xué)習(xí)新知、應(yīng)用知識解決問題，建立不同知識之間的縱向聯(lián)系，加深對知識的理解；同時(shí)，數(shù)學(xué)課堂也因此散發(fā)文化的芬芳，正如克萊因所說“數(shù)學(xué)并不是建立在客觀現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)上的一座鋼筋結(jié)構(gòu)，而是人在思想領(lǐng)域中進(jìn)行特別探索時(shí)，與人的玄想連在一起的蜘蛛網(wǎng)”，這種網(wǎng)既有統(tǒng)一美、邏輯美，又有抽象美。如余弦定理的證明。

案例3:余弦定理的證明

1.向量證法：

即a2=b2+c2-2bccosA

2.建系解析法：

證法2：以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點(diǎn)B落在x軸正半軸上， 則三點(diǎn)坐標(biāo)為

A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),

化簡為a2=b2+c2-2bccosA

3.幾何法：

證法3：勾股定理法

(I)當(dāng)B為銳角時(shí)，過A作AD⊥BC，垂足為D,如圖

則BD=ccosB,AD=csinB,DC=BC-BD=a-ccosB

在直角ΔADC中，根據(jù)勾股定理可得：

b2=(csinB)2+(a-ccosB)2=c2+a2-2accosB

(II)當(dāng)B為直角時(shí)，cosB=0，所以b2=c2+a2-2accosB

(III)當(dāng)B為鈍角時(shí)，證明略。

綜上有：b2=c2+a2-2accosB成立。

證法4：以B為圓心，BA長為半徑作圓，如圖添加輔助線，則R=c

CD=c-a,CE=a+c,AC=b,AG=2RcosA

∴CG=2RcosA-b

由相交弦定理：|CD||CE|=|AC||GC|,

即(c-a)(c+a)=b(2RcosA-b)

所以a2=b2+c2-2bccosA

證法5：托勒密定理證法

作ΔABC的外接圓，過C作CD//AB交圓于D，

則四邊形ABDC為等腰梯形，所以AD=BC=a,BD=AC=b

作CE⊥AB,DF⊥AB交AB于E,F兩點(diǎn)

則AE=BF=bcosA,∴CD=c-2bcosA

由托勒密定理AD·BC=AB·CD+AC·BD

所以a·a=c(c-2bcosA)+b·b

即a2=b2+c2-2bccosA

證法6：射影定理法：

因?yàn)閍=bcosC+ccosB

(1)

b=acosC+ccosA

(2)

c=bcosA+acosB

(3)

(2)×b+(3)×c-(1)×a有a2=b2+c2-2bccosA

證法7：

(I)當(dāng)B為銳角時(shí)，記 ∠BAD=α,∠CAD=β,∴cos∠BAC=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

所以2bccosA=2AD2-2BD·CD=AD2+AD2-2BD·CD

=b2-CD2+c2-BD2-2BD·CD=b2+c2-(BD+CD)2

即a2=b2+c2-2bccosA

(II)當(dāng)B為直角略

(III)當(dāng)B為鈍角時(shí)，證明略。

綜上，有a2=b2+c2-2bccosA成立。

證法8：面積等值法：

從而bccos∠BAC+accos∠CBA=2(SΔACQ+SΔPBC)=c2

同理得accos∠CBA+abcos∠ACB=a2

abcos∠ACB+cbcos∠BAC=b2

聯(lián)立三個(gè)方程，得a2=b2+c2-2bccosA

證法9：由圖可知c2=(bsinθ)2+

(a-bcosθ)2=a2+b2-2abcosθ

4.正弦定理推余弦定理法：

所以asinB=bsinA

(1)

a(sinAcosB+cosAsinB)=csinA

(2)

(1)代入(2)asinAcosB+bsinAcosA=csinA

因?yàn)閟inA≠0,所以bcosA+acosB=c,即c-acosB=bcosA

(3)

(1)2+(3)2有 (asinB)2+(c-acosB)2=b2

即b2=c2+a2-2accosB

由正弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA

證法12：因?yàn)閍=2RsinA，平方得

a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)

=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC]

=4R2[sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)]

=4R2[sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA]=(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinC)cosA所以a2=b2+c2-2bccosA

5.復(fù)數(shù)建模法：

證法13：如圖，在復(fù)平面內(nèi)作ΔABC,

這里D是平行四邊形ACBD的頂點(diǎn)，

根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知，

c=a(cosB+isinB)+b(cosA-isinA)=acosB+bcosA+i(asinB-bsinA)

(1)

對(1)式兩邊取模，平方得c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2=a2+b2+2abcos(A+B)

即c2=a2+b2-2abcosC

在實(shí)際教學(xué)中，這些素材不能直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)該體現(xiàn)教師的引導(dǎo)作用。下面以正弦定理的引導(dǎo)為例展示一下如何引導(dǎo)學(xué)生研究正弦定理。

正弦定理的教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：提出問題，引發(fā)思考。

(1)三角形三邊之間有什么關(guān)系？

(2)三角形三角之間有什么關(guān)系？

(3)三角形邊角之間有什么關(guān)系？

這樣設(shè)計(jì)的主要目的是讓學(xué)生對已有的三角形邊角關(guān)系進(jìn)行梳理，為學(xué)習(xí)新課做好鋪墊，同時(shí)提出這節(jié)課將繼續(xù)研究三角形的邊角關(guān)系，明確研究的主題。

環(huán)節(jié)二：由特殊到一般，得到正弦定理。

在ΔABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,且∠A=∠B=∠C=60°,引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)三角形的邊與角的正弦值之間的a:b:c=sinA:sinB:sinC關(guān)系式是否成立？

接著再舉出以下兩個(gè)特例：若∠A=45°,∠B=45°,∠C=90°,上述關(guān)系式是否成立？

∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°呢？由于學(xué)生已學(xué)習(xí)過特殊角的三角函數(shù)值，因此對于此問題，難度不大，學(xué)生容易得出正確的結(jié)論。在學(xué)生做出正確的判斷后，教師接著設(shè)疑：

考慮到學(xué)生的知識水平有限，讓學(xué)生直接探索正弦定理比較困難，因此，在設(shè)計(jì)中采用由特殊到一般，由具體到抽象的方法，讓學(xué)生歸納猜想出定理。同時(shí)，先讓學(xué)生得出關(guān)系式a:b:c=sinA:sinB:sinC,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

環(huán)節(jié)三：利用幾何畫板，驗(yàn)證正弦定理。

利用幾何畫板可以對正弦定理加以驗(yàn)證，并且可發(fā)現(xiàn)其比值恰好等于所給定的三角形的外接圓的半徑。

這樣的設(shè)計(jì)是由于定理的出現(xiàn)使用的是不完全歸納法，因此可采用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想出的結(jié)論，形成對正弦定理的初步認(rèn)識。

環(huán)節(jié)四：引入文化，豐富內(nèi)容。

通過文化背景介紹，學(xué)生明確了三角學(xué)的發(fā)展階段，并從歷史的角度明確正弦定理的來源和應(yīng)用，為對定理的深刻認(rèn)識做好鋪墊。同時(shí)這樣教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，提高了學(xué)生的文化素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)文化的理念扎扎實(shí)實(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)中。

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問題的著眼點(diǎn)等，都會隨時(shí)隨地產(chǎn)生作用，使人們終身受益?！睌?shù)學(xué)教育不僅僅是知識的傳授、能力的培養(yǎng)，更是一種文化、一種精神的傳播。因此，數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，滲透到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中。作為教師，要不斷提高自身文化修養(yǎng)，深挖課內(nèi)教材，結(jié)合課外素材，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)科知識有機(jī)地融合，潛移默化地影響學(xué)生，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。利用立體幾何講好數(shù)學(xué)故事、開展數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠提升學(xué)生的品德修養(yǎng)、空間想象能力、邏輯推理能力和解決實(shí)際問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他科學(xué)知識奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。