例談超幾何分布與二項(xiàng)分布的辨析

王 進(jìn)

(山東省淄博市高青縣第一中學(xué))

超幾何分布、二項(xiàng)分布是高考常考的概率分布類(lèi)型，這兩種分布既有區(qū)別，又有關(guān)聯(lián)，學(xué)生在初學(xué)時(shí)由于對(duì)兩種分布的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，極易造成混淆，進(jìn)而在解題中出現(xiàn)錯(cuò)解.那么如何區(qū)分這兩種分布?筆者歸納出如下幾個(gè)區(qū)分點(diǎn)，供讀者參考.

1 在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率相同還是不同

辨析從概念上來(lái)看:若隨機(jī)變量X的分布列為(k＝0，1，2，…，l，l＝min{n，M})，則稱(chēng)X服從超幾何分布.若隨機(jī)變量X的分布列為1，p＋q＝1)，則稱(chēng)X服從二項(xiàng)分布.從中可以看出，二項(xiàng)分布在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不變的，超幾何分布是變化的.

例1某大型國(guó)際活動(dòng)招募了50萬(wàn)青年志愿者，根據(jù)性別分層抽樣，從中隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，所得成績(jī)(單位:分)如圖1所示.

圖1

(1)從選出的8名男生中隨機(jī)連續(xù)選取2次，每次選1人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有青年志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取m人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組聯(lián)絡(luò)員至少有1人英語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，求m的最小值.

分析本題第(1)問(wèn)從8人中隨機(jī)連續(xù)選取2次，每次選取1人，第一次選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的概率，與第二次選取的學(xué)生成績(jī)?cè)?0以上的概率不同，故X服從超幾何分布.第(2)問(wèn)中每個(gè)志愿者的英語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分以上的概率都是相互之間互不影響，概率不變，故X服從二項(xiàng)分布.

解(1)8名男生中70分以上的有3人，故X的可能取值為0，1，2.

因此，X的分布列如表1所示.

表1

(2)由圖1中的數(shù)據(jù)可知20人中英語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分以上的有10人，故從中任取1人，其成績(jī)?cè)?0分以上的概率為人中至少有1人成績(jī)?cè)?0分以上，情況較多，包括1人，2人，…，m人.據(jù)對(duì)立事件的原理得，即m的最小值為4.

2 抽取方式是有放回還是無(wú)放回

辨析教材中對(duì)兩種分布的模型解釋:在N件產(chǎn)品中有M件次品，無(wú)放回地任取n件，其中次品數(shù)X服從超幾何分布.在N件產(chǎn)品中有M件次品，有放回地任取n件，其中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布.從中可以看出抽取方式是有放回還是無(wú)放回，這是判斷超幾何分布與二項(xiàng)分布的一個(gè)關(guān)鍵條件.超幾何分布是無(wú)放回，二項(xiàng)分布是有放回.

例2某套高考模擬試卷中單選題共有8道，已知小明能答對(duì)其中的6道.

(1)小明從中任選4道題作答，設(shè)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望;

(2)小明從中每次取出1道題作答，取出后放回，連取4次，設(shè)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望.

分析第(1)問(wèn)從8道題中選4道，可理解為“一把抓”，沒(méi)有順序.第(2)問(wèn)每次取1道題，有順序，且取出后再放回，即第一次取時(shí)，8道題中有6道題會(huì)答，第二次再取時(shí)，仍是8道題中有6道題會(huì)答，每次取題互不影響，即獨(dú)立重復(fù)，共重復(fù)了4次，故服從二項(xiàng)分布.

解(1)8道題中能答對(duì)6道，從中任選4道題，則至少能答對(duì)2道，故X的可能取值為2，3，4，相應(yīng)的概率分別為

因此，X的分布列如表2所示.

表2

(2)每次取出1道題，取出后放回，8道題中有6道能答對(duì)，故每次取題答對(duì)的概率為連續(xù)取4次，即進(jìn)行4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，答對(duì)題目的個(gè)數(shù)Y的可能取值為0，1，2，3，4.

因此，Y的分布列如表3所示.

表3

3 抽取范圍是總體還是樣本

辨析在概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用中，我們常用樣本數(shù)據(jù)特征來(lái)估計(jì)總體.因此在試驗(yàn)活動(dòng)中，要明確是在總體中抽取，還是在樣本中抽取.若在總體中抽取，甚至在某些情況下總體數(shù)量是不確定的，此時(shí)應(yīng)按二項(xiàng)分布的類(lèi)型來(lái)處理.若在樣本中抽取，且無(wú)放回，則按超幾何分布來(lái)處理.

例3每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”，又稱(chēng)“世界圖書(shū)和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位:h)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]這9組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖.

圖2

(1)求a的值;

(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在(12，14]，(14，16]，(16，18]這3組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在(14，16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列;

(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記日平均閱讀時(shí)間在(10，12]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

分析本題第(2)問(wèn)，是從分層抽樣得到的10人中，無(wú)放回任選3人，隨機(jī)變量X服從超幾何分布.第(3)問(wèn)，是從地區(qū)所有高一學(xué)生中抽取，且總體人數(shù)不確定，故X服從二項(xiàng)分布.

解(1)a＝0.1(求解過(guò)程略).

(2)根據(jù)分層抽樣原理，可知在閱讀時(shí)間為(12，14]，(14，16]，(16，18]內(nèi)抽到的學(xué)生人數(shù)分別為5人，4人，1人.

從這10人中任選3人，則閱讀時(shí)間在(14，16]內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，則

因此，X的分布列如表4所示.

表4

(3)由題意及(1)的結(jié)論知，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，平均閱讀時(shí)間在(10，12]內(nèi)的概率為因該地區(qū)高一學(xué)生總?cè)藬?shù)不確定，故每次抽取概率不變，抽取3次，即進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

X的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為

因此，X的概率分布列如表5所示.

表5

4 總體數(shù)量是多還是少

辨析超幾何分布與二項(xiàng)分布既有區(qū)別，又有聯(lián)系.當(dāng)總體的數(shù)量非常大，抽取樣本數(shù)量很少時(shí)，可以近似地認(rèn)為每次抽取時(shí)事件發(fā)生的概率不變，這樣就可以看成每次抽取結(jié)果是相互獨(dú)立的，進(jìn)而將超幾何分布近似地看作二項(xiàng)分布來(lái)處理.

例4某手機(jī)生產(chǎn)商一批次生產(chǎn)了50000臺(tái)手機(jī)，其中次品率是2%，現(xiàn)從中不放回地依次抽取3臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn).求抽到次品臺(tái)數(shù)X的概率分布列.

分析本題抽取方式為無(wú)放回，因此從問(wèn)題的本質(zhì)來(lái)看，屬于超幾何分布.手機(jī)總臺(tái)數(shù)為50000，其中次品為臺(tái)，合格的手機(jī)為49000臺(tái).現(xiàn)從50000臺(tái)中抽取3臺(tái)，則X的可能取值為0，1，2，3.我們先按古典概率類(lèi)型來(lái)計(jì)算X取某一值時(shí)的概率，比如X＝1.

因?yàn)榭傮w數(shù)非常大，第一次抽取與第二次、第三次抽取次品率非常接近，我們可以認(rèn)為每次抽到次品率均為2%，抽取3次，即3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故抽到的次品數(shù)近似服從二項(xiàng)分布，此時(shí)

不難發(fā)現(xiàn)這兩種計(jì)算方式所得的概率幾乎相等，因此這種情況，我們可按獨(dú)立重復(fù)概率類(lèi)型來(lái)處理.

解X的可能取值為0，1，2，3.

因此，X的概率分布列如表6所示.

表6

另外，常見(jiàn)的概率分布類(lèi)型還有兩點(diǎn)分布，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即只進(jìn)行一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果，與其有關(guān)的問(wèn)題相對(duì)于前兩種要簡(jiǎn)單一些.

總之，在處理與概率分布有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們要明確各種概率分布的本質(zhì)，以及不同概率類(lèi)型之間的異同，結(jié)合題目條件，準(zhǔn)確識(shí)別概率類(lèi)型.