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    基于問題解決的小學(xué)數(shù)學(xué)信息處理方法培養(yǎng)例析

    2022-01-20 04:57:44翁日爾
    福建教育學(xué)院學(xué)報 2021年12期
    關(guān)鍵詞:平均數(shù)小狗情境

    翁日爾

    (福鼎市實驗小學(xué),福建 福鼎 355200)

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011 版)》對“問題解決”明確提出要求:“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題,綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題,增強應(yīng)用意識,提高實踐能力;獲得分析問題和解決問題的一些基本方法,體驗解決問題方法的多樣性,發(fā)展創(chuàng)新意識?!逼渲小矮@得分析問題和解決問題的一些基本方法”的基礎(chǔ)與前提,就是要讓學(xué)生習(xí)得信息的處理方法,逐步形成較成熟的信息處理策略,以提升問題解決能力。

    但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對問題情境所呈現(xiàn)的信息讀取能力弱,觀察問題情境時大都是憑著自身固有的閱讀能力獲取信息、理解題意,基本未掌握正確的處理信息方法,對分析問題之前的信息處理方法的指導(dǎo)重視不足。實際上,在指導(dǎo)學(xué)生分析問題之前,對數(shù)學(xué)信息處理的方法指導(dǎo)是非常有必要的,它不僅能提升學(xué)生的問題解決能力,也能培養(yǎng)學(xué)生“以數(shù)學(xué)的眼光看待世界”的素養(yǎng)。

    一、列表——梳理對應(yīng)信息

    列表是收集、整理信息的常用方法,是分析問題的重要方法,也是學(xué)生問題解決過程中重要的思維方式。當問題情境呈現(xiàn)的信息比較多時,就需要將對應(yīng)的信息梳理、排列出來,便于找到其中的關(guān)聯(lián);或是將較復(fù)雜的信息按一定的標準分類,提煉問題中同一類的已知條件和所求問題,便于抽象出它們的共同特征。這樣的處理過程,比較適合用列表的方法。經(jīng)過列表處理后,可較清晰地理解題意,學(xué)生也較容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的關(guān)系。

    (一)排列對應(yīng)信息,理清數(shù)量關(guān)系

    問題情境大都是用文字敘述的形式呈現(xiàn)。雖然語言描述、文字敘述是常用的信息傳遞方式,但這樣的方式傳遞的信息可能比較雜亂,數(shù)量關(guān)系大都不突出,邏輯、線索不清晰,不利于學(xué)生抓住主要信息、分析問題、理清關(guān)系。[1]而列表就是對這種情況中的信息進行重新整理,將信息對應(yīng)排列,變敘事性陳述為邏輯性表達,變單線思路為多線思路。

    例1.某車間3 臺機器5 小時可加工零件300 個零件,照這樣計算,4 臺機器幾小時可加工零件480 個零件?

    此題屬于“雙歸一”問題,解決問題的關(guān)鍵是找到單一量,難點是所求問題需要用到哪個數(shù)量關(guān)系、所列算式每一步表達什么意義。教師可引導(dǎo)學(xué)生先將信息按一定的對應(yīng)關(guān)系排列好(如圖1),從第一行信息可得出“每臺每小時加工零件的個數(shù)”,形成表格(見圖2),再根據(jù)數(shù)量關(guān)系“每臺每小時加工的個數(shù)×臺數(shù)×小時數(shù)=總個數(shù)”解決本題。

    圖1

    圖2

    (二)歸類對應(yīng)信息,促進有序思考

    分類的過程是不斷尋找標準,讓學(xué)生體會屬性,抓住本質(zhì),對事物進行有序劃分和組織的過程;[2]讓學(xué)生逐漸經(jīng)歷由顯性的標準到隱性的標準,再到關(guān)系化的標準,由表及里、由淺入深、層層推進的思維過程;也是對事物共同屬性的抽象過程。這種將對應(yīng)信息按一定的標準進行分類的方法,可以讓學(xué)生有序思考,有利于找到解決問題所需要的關(guān)聯(lián)信息、數(shù)量關(guān)系,方便問題的解決。

    例2.從若干張5 元幣、2 元幣、1 元幣(每種至少有10 張),拿出10 元錢買鋼筆,一共有多少種不同的拿法?

    經(jīng)過梳理后,所有信息按一定的順序分門別類,得到的表格(如表1)呈現(xiàn)出所有分類信息,一目了然,省卻大量繁雜的文字,問題解決過程水到渠成。

    表1

    列表是將關(guān)聯(lián)信息對應(yīng)排列后,便于對比觀察,理清數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系。表格是分類信息的外在表現(xiàn)形式,在很多情況下,只要將信息對應(yīng)排列,不畫出表格框線,也是列表策略的一種內(nèi)在體現(xiàn)。

    二、圖示——具化抽象信息

    幾何直觀能力[3]是人們利用實物、形體模型和圖形,生動形象地描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題,展開豐富多彩的空間聯(lián)想,直觀地反映和揭示問題思路,形成表象,從而有效解決問題的一種認知能力。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主,所以,幾何直觀能力是思考數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ),是學(xué)生必備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對問題情境進行信息處理,幾何直觀通常通過圖示來體現(xiàn)。常見的圖示有線段圖、示意圖、模擬圖等,其主要作用就是通過圖示來描述、分析數(shù)量關(guān)系,將較繁雜數(shù)學(xué)信息以簡潔化、形象化,理清思路。線段圖比較常見,應(yīng)用也比較廣泛,下文重點介紹一些比較典型的圖示:

    例3.五人一起參加象棋比賽,每兩人之間比賽一盤。甲乙賽了4 盤,乙賽了3 盤,丙賽了2 盤,丁賽了1 盤,問戊賽了幾盤?

    此問題的各項信息之間不存在必然的數(shù)量關(guān)系,學(xué)生很難用已掌握的數(shù)量來列式解決問題。即使用枚舉法一一列舉各種可能,也是相當繁瑣的過程。而采用圖示法(如圖3),既能形象地表達出比賽的過程,還能在具體盤次的推理中得到問題的答案。

    圖3

    例4.平均數(shù)問題:兩組工人加工零件,甲組有30 人,人均加工60 個零件。乙組有25 人,共人均加工數(shù)比甲乙兩組平均數(shù)多6 個。兩組工人平均每人加工多少個零件?

    此為比較復(fù)雜的平均數(shù)問題,不能直接用“兩組總數(shù)÷兩組總?cè)藬?shù)”的數(shù)量關(guān)系解決,只能用“移多補少”的方法,顯然比較復(fù)雜,需要用圖示將其中的關(guān)系直觀呈現(xiàn)出來。將較復(fù)雜的平均數(shù)問題用圖示法呈現(xiàn)(如圖4),可以讓學(xué)生比較清楚地看出:可以將乙組25 人比兩組平均數(shù)多的(25×6=150)個,補到甲組距離兩組平均數(shù)不足的部分,得出甲組平均數(shù)比兩組平均數(shù)少(150÷30=5)個,這樣就能算出兩組平均數(shù)是(60+5=65)個。

    圖4

    比較有趣的是,此圖示不僅直觀呈現(xiàn)出問題情境的所有信息,還將平均數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面圖形面積的問題,直接發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力,將抽象的觀念、內(nèi)容、方法直觀化、具象化,促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想。

    三、增減——明晰關(guān)鍵信息

    本文前言中提到的學(xué)生容易忽略關(guān)鍵信息,或是找不到問題情境中的主要信息的現(xiàn)象,很重要的原因是有些問題情境呈現(xiàn)的信息偏多或偏少,學(xué)生不容易找到關(guān)鍵、有用的信息,造成解決問題的困難。因此,可以引導(dǎo)學(xué)生對已有信息做一些必要的增補、刪減,使信息更完整、更清晰、更典型。

    (一)增補隱性信息

    受小學(xué)生認知基礎(chǔ)與注意力水平的限制,他們關(guān)注的大多是問題情境中的數(shù)字信息,對文字敘述所關(guān)聯(lián)的語境、語言表達背后的意圖疏于關(guān)注或難以深入分析。比如“老師帶著20 位同學(xué)去公園玩”解決“購票”問題時常常只計20 人而忽略了老師。同樣,一些敘述比較簡練或在特殊語境中的概括性語言,對其背后隱藏的一些關(guān)鍵信息忽略或誤讀。

    例5.水結(jié)成冰體積增加1/11,冰化成水體積減少幾分之幾?

    解決“分數(shù)、百分數(shù)問題”,最關(guān)鍵的就是要找到單位“1”的量。本題所呈現(xiàn)的信息精煉,但不是諸如“一種量比另一種量多(少)幾分之幾”之類典型分數(shù)問題的敘述方式。那么,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生增補適當?shù)男畔?,使之敘述方式更典型。增補如下:“水結(jié)成冰,冰的體積比水多1/11;那么,冰化成水后,冰的體積比水減少幾分之幾?”這樣就比較容易找到單位“1”的量,就找到了解決問題的關(guān)鍵。

    (二)刪減——去除冗余信息

    有些問題情境追求還原生活環(huán)境,在敘述上比較詳細、具體,弊端就是導(dǎo)致學(xué)生摸不清關(guān)鍵詞,找不到重點內(nèi)容;或者,有些情境故意設(shè)置了一些不必要的冗余信息,讓學(xué)生從中搜取有用的必要信息。因此,教師可指導(dǎo)學(xué)生簡化已知條件、提煉關(guān)鍵信息。

    例6.A、B 兩人,從相距20km 的兩地同時出發(fā)相向而行。A 的速度是6km/h,B 的速度是4km/h。倘若陪同A 一起出發(fā)的還有一只小狗,小狗的速度是8km/h,其路徑方向也是朝向B,當小狗遇到B 后便立刻回頭去找A,在碰到A 之后,又掉頭回去跑向B,直到A 與B 兩人相遇,求小狗一共跑了多少km?

    對此,教師應(yīng)當先指導(dǎo)學(xué)生進行已知信息的簡化,通過分析可知,此問題除了A、B 外,還增加了一只小狗,而小狗在此過程中所花費的時間實際上就是A 與B 兩個人相向而行所消耗的時間,所以教師引導(dǎo)學(xué)生首先去思考A 與B 兩人相遇需要花費多長時間,然后根據(jù)“時間=路程÷速度”可得到所需時間。這樣在求解小狗所跑的路徑長度就變得簡單多了。已知:A、B 兩人相遇的時間=A、B 兩人經(jīng)過的路程之和÷A、B 兩人的速度之和,即20÷(6+4)=2h;小狗的速度是8km/h,小狗跑的路程=小狗的速度×所花費的時間,而小狗所跑的時間實際上就是A 與B 相遇所花費的時間。由此可知,小狗跑的路程就是8×2=16km。在此例題中,教師通過引導(dǎo)學(xué)生進行題目簡化,進而整理出已知條件與關(guān)鍵點,通過求解A 與B 相遇所花費的時間中完成問題的解答。

    四、架構(gòu),溝通關(guān)聯(lián)信息

    數(shù)學(xué)各知識點之間都有內(nèi)在聯(lián)系,具有結(jié)構(gòu)層次性。學(xué)習(xí)新知時,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的、零散的已有知識喚醒并加以歸納、整理,使之條理清晰、綱舉目張。學(xué)生學(xué)會畫架構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖、關(guān)系圖,有利于聯(lián)結(jié)知識間的關(guān)系,將散落的知識點“串成一條線”,將知識結(jié)構(gòu)化,培養(yǎng)問題解決的能力。

    如在學(xué)習(xí)“折扣問題”時,學(xué)生對于諸如“進價(成本價)”“售價”“定價”“優(yōu)惠價”“利潤”之類的概念容易混淆,進而嚴重影響了問題解決。因此,教師很有必要引導(dǎo)學(xué)生基于實例架構(gòu)一個關(guān)系圖(如圖5),以結(jié)構(gòu)化的思想引導(dǎo)學(xué)生厘清各個概念、溝通關(guān)聯(lián)信息、理清數(shù)量關(guān)系。

    圖5

    教師邊解釋概念邊完善架構(gòu)圖:第一,如果“進價”(成本價)為100 元,準備以150 元賣出(此為“定價”),若成交,則此時的“定價”即為“售價”;第二,若久未成交,商家準備打八折售出,則實際“售價”為120 元(“定價”150 元的80%)。此時,利潤為“售價120 元-進價100 元=20 元”,利潤率為20÷100=20%;第三,剩余一些尾貨,商家準備在原有售價120 元的基礎(chǔ)上再優(yōu)惠30%,優(yōu)惠價為原售價的70%,即120×(1-30%)=84 元。此時,商家虧本100-84=16 元,利潤為負值。結(jié)構(gòu)化教學(xué)將各類相關(guān)概念進行系統(tǒng)性地溝聯(lián),有利于學(xué)生以比較系統(tǒng)的視角、完整的視野整合、溝通相關(guān)知識,提升問題解決能力。

    小學(xué)數(shù)學(xué)中問題解決的方法非常多,但這些方法都內(nèi)隱在知識和知識的獲取過程中,內(nèi)隱在問題解決過程中,都是“緘默”的。正因其“緘默”,所以教師要讓信息處理方法可言傳、能操作,指導(dǎo)學(xué)生從問題情境的信息處理開始,掌握這些方法,讓內(nèi)隱的“緘默”顯性化,并且形成一定的處理策略,提升學(xué)生問題解決的能力。

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