排列組合考點分析及解法剖析

祁居攀

(甘肅省臨澤縣第一中學(xué))

排列組合是高考必考內(nèi)容，常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)在試題中，試題設(shè)計新穎、具有創(chuàng)新性，難度不大，屬于中檔題.但是若不清楚其解題原理很容易丟分，本文介紹高考中排列組合知識的核心考點及其解法，供大家學(xué)習(xí)參考.

1 兩個基本原理

1.1 乘法計數(shù)原理

例1(2020年上海卷9)從6個人中挑選4個人去值班，每人值班一天.第一天安排1個人，第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有______種排法.

分析本題考查分步乘法計數(shù)原理，第一天從6人中選1人值班，第二天從剩下的5人中選1人值班，第三天再從剩下的4人中選2人值班.

解第一步，從6人中選1人值第一天班，有C16種方法;第二步，從剩下的5人中選1人值第二天班，有種方法;第三步再從剩下的4人中選2人值第三天班，有種方法，根據(jù)分步乘法原理共有＝180種排法.

1.2 加法計數(shù)原理

例2(2018年全國Ⅰ卷理15)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_________種(用數(shù)字填寫答案).

分析本題考查分類加法計數(shù)原理，第一類:選1名女生、2名男生;第二類:選2名女生、1名男生.

解選1名女生、2名男生有＝12種方法;選2名女生、1名男生有＝4種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有12＋4＝16種選法.

分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理是解決排列組合問題最基本的原理.例1是“分步”思想采取乘法原理;例2是“分類”思想采取加法原理.

2 排列與組合

2.1 數(shù)字排列問題

例3(2018年浙江卷理16)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成_________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).

分析本題考查數(shù)字排列問題，先選后排是解決問題的關(guān)鍵，可以按含0與不含0分類討論.

解第一類:任取4個數(shù)字不含0.第一步，先從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字有種取法;第二步，從2，4，6中任取2個數(shù)字有種取法，第三步，將所取的4個數(shù)字全排列有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有＝720種.7，9中

步二

，步先，從再

綜上，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有720＋540＝1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

數(shù)字排列問題一般采用的方法是“先選后排法”:即先選符合條件的元素，再將選出的元素按要求排列.特別注意“0”的選取，若選取的數(shù)字有“0”，則“0”不能排在最高位.

2.2 相鄰排列問題

例42名男同學(xué)和2名女同學(xué)隨機排成一列，其中2名女生相鄰的排法有________種.

分析相鄰問題用捆挷法，即將2名女生捆綁在一起作為一個元素，與2名男同學(xué)共三個元素全排列.

解分兩個步驟完成.第一步，先將兩位女生捆綁在一起有種方法;第二步，三個元素全排列有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有12種排法.

2.3 不相鄰排列問題

例53名男同學(xué)和2名女同學(xué)隨機排成一列，其中2名女生不相鄰的排法有________種.

分析不相鄰問題用插空法.即先將3名男同學(xué)全排列，排列后會出現(xiàn)4個空隙，再將2名女同學(xué)插到4個空隙中.

解第一步，將3名男同學(xué)全排列有A33種;第二步，將2名女同學(xué)插到4個空隙中有A24種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，則2名女生不相鄰的排法有A33A24＝72種.

2.4 混合排列問題

例63位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有2位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是( ).

A.360 B.288 C.216 D.96

分析 先從3位女生中取2位捆綁，然后插入男生排列后的空隙中，最后減掉男生甲在兩端的情況.

解第一步，從3位女生中取2位捆綁有C23A22種;第二步，再將3位男生全排列有A33種;第三步，將捆綁后的元素與剩余的1位女生插入4個空隙中有A24種，故3位女生中有且只有2位女生相鄰的排法有C23A22A33A24＝432種.其中男生甲站兩端的有C23A22A12A23A22＝144種(該種類型前兩步與前一種相同，男生甲站兩端中其中一端有A12種，女生插空在男生中有A23種，剩下2位男生的排列有A22種)，所以符合條件的排法共有432－144＝288種，故選B.

2.5 含有相同元素的排列問題

例7將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的排法有_________種.

分析先將4個1排成一列，再將2個0放到5個空隙中.

解第一步將4個1排成一列有1種排法;再將2個0安排到5個空隙中有C25種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有C25＝10種排法.

2.6 只選不排問題

例8某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則至少選中1名女生的選法有_________種.

分析至少選1名女生可以從兩個方面思考.

1)分類法:第一類選1名女生和1名男生;第二類選2名女生.

2)間接法:5人中選2人，再減掉只選2名男生的選法.

解法1(分類法)第一類只選1名女生有C12C13種選法;第二類選2名女生有C23種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有C12C13＋C23＝9種選法.

解法2(間接法)從5人中選2名學(xué)生有C25種選法;只選2名男生的選法有C22種，故共有C25－C22＝9種選法.

排列問題中常出現(xiàn)“相鄰”“不相鄰”及“特殊元素”等問題，相鄰問題采用“捆綁法”，不相鄰問題采用“插空法”，特殊元素問題采用“指定法”求解.

3 分組、分配問題

3.1 元素多位置少的不同元素分配問題

例9(2021年全國乙卷理6)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.60種 B.120種

C.240種 D.480種

分析5名志愿者參加4個項目的培訓(xùn)屬于“元素多位置少”的問題，需將5名志愿者選分成4組，再分配到4個培訓(xùn)項目.

解第一步，將5名志愿者分成4組，共有種方法.

第二步，將4組人全排列有A44種排法，共有C25A44＝240種，故選C.

3.2 元素少位置多的不同元素分配問題

例10(2017年全國Ⅱ卷理6)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ).

A.12種 B.18種 C.24種 D.36種

分析3名志愿者完成4項工作屬于“元素少位置多”的問題，需將4項工作分成3組，再由3名志愿者全排列參加到3組工作中.

解第一步，將4項工作分成3組有種方法;第二步，將3名志愿者全排列有A33種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有C24A33＝36種安排方式，故選D.

3.3 相同元素分配問題

例11將4名優(yōu)秀教師的名額分配給3所中學(xué)，每所學(xué)校至少1名，則不同的分配方案共有______種.

分析分配的是4個名額，屬相同元素分配問題，相同元素分配一般采取“隔板法”.

解在4個名額形成的3個空檔中放入2塊隔板，自然將4個名額分成了3組，則不同放法種數(shù)是C23＝3種.

分配問題要弄清所分配的元素是否相同，對相同元素的分配問題一般采用“隔板法”，對不同元素的分配問題一般采用“先分組再分配”方法，分組時按元素多以元素分組，位置多以位置分組的原則.

鏈接練習(xí)

1.(2020年海南卷理6)要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有( ).

A.2種 B.3種 C.6種 D.8種

2.首屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有_________種.

3.2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王5名志愿者中選派4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機4項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余3人均能從事這4項工作，則不同的選派方案共有( ).

A.36種 B.12種

C.18種 D.48種

4.從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為( ).

A.432 B.288

C.216 D.108

鏈接練習(xí)參考答案

1.C.2.24.3.A.4.C.