十招網(wǎng)盡“排列組合”

張明同 楊守松 齊建宏

(1.山東省壽光市教育科學(xué)研究中心 2.山東省壽光市第五中學(xué) 3.山東省壽光市壽光中學(xué))

高中排列組合知識(shí)，可謂一個(gè)“怪異”的難點(diǎn)，說(shuō)它“怪異”是因?yàn)榻獯鸷蟛荒艽_定是否正確.高考除可能單獨(dú)考查排列組合外，在概率與統(tǒng)計(jì)題目中也會(huì)涉及排列組合，這類問(wèn)題的解題思路不同于以前所學(xué)內(nèi)容.初學(xué)排列組合，令很多學(xué)生感到頭疼，有時(shí)看上去很有道理的解法卻是錯(cuò)誤的，本文舉例分析這一部分內(nèi)容中常用到的十種方法，以期能對(duì)學(xué)生有所幫助.

1 重復(fù)排列“投信法”

重復(fù)排列問(wèn)題，解題依據(jù)是兩個(gè)原理，解題思路首先要分清哪些元素可以重復(fù)，哪些元素不能重復(fù).可以把解這一類問(wèn)題看作是“將信投入信箱”的過(guò)程，解題時(shí)要把每一個(gè)不能重復(fù)的元素看作是一封“信”，而把能重復(fù)的元素看作“信箱”，分析投信的過(guò)程就是順利解題的過(guò)程.

例1 某小學(xué)四年級(jí)64名學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)跑(7200米)和短跑(100米)比賽，假定每項(xiàng)比賽只有一名冠軍得主(不會(huì)出現(xiàn)并列冠軍)，獲得冠軍的可能情況有( )種.

A.642B.264

解析

本題中同一個(gè)學(xué)生可以獲得不同比賽的冠軍，可以重復(fù)，所以把冠軍看作“信”.把64名學(xué)生看作64個(gè)“信箱”，2項(xiàng)比賽冠軍看作2封“信”，可投進(jìn)任意一個(gè)“信箱”，每封信有64種可能投法，因此共有642種不同的結(jié)果，故選A.

2 先選后排“綜合法”

“先選后排”是解排列組合問(wèn)題常用的思路.解排列組合問(wèn)題常常先選出符合條件的元素，然后再將這些元素安排到指定的位置上.

例2某公司從國(guó)外進(jìn)口的10批冷鏈?zhǔn)称分邪l(fā)現(xiàn)有四批外包裝核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，要對(duì)這10批食品進(jìn)行測(cè)試，直到區(qū)分出所有核酸檢測(cè)陽(yáng)性食品為止.如果在第5次測(cè)試時(shí)恰好把所有核酸檢測(cè)陽(yáng)性食品全部測(cè)出，一共有多少種不同的檢測(cè)順序?

解析根據(jù)題意，第5次測(cè)試必定測(cè)出的是一批核酸檢測(cè)陽(yáng)性食品，另外3批陽(yáng)性食品都在前4次測(cè)試中被測(cè)出.最后一批陽(yáng)性食品從所有陽(yáng)性食品中測(cè)出有C14種可能;前4次測(cè)試測(cè)到的是3批陽(yáng)性食品和1批非陽(yáng)性食品，有C16C33種方法，順序有A44種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的檢測(cè)順序共C14(C16C33)×A44＝576種.

3 相鄰問(wèn)題“捆綁法”

如果某幾個(gè)元素必須相鄰，就把這幾個(gè)需要相鄰的元素捆綁在一起視為一個(gè)元素，讓它參與排列.

例3某校高三年級(jí)有一對(duì)雙胞胎姐妹，她們與另外三名同學(xué)站成一排照相，若雙胞胎姐妹必須相鄰，則不同的排法有多少種?

解析

將雙胞胎姐妹視為一個(gè)人(元素)，則相當(dāng)于四個(gè)人進(jìn)行全排列，不同排列方法有A44種;再將雙胞胎姐妹兩人進(jìn)行全排列，不同排列方法有A22種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得排法有A44A22＝48種.

4 不相鄰問(wèn)題“插空法”

如果題目中規(guī)定某幾個(gè)元素必須不相鄰，這種情況可先把其他的元素全排列，認(rèn)為這些元素之間都留有空位，再把那些不相鄰元素插入上述元素之間的空位和兩端即可，這樣就保證它們是不相鄰的了.

例4某校高三年級(jí)有一對(duì)雙胞胎姐妹，她們與另外三名同學(xué)站成一排照相，若雙胞胎姐妹必須不相鄰，則不同的排法有多少種?

解析

先排列另外的三名同學(xué)，有A33種排法，這三名同學(xué)排列后共產(chǎn)生4個(gè)空位(包括兩端)，從這4個(gè)空位中選取兩個(gè)空位給雙胞胎姐妹，雙胞胎姐妹也是需要排順序的，所以五名同學(xué)符合題意的不同排法共有A33C24A22＝72種.

5 定序問(wèn)題用除法

在n個(gè)元素的排列問(wèn)題中，若限制m個(gè)元素必須保持一定的順序，可以先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列，再除以m個(gè)限制順序元素的全排列，即

例5某校高三年級(jí)有三名同學(xué)是身高相同的三胞胎姐妹，她們與另外三名同學(xué)A，B，C站成一排照相，若A，B，C必須從左到右按身高由高到低排列(對(duì)A，B，C相鄰或者不相鄰沒(méi)有規(guī)定)，則不同的排法有多少種?

解析

將6名同學(xué)全排列共有A66種排法，在這些排法中A，B，C的不同排法有A33種，而按題意，A，B，C必須從左到右按身高由高到低排列，即A，B，C只有一種適合題意的排法，所以6名同學(xué)滿足題意的不同排法有種.

6 特殊元素優(yōu)先法

如果某個(gè)(或某幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(或這幾個(gè))元素，再排其他元素.

例6某校三名同學(xué)參加奧林匹克競(jìng)賽獲獎(jiǎng)后想和他們的輔導(dǎo)教師(1人)合影留念，若師生排成一排，學(xué)生主動(dòng)排在兩端，有多少種不同的排法?

解析

假設(shè)已準(zhǔn)備好四個(gè)凳子，可先讓教師在中間兩個(gè)凳子中選一個(gè)，再排三名同學(xué)，所以共有C12A33＝12種不同的排法.

注:此題也可以使用插空法，先將三名同學(xué)排好，排好后的三名同學(xué)中間有兩個(gè)空，教師在這兩個(gè)空中任選一個(gè)位置即可.

7 正難則反“間接法”

有些問(wèn)題直接考慮時(shí)不易得出答案，根據(jù)集合中補(bǔ)集的思想，可以考慮從問(wèn)題相反的方面入手解題，很可能會(huì)有柳暗花明的效果.

例7在四面體中選取各棱的中點(diǎn)，從各條棱的中點(diǎn)和四面體的頂點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，如果這4個(gè)點(diǎn)不共面，不同的取法有( ).

A.150種 B.147種

C.144種 D.141種

解析

由題意，備選的點(diǎn)共有10個(gè)，從中任取4個(gè)點(diǎn)的取法有C410種.再排除共面的情形即可，共面的情形有三種:共側(cè)面或底面，有4C46種;每條棱上的3個(gè)點(diǎn)與相對(duì)棱的中點(diǎn)，共有6種;所有棱的中點(diǎn)，取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有3種.從所有取法中減去上述三種情形，可得所求的取法有141種.所以選D.

注:“至少型”問(wèn)題也常常使用間接法.

8 情況較多“分類法”

如果問(wèn)題中元素比較多，取出的情況也有多種，可按題目要求分成不相容的幾類情況，分別計(jì)算，最后匯總.

例8國(guó)外某地出現(xiàn)大量新冠病毒核酸檢測(cè)陽(yáng)性人員，該地實(shí)施全員核酸檢測(cè)，我國(guó)決定派去醫(yī)療救助團(tuán)隊(duì).現(xiàn)在勇躍報(bào)名的有11人，其中5人是內(nèi)科醫(yī)生，4人是外科醫(yī)生，另外2人內(nèi)科、外科都精通.從中選出8人組成醫(yī)療救助團(tuán)隊(duì)，分成兩個(gè)醫(yī)療救助小組，要求其中4人是內(nèi)科醫(yī)生，另外4人是外科醫(yī)生，分別赴該地不同醫(yī)院開(kāi)展救助.問(wèn)這樣的分配方式有多少種?

解析

假設(shè)先安排內(nèi)科醫(yī)生，后安排外科醫(yī)生.第一類，從5名內(nèi)科醫(yī)生中選4人，從其余6人中選4人作為外科醫(yī)生(若“內(nèi)科、外科都精通”者被選中也作為外科醫(yī)生)，則有C45C46種選法;第二類，從5名內(nèi)科醫(yī)生中選3人，另從“內(nèi)科、外科都精通”者中選1人作為內(nèi)科醫(yī)生，其余剩下5人中選4人作為外科醫(yī)生，有C35C12C45種選法;第三類，從5名內(nèi)科醫(yī)生中選2人，另外安排2名“內(nèi)科、外科都精通”者也作為內(nèi)科醫(yī)生，其余剩下4人全部作為外科醫(yī)生，有C25C22C44種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得分配方式共185種.

9 分配問(wèn)題“隔板法”

若題目將相同的元素進(jìn)行分配，則可以考慮“隔板法”.

例9某校決定將20個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額全部分配給該地某中學(xué)畢業(yè)年級(jí)的8個(gè)班，要求分到每個(gè)班的名額必須超過(guò)1個(gè)，有多少種分配方案?

解析

由題意，每個(gè)班至少分配2個(gè)名額，所以可以先每班分配1個(gè)名額，還剩下12個(gè)名額.只需將這12個(gè)名額分成8部分，每班對(duì)應(yīng)一部分即可.將剩下的12個(gè)名額每個(gè)名額寫在一張紙上，排成一行，這樣一來(lái)，這12個(gè)名額之間有11個(gè)空，在這11個(gè)空中插入7個(gè)隔板就可將12個(gè)名額分成8部分，顯然每一種分配方法就對(duì)應(yīng)隔板的一種插法，所以分配方案共有＝330種.

注:元素是否相同是區(qū)分隔板法與插空法的關(guān)鍵，相同元素分配用隔板法，不同元素不相鄰用插空法.

10 平均問(wèn)題“填空法”

若題目要求將一些元素平均分給固定的對(duì)象，則可以將元素按平均數(shù)選出后依次填空.

例10某語(yǔ)文實(shí)驗(yàn)室有4位中學(xué)生，現(xiàn)要將8本不同的文學(xué)書平均分給他們，有多少種分法?

解析

設(shè)4位中學(xué)生分別為甲、乙、丙、丁，甲得到2本書有C28種分法，乙得到2本書有C26種分法，丙得到2本書有C24種分法，丁得到2本書有C22種分法，所以不同分法總數(shù)為C28C26C24C22＝2520種.

注:若只是將元素平均分成n組而不是分配給固定的對(duì)象，則還需要再除以n!，此類題目超出中學(xué)教學(xué)范圍.