體現(xiàn)學(xué)段特征，滲透研究“套路”

劉東升

摘要：受到基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”引入新知的教學(xué)研究和實(shí)踐的啟發(fā)，教學(xué)七年級《直線、射線、線段》一課時，精心預(yù)設(shè)畫圖活動引入并驅(qū)動全課學(xué)程。該課的主要教學(xué)立意是體現(xiàn)學(xué)段特征、滲透研究“套路”。

關(guān)鍵詞：《直線、射線、線段》 學(xué)段特征 研究“套路” 留白式活動單

近年來，基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”（相對于“生活現(xiàn)實(shí)”而言），即基于數(shù)學(xué)知識的前后一致、邏輯連貫，抓住數(shù)學(xué)對象的研究方法或基本“套路”，精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境，引入新知的教學(xué)研究和實(shí)踐，受到關(guān)注和重視。受此啟發(fā)，筆者最近開設(shè)一節(jié)七年級《直線、射線、線段》研究課時，精心預(yù)設(shè)畫圖活動引入并驅(qū)動全課學(xué)程，達(dá)成了較好的教學(xué)效果。下面梳理該課教學(xué)流程，并闡釋教學(xué)立意，提供研討。

一、教學(xué)流程

課前，教師印發(fā)留白式活動單給學(xué)生?；顒訂伟ㄋ膫€部分：“課題”（留白），“畫圖并表述”（給出A，A、B，A、B、C三組點(diǎn)，其他留白），“新知結(jié)構(gòu)圖”（提示“直線”“圖形”“表示”“性質(zhì)”，其他留白），“小結(jié)與練習(xí)”（給出3道習(xí)題，其他留白）。課堂教學(xué)環(huán)節(jié)如下：

（一）經(jīng)過一點(diǎn)、兩點(diǎn)畫直線

引入：進(jìn)入初中，同學(xué)們將系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面幾何，就讓我們從幾何圖形的基本元素——點(diǎn)開啟學(xué)習(xí)之旅。我們知道“點(diǎn)動成線”，線又有直線和曲線。本著從簡單開始的原則，我們先研究直線及相關(guān)概念。

畫圖：經(jīng)過點(diǎn)A作直線。

教學(xué)組織：請一名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生在活動單的“畫圖并表述”部分完成。如果學(xué)生只作出一條直線，則追問：是否還能作出直線？還能作出多少條直線？學(xué)生很快確認(rèn)：還能作無數(shù)條直線。教師在圖的下面板書：經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線。

畫圖：經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B作直線。

教學(xué)組織：請一名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生在活動單的“畫圖并表述”部分完成。學(xué)生很快確認(rèn)：經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B只能作出一條直線。教師追問不同的學(xué)生，反復(fù)確認(rèn)這一事實(shí)。然后，在圖的下面板書：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

（二）建立新知結(jié)構(gòu)

談話：學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵是能對圖形進(jìn)行精準(zhǔn)表述。而為了表述一個圖形，則需要對圖形進(jìn)行規(guī)范的表示。（同步畫圖、板書）比如，剛才大家在畫圖過程中得到的直線，就可表示為直線AB、直線BA，也可用一個小寫字母l來表示，即直線l。

提問：黑板上經(jīng)過一點(diǎn)畫直線、經(jīng)過兩點(diǎn)畫直線，得到兩幅圖形，還有其他的表述方式嗎？

引導(dǎo)：比如，點(diǎn)A在直線l上，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B都在直線l上，等等。

談話：直線上一點(diǎn)及其一邊部分稱為射線。（同步畫圖、板書）表示為射線AB或射線l，這里表示端點(diǎn)的字母需要寫在前面;射線的性質(zhì)是，有一個端點(diǎn)，向一方無限延伸。

談話：直線上兩點(diǎn)及其之間部分稱為線段。（同步畫圖、板書）表示為線段AB、線段BA，也可用小寫字母表示為線段m;線段的性質(zhì)是，有兩個端點(diǎn)，可以度量長度。

由此，教師漸次生成研究直線、射線、線段的圖形、表示、性質(zhì)的結(jié)構(gòu)化板書，如圖1所示。學(xué)生相應(yīng)地在活動單上完成“新知結(jié)構(gòu)圖”。

（三）經(jīng)過三點(diǎn)畫直線

畫圖：經(jīng)過平面內(nèi)三個點(diǎn)A、B、C畫直線。

教學(xué)組織：先安排學(xué)生思考經(jīng)過三個點(diǎn)能否畫出一條直線。學(xué)生會“慣性”地說不可能。教師要指出，有一種特殊情形，就是三個點(diǎn)在同一直線上。然后，安排學(xué)生經(jīng)過其中兩點(diǎn)畫直線，并思考共能畫幾條。請一名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生在活動單的“畫圖并表述”部分完成。

表述：請同學(xué)們把目光投向畫出的圖形（如圖2），這個圖形的表述有哪些不同的方式？

教學(xué)組織：學(xué)生先在小組內(nèi)交流，再面向全班匯報(bào)。學(xué)生會有點(diǎn)A在直線AC、AB上，點(diǎn)B在直線AB、BC上等不同的表述。最后，教師給出一種更為簡潔的表述：三條直線兩兩相交于A、B、C三點(diǎn);并進(jìn)一步講授：兩條直線有且只有一個公共點(diǎn)時，稱這兩條直線相交，這個公共點(diǎn)為它們的交點(diǎn)。

（四）小結(jié)

談話：同學(xué)們，今天我們來一次特別的課堂小結(jié)。大家看活動單上的“課題”，是不是空著沒寫？現(xiàn)在就請各人結(jié)合本課所學(xué)，為本課擬一個課題。

教學(xué)組織：安排學(xué)生先在小組內(nèi)交流分享各自擬訂的課題，然后推薦到全班展評，最后選定一個得到大家認(rèn)可的課題，書寫到黑板上。

（五）練習(xí)

1.要釘一根水平方向的木條，至少需要__________個釘子，其理論依據(jù)為______________。

2.如圖3，下列幾何語句表述錯誤的是（ ）

A.點(diǎn)A在直線a上

B.點(diǎn)A在直線b上

C.點(diǎn)B在直線a上

D.直線a不經(jīng)過點(diǎn)B

3.根據(jù)下列語句畫出圖形：（1）直線EF經(jīng)過點(diǎn)C;（2）點(diǎn)A在直線l外;（3）經(jīng)過點(diǎn)O的三條線段a、b、c;（4）線段AB與直線CD相交于點(diǎn)B。

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)反饋學(xué)生對本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)的掌握情況。第1題主要檢測學(xué)生對“直線公理”的理解;第2題是讀圖，理解不同表述并辨析錯誤表述;第3題是讀表述，畫出符合要求的圖形。

二、教學(xué)立意

（一）體現(xiàn)學(xué)段特征

在小學(xué)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過“直線、射線、線段”的有關(guān)內(nèi)容，對直線的延伸性、射線和線段的直觀特性已有了解。在初中，學(xué)習(xí)“直線、射線、線段”是系統(tǒng)、全面學(xué)習(xí)平面幾何的起始，主要內(nèi)容源自《幾何原本》，主要價(jià)值是數(shù)學(xué)的理性精神。所以，備課前要認(rèn)真思考怎樣上得與小學(xué)階段不一樣，體現(xiàn)初中學(xué)段特征，并找準(zhǔn)教學(xué)用力點(diǎn)。比如，研究一個數(shù)學(xué)對象，需要關(guān)注它的定義、表示方法（對于圖形來說，特別是符號語言表示方法）、性質(zhì)等。這些都是初中階段“直線、射線、線段”教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。辨析以上學(xué)段特征后，我們就能知道有些“生活味”太濃的情境在初中階段需要適當(dāng)?shù)?，或僅在練習(xí)環(huán)節(jié)簡要提及，不宜成為開課情境，占據(jù)太多教學(xué)時間。

（二）滲透研究“套路”

章建躍先生指出：“數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式，要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量。如數(shù)學(xué)的思考結(jié)構(gòu)具有系統(tǒng)性、普適性，其基本套路大致可以概括為‘抽象數(shù)學(xué)對象一探索數(shù)學(xué)性質(zhì)一構(gòu)建知識體系。數(shù)學(xué)的思維方式具有結(jié)構(gòu)性、一致性、連續(xù)性，數(shù)學(xué)的表達(dá)方式具有統(tǒng)一性，使用一套世界通用的符號形式進(jìn)行交流……”數(shù)學(xué)的思考結(jié)構(gòu)、思維方式和符號化表達(dá)正是數(shù)學(xué)的力量所在。這樣來看，平面幾何起始階段的教學(xué)就要注重滲透幾何的研究“套路”。這些研究“套路”可以從以下方面梳理：（1）幾何研究一個對象的形狀、大小、位置。如本文課例，研究了點(diǎn)和直線、直線和直線的位置關(guān)系。（2）幾何研究往往沿著“定義-符號表示-性質(zhì)-判定”的路徑展開。如本文課例，依次研究了直線、射線、線段的定義（遵循教材設(shè)計(jì)，以一個形象的圖形代替，沒有給出嚴(yán)格的定義）、多樣化的符號表示、性質(zhì)（特征）;因?yàn)檫@三種圖形十分簡單，是后續(xù)組成更復(fù)雜圖形（如角、三角形、多邊形等）的基本元素，所以，沒有判定方法。（3）幾何研究往往從一般到特殊。如本文課例，先研究直線（一般），再研究它的“部分”：射線和線段（特殊）。從而讓學(xué)生感受到射線、線段與直線之間的特殊與一般的關(guān)系。綜上，幾何學(xué)習(xí)與研究可以有多種“套路”，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容深入構(gòu)思、靈活選用（筆者曾有課例實(shí)踐與解讀，比如，對一些更復(fù)雜的幾何圖形，如三角形、四邊形，還需要研究它們的相關(guān)元素，如邊、角、角平分線、對角線等）?？梢赃@樣說，能否以研究“套路”相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生自主探究并驅(qū)動學(xué)程不斷深入，可以體現(xiàn)出教師對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的理解程度。

此外，特別需要指出的是，當(dāng)前不少城區(qū)的“規(guī)模學(xué)校”（一個年級往往達(dá)到15個平行班以上）普遍使用所謂的“導(dǎo)學(xué)案”，驅(qū)動和引領(lǐng)課堂教學(xué)。這類導(dǎo)學(xué)案一個飽受爭議的問題是，選用大量的習(xí)題，使教學(xué)處于“離開教材學(xué)數(shù)學(xué)”的尷尬境地。這種“習(xí)題單式”的導(dǎo)學(xué)案引發(fā)了不少專家、學(xué)者的一些憂慮。而本文課例教學(xué)手段上的一大亮點(diǎn)就是反復(fù)打磨形成的留白式活動單和結(jié)構(gòu)化板書。這份“極簡”的活動單是從大容量的知識點(diǎn)、習(xí)題式的導(dǎo)學(xué)案精簡而來的。學(xué)生拿到這樣的活動單后，對本課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是充滿好奇的。課堂上，隨著畫圖活動、新知生成，展現(xiàn)了師生共同“探索未知世界”的一種研究范式。另外，隨著教學(xué)進(jìn)程漸次生成結(jié)構(gòu)化板書，學(xué)生既學(xué)到了新的知識，又感悟了幾何研究的方法與“套路”。