哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論嗎？

高 坤

哥德爾早早預(yù)見到了連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題對(duì)通常的集合論公理系統(tǒng)ZFC的獨(dú)立性，并提出了一個(gè)解決它（以及其他類似的獨(dú)立性問(wèn)題）的研究方略，即尋找新公理加強(qiáng)ZFC，從而確定連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的大小，后人稱之為“哥德爾綱領(lǐng)”（G?del’s Program）[1]。這個(gè)綱領(lǐng)指引了20 世紀(jì)70 年代以來(lái)集合論中的一大批實(shí)踐，特別是以武?。℉ugh Woodin）、斯蒂爾（John Steel）等人為代表的集合論加州學(xué)派的一系列重要工作和成果。在這些成果的激勵(lì)下，今天有很多人甚至認(rèn)為，“集合論已經(jīng)發(fā)展到了這樣的階段，我們有可能面臨著哥德爾綱領(lǐng)的徹底實(shí)現(xiàn)”[2]83。

哥德爾綱領(lǐng)能否實(shí)現(xiàn)，以及眼下它是否已經(jīng)接近實(shí)現(xiàn)，我們當(dāng)然應(yīng)尊重集合論學(xué)家們的意見。對(duì)于這類問(wèn)題，數(shù)學(xué)共同體內(nèi)部有其一定的標(biāo)準(zhǔn)，可容哲學(xué)家置喙的余地不多。但擁護(hù)哥德爾綱領(lǐng)的人，包括加州學(xué)派的集合論學(xué)家和一些數(shù)學(xué)哲學(xué)家，通常并不把哥德爾綱領(lǐng)視為一個(gè)單純的數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)，而是賦予它豐富的哲學(xué)意蘊(yùn)，特別是認(rèn)為，它的實(shí)現(xiàn)將有力地支持哥德爾式的數(shù)學(xué)實(shí)在論或柏拉圖主義。本文所關(guān)心的，正是這個(gè)問(wèn)題。

基于麥蒂（Penelope Maddy）對(duì)數(shù)學(xué)方法論的自然主義刻畫，以及哥德爾本人的一些論述，本文試圖論證，哥德爾綱領(lǐng)與數(shù)學(xué)實(shí)在論之間并沒(méi)有人們通常想象的那種緊密聯(lián)系，反實(shí)在論框架一樣可以容納它。不僅如此，通過(guò)反思集合論實(shí)踐中表現(xiàn)出的若干原則和思想，我們發(fā)現(xiàn)它們與實(shí)在論有深刻的沖突，反倒更契合反實(shí)在論的圖景，這包括與哥德爾綱領(lǐng)密切相關(guān)的集合的迭代概念和哥德爾歸納法等。

一

哥德爾在證明了他的兩個(gè)著名的不完全性結(jié)果之后，逐漸將注意力轉(zhuǎn)向集合論，而吸引他的第一個(gè)問(wèn)題，就是著名的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題。自康托爾用對(duì)角線法證明連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)嚴(yán)格大于自然數(shù)全集的基數(shù)后，確定連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)究竟是多少，就成了集合論的一個(gè)重要課題?？低袪柕牟孪胧?，連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)恰好是第二個(gè)無(wú)窮基數(shù)，亦即第一個(gè)不可數(shù)基數(shù)，用公式表達(dá)就是：2?0=?1。這就是所謂的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”（CH）。它相當(dāng)于是說(shuō)，不存在實(shí)數(shù)的子集，其大小嚴(yán)格介于自然數(shù)全集和實(shí)數(shù)全集之間?？低袪栠M(jìn)一步證明了，對(duì)于實(shí)數(shù)的解析子集而言，CH是成立的。但自此以后，集合論中圍繞連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的研究幾乎毫無(wú)進(jìn)展①除了寇尼希（Julius K?nig）的一個(gè)結(jié)果，即連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的共尾數(shù)不可能是ω。，直到哥德爾的相關(guān)工作出現(xiàn)。

哥德爾1938年構(gòu)造了所謂的“可構(gòu)成集類”（L），證明它是ZFC的一個(gè)模型，并且CH在其中也滿足。這意味著，ZFC 不能證明CH 是假的，即CH 對(duì)ZFC 具有相對(duì)一致性。但哥德爾并沒(méi)有因此認(rèn)為CH 為真，而是推測(cè)它很可能是獨(dú)立于ZFC 的。在他于1947年應(yīng)《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》之邀所寫的關(guān)于連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的一篇文章中②即《什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題？》。哥德爾后來(lái)（1964年）對(duì)這篇文章做過(guò)一些修訂，但新版與舊版在主要觀點(diǎn)上并無(wú)本質(zhì)差別[3]。，哥德爾深入探討了這種可能性，并指出，我們可以通過(guò)合理地?cái)U(kuò)充ZFC，比如增加一些大基數(shù)公理③所謂大基數(shù)是ZFC 不能判定其存在與否的基數(shù)，如不可達(dá)基數(shù)、馬洛基數(shù)、可測(cè)基數(shù)等，關(guān)于它們以及本文涉及的其他集合論概念的技術(shù)定義，可參見Jech T.,Set Theory:the Third Millennium Edition,Revised and Expanded,Heidelberg:Springer-Verlag Press,2003。，來(lái)最終判定CH的真假。

哥德爾關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨(dú)立性的預(yù)言于1963 年被科恩（Paul Cohen）實(shí)現(xiàn)。用他自己發(fā)明的力迫法，科恩證明，ZFC 也不能證明CH 是真的。與哥德爾的結(jié)果合在一起，這完成了CH 獨(dú)立性的證明?？贫髁ζ确ㄊ且环N十分強(qiáng)大的方法，借助它，更多的獨(dú)立性現(xiàn)象被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，比如關(guān)于實(shí)數(shù)投影子集的一些問(wèn)題：它們是否都是勒貝格可測(cè)（Lebesgue measurable）的，是否都具有完美集性質(zhì)（perfect set property），等等。然而，一個(gè)自然的問(wèn)題是，獨(dú)立性究竟意味著什么？它是否意味著相關(guān)問(wèn)題沒(méi)有數(shù)學(xué)意義？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，科恩本人傾向于一種形式主義的立場(chǎng)。他認(rèn)為ZFC并不是對(duì)某種客觀實(shí)在的描述，而是一個(gè)形式系統(tǒng)；一個(gè)集合論語(yǔ)句是真的，當(dāng)且僅當(dāng)它是ZFC 的定理。根據(jù)這種立場(chǎng)，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題沒(méi)有意義，因?yàn)镃H及其否定都不是ZFC的定理，也就沒(méi)有真值。但正如我們已經(jīng)提到的，哥德爾在更早的時(shí)候已經(jīng)預(yù)見到了CH 的獨(dú)立性，同時(shí)卻沒(méi)有放棄謀求它的解決，更不用說(shuō)就此宣稱連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題沒(méi)有意義。哥德爾的這一做法與他關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)立場(chǎng)密切相關(guān)，比如，他寫道：“……基于此處采取的立場(chǎng)，一個(gè)從已接受的集合論公理出發(fā)對(duì)康托爾猜想的不可判定性的證明（與一個(gè)對(duì)π的超越性的證明完全不同），絕不是問(wèn)題的解決……集合論概念和定理描述了一個(gè)完全確定的實(shí)在，在其中康托爾猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對(duì)它的不可判定性，只能意味著這些公理沒(méi)有完備地描述那個(gè)實(shí)在?！盵3]260也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)哲學(xué)上，哥德爾持一種與科恩形式主義完全不同的立場(chǎng)，即實(shí)在論或柏拉圖主義的立場(chǎng)，并且正是基于這一立場(chǎng)，哥德爾認(rèn)為，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題仍有意義，即便CH 被證明是獨(dú)立于ZFC的。

更重要的是，哥德爾指出，上述信念“絕非空想，因?yàn)橛锌赡苤赋鲆恍┓较?，沿著它們能得到?duì)一些問(wèn)題的判定，而這些問(wèn)題對(duì)于通常的公理是不可判定的”[3]260。哥德爾在這里所說(shuō)的“方向”主要是指大基數(shù)公理。在哥德爾看來(lái)，它們是我們一般接受的ZFC公理的自然延續(xù)，因?yàn)樗鼈償嘌砸恍┓浅４蟮幕鶖?shù)的存在，而這些大基數(shù)與比它們小的基數(shù)之間的關(guān)系，好比是第一個(gè)無(wú)窮基數(shù)與有窮數(shù)（即自然數(shù)）之間的關(guān)系；大基數(shù)公理就相當(dāng)于更強(qiáng)的無(wú)窮公理。并且，哥德爾指出，雖然大基數(shù)公理“只直接涉及非常大的超窮序數(shù)，但可以證明，由它們產(chǎn)生的推論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出序數(shù)理論的范圍；在相容性的假定下可以證明，每條（現(xiàn)在已經(jīng)知道的）大基數(shù)公理都能判定更多的屬于丟番圖方程領(lǐng)域的命題”[3]261。這就為借助大基數(shù)公理解決連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題提供了希望。此外，哥德爾同時(shí)強(qiáng)調(diào)，除了大基數(shù)公理，還可能存在其他一些、尚未為人所知的集合論公理，“這些公理隱含在邏輯和數(shù)學(xué)背后的一些概念之中，或許在對(duì)這些概念有了更為精深的理解之后，我們才能發(fā)現(xiàn)它們”[3]261。

科恩和哥德爾對(duì)CH獨(dú)立性的態(tài)度，分別代表了之后的集合論實(shí)踐中的兩個(gè)主要陣營(yíng)。而隸屬于哥德爾主義陣營(yíng)的集合論學(xué)者，主要是加州學(xué)派的成員，他們按照哥德爾綱領(lǐng)展開了一系列的研究，并且成果卓著?？偟膩?lái)說(shuō)，加州學(xué)派圍繞連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的工作主要有兩方面①關(guān)于加州學(xué)派的這些工作，下面只有極為簡(jiǎn)略的勾勒，想要對(duì)它們有更詳細(xì)、更精致的了解，請(qǐng)參見郝兆寬《哥德爾綱領(lǐng)》[2]。：其一是一個(gè)相對(duì)局部的策略，通過(guò)為三階算術(shù)尋找一個(gè)“經(jīng)驗(yàn)完全”的理論來(lái)判定CH 的真值；其二是所謂的“內(nèi)模型計(jì)劃”，該計(jì)劃試圖為集合論尋找一個(gè)終極模型或終極理論，它可以回答包括連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題在內(nèi)的幾乎所有獨(dú)立性問(wèn)題。下面我們對(duì)這兩個(gè)方向分別做簡(jiǎn)略的介紹。

第一個(gè)方向上的工作基于這樣的事實(shí)和想法：連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題是一個(gè)三階算術(shù)問(wèn)題，而對(duì)于一階算術(shù)和二階算術(shù)，我們都能找到經(jīng)驗(yàn)完全的理論；如果我們能將這類工作推廣到三階算術(shù)上，或許就能解決連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題。這里稱連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題為三階算術(shù)問(wèn)題，是因?yàn)樗穯?wèn)的是實(shí)數(shù)子集的大小，其相關(guān)命題以實(shí)數(shù)子集為概括對(duì)象，而由于每個(gè)實(shí)數(shù)相當(dāng)于一個(gè)自然數(shù)子集，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題所談?wù)摰膶?duì)象就成了全體自然數(shù)子集所構(gòu)成的集合的子集。如果稱直接概括自然數(shù)的算術(shù)為一階算術(shù)，以自然數(shù)子集或?qū)崝?shù)為概括對(duì)象的算術(shù)為二階算術(shù)，那么連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題就屬于三階算術(shù)。由于哥德爾不完全性定理，我們注定無(wú)法獲得一個(gè)關(guān)于一階算術(shù)結(jié)構(gòu)的完全的理論。但如果不考慮哥德爾句這種生造的算術(shù)語(yǔ)句，僅考慮那些在數(shù)學(xué)實(shí)踐中有實(shí)際趣味的算術(shù)問(wèn)題，那么我們確實(shí)擁有一個(gè)接近完全的理論，即ZFC，它能判定今天已知的關(guān)于一階算術(shù)結(jié)構(gòu)的所有有趣問(wèn)題。這樣的理論，我們稱之為經(jīng)驗(yàn)完全的。而加州學(xué)派的一個(gè)重要工作是，不僅對(duì)一階算術(shù)結(jié)構(gòu)，我們有經(jīng)驗(yàn)完全的理論，對(duì)二階算術(shù)結(jié)構(gòu)，我們也能找到一個(gè)經(jīng)驗(yàn)完全的理論，那就是ZFC+PD。其中，PD指投影決定性公理，它斷言實(shí)數(shù)的投影子集都是可決定的。在假定PD的情況下，已知的關(guān)于二階算術(shù)結(jié)構(gòu)的有趣的獨(dú)立性問(wèn)題都可得到解答。不僅如此，加州學(xué)派進(jìn)一步的研究表明，類似的情形也有希望在三階算術(shù)結(jié)構(gòu)上發(fā)生：如果某些高度似真的假設(shè)成立，則存在關(guān)于二階算術(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)高度完全的理論，并且它包含CH的否定。

相比于第一個(gè)方向上的工作，加州學(xué)派在第二個(gè)方向，亦即內(nèi)模型計(jì)劃方向上的工作與本文的主旨更為相關(guān)，后者也更符合哥德爾關(guān)于連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題求解的原始設(shè)想。哥德爾的可構(gòu)成集類L 具有良好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，并且可以判定CH，但它對(duì)集合宇宙限制過(guò)甚，不能容納可測(cè)基數(shù)及其以上的大基數(shù)，因而不適合作為新公理。但能否找到一個(gè)類似于L、可自下而上地定義的集合論模型，它同時(shí)能容納可測(cè)基數(shù)以及更大的大基數(shù)，這就是內(nèi)模型計(jì)劃的動(dòng)機(jī)。此處所謂“內(nèi)模型”是相對(duì)于力迫法的擴(kuò)張模型而言，后者是通過(guò)對(duì)集合宇宙進(jìn)行擴(kuò)張得到，前者則是對(duì)集合宇宙進(jìn)行收縮限制。內(nèi)模型計(jì)劃的早期工作在20世紀(jì)70年代就已開始，并逐步取得了相當(dāng)?shù)某晒?，找到了一系列能容納越來(lái)越大的大基數(shù)的集合論內(nèi)模型。但是，這個(gè)計(jì)劃長(zhǎng)期面臨一個(gè)根本的難題：“每個(gè)為滿足某一特定大基數(shù)公理的挑戰(zhàn)而新構(gòu)造的對(duì)L的擴(kuò)張都伴隨著一個(gè)定理，這個(gè)定理說(shuō)沒(méi)有更強(qiáng)的大基數(shù)公理在這個(gè)擴(kuò)張中成立。由于不太可能存在一個(gè)最強(qiáng)的大基數(shù)公理，這種方法似乎由其本性就不能成功地為澄清集合宇宙概念而提供所需的新公理?！盵4]然而，這種狀況在最近得到改變。這源于武丁的一個(gè)革命性發(fā)現(xiàn)：如果存在一個(gè)內(nèi)模型，它能容納一個(gè)超緊基數(shù)，則目前已知的所有大基數(shù)性質(zhì)都能“反映”到這個(gè)模型中，也就是說(shuō)，它可以容納所有已知的大基數(shù)。武丁稱這樣的一個(gè)內(nèi)模型為“終極L”。而一旦能證明終極L確實(shí)存在，那無(wú)疑將是哥德爾綱領(lǐng)的一個(gè)完美實(shí)現(xiàn)，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題也將隨之而解（武丁證明，終極L的存在蘊(yùn)涵CH成立）。

現(xiàn)在，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是終極L 是否存在。武丁猜想它存在，但只給出了一些間接的證據(jù)，至少目前在數(shù)學(xué)上還不能真正確定武丁的猜想成立。不過(guò)，這本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該交由數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯?、?zhēng)論和裁定。哲學(xué)上重要的是，如果數(shù)學(xué)家最終表明終極L確實(shí)存在，哥德爾綱領(lǐng)從而得以實(shí)現(xiàn)，這是否就意味著數(shù)學(xué)實(shí)在論獲得了巨大的支持，甚至決定性的勝利？本文關(guān)心的是這個(gè)問(wèn)題。

二

將哥德爾綱領(lǐng)與數(shù)學(xué)實(shí)在論相聯(lián)系是十分自然的，畢竟哥德爾本人就是這么做的。如同前文談到的，正是由于相信集合論是對(duì)某種客觀實(shí)在的描述，哥德爾才堅(jiān)持認(rèn)為，獨(dú)立性證明并不是對(duì)連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決，CH仍有確定的意義和真值。因此，人們一般習(xí)慣性地以為，哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)必定會(huì)有力地支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)在論。事實(shí)上，有些學(xué)者甚至對(duì)我們前面提到的關(guān)于哥德爾綱領(lǐng)內(nèi)容的那種常見表述不滿意，主張將哥德爾的實(shí)在論思想也包含其中。比如，郝兆寬就將哥德爾綱領(lǐng)總結(jié)為如下四個(gè)命題[2]80：

（1）數(shù)學(xué)既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號(hào)的游戲，而是對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)和描述。

（2）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的并不是對(duì)連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決，而是說(shuō)明ZFC遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有完全刻畫“集合”這個(gè)概念。

（3）集合論學(xué)家的主要任務(wù)是不斷加深對(duì)集合這個(gè)概念的理解，并將這種更深入的理解總結(jié)為新的公理。任何獨(dú)立性問(wèn)題，包括CH，最終會(huì)以這種方式得到解決。

（4）對(duì)新公理的辯護(hù)既可以是內(nèi)在的，也可以是外在的。

如果對(duì)哥德爾綱領(lǐng)作這樣的理解，那么它與實(shí)在論的相互支持關(guān)系當(dāng)然是不言而喻的。但在本文中，我們不進(jìn)行這種延伸式解讀，而是按照一般的做法，視哥德爾綱領(lǐng)為一個(gè)就其內(nèi)容本身而言相對(duì)純粹的數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)：尋求ZFC 的合理擴(kuò)張，以判定ZFC 本身無(wú)法判定的命題。在這樣假設(shè)的基礎(chǔ)上，我們探討它與實(shí)在論的關(guān)系。

認(rèn)為哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能有力支持實(shí)在論立場(chǎng)的一個(gè)顯然的理由是，從實(shí)在論的假設(shè)出發(fā)，我們必然地會(huì)走向哥德爾綱領(lǐng)——既然集合論描述客觀實(shí)在，CH之類命題的不可判定性當(dāng)然不意味著它們無(wú)意義，我們應(yīng)該做的是深化對(duì)集合宇宙的理解，尋求新公理以判定它們——而根據(jù)假說(shuō)推理原則，哥德爾綱領(lǐng)的成功反過(guò)來(lái)就能支持實(shí)在論。這與科學(xué)推理中的情況類似：我們根據(jù)特定的假設(shè)預(yù)測(cè)一個(gè)期望得到的觀察，而所預(yù)測(cè)的觀察一旦出現(xiàn)，則反過(guò)來(lái)對(duì)那些假設(shè)構(gòu)成確證。應(yīng)該說(shuō)，這個(gè)理由也正是人們心中暗暗持有的主要理由。但一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是，盡管實(shí)在論可以自然地導(dǎo)向哥德爾綱領(lǐng)不假，但反實(shí)在論是否就不能與它相容呢？

作為一個(gè)數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)，哥德爾綱領(lǐng)本質(zhì)上涉及的是數(shù)學(xué)方法論問(wèn)題：數(shù)學(xué)研究應(yīng)如何進(jìn)行，獨(dú)立性結(jié)果下的集合論實(shí)踐該去往何方？這與關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)對(duì)象是什么，我們?nèi)绾文苷J(rèn)識(shí)它們——還有一定的距離。特別地，當(dāng)代自然主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個(gè)著名代表麥蒂甚至主張，數(shù)學(xué)方法論問(wèn)題應(yīng)與數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題徹底分離。就本文的目的而言，這是一個(gè)十分重要的觀點(diǎn)，在此值得更詳細(xì)的介紹。

麥蒂認(rèn)為，數(shù)學(xué)在方法論上是高度自治的，與實(shí)在論或反實(shí)在論的哲學(xué)立場(chǎng)無(wú)緊密關(guān)系。為了表明這一點(diǎn)，麥蒂仔細(xì)考察了歷史上的數(shù)學(xué)實(shí)踐，特別是康托爾以來(lái)的集合論實(shí)踐，審視了人們?cè)谝爰蠈?shí)體、為某個(gè)集合論公理或某種集合論實(shí)踐辯護(hù)時(shí)所慣常援引的理由。例如，她指出，康托爾引入導(dǎo)集的概念是為了推廣一個(gè)關(guān)于函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示的定理；戴德金引入戴德金切割之類的無(wú)窮集是為了嚴(yán)格刻畫連續(xù)統(tǒng)，從而為分析提供基礎(chǔ)；策梅洛在為他的集合論公理辯護(hù)時(shí)，除了指出它們?cè)谥庇^上的顯明性，主要訴諸它們?cè)跀?shù)學(xué)上的豐富性和前景，強(qiáng)調(diào)它們對(duì)于保存康托爾、戴德金以來(lái)的集合論結(jié)果是充分且必要的，同時(shí)又不會(huì)產(chǎn)生羅素悖論之類的集合論悖論；20 世紀(jì)70 年代以來(lái)的很多集合論學(xué)家傾向于接受投影決定性公理為一條新公理，理由是它具有種種數(shù)學(xué)上的優(yōu)點(diǎn)，特別是它能為關(guān)于實(shí)數(shù)可定義子集的經(jīng)典理論提供一個(gè)豐富、深刻的擴(kuò)張。麥蒂?gòu)?qiáng)調(diào)，這些理由都不是哲學(xué)的，而是來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部，指向明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，“從相對(duì)局部的問(wèn)題求解，到提供基礎(chǔ)，再到對(duì)有前景的數(shù)學(xué)道路的更開放的追求”[5]52。

另一方面，麥蒂也承認(rèn)，在數(shù)學(xué)家們的實(shí)際討論中，確實(shí)摻雜了一些哲學(xué)思辨味十足的文字，比如戴德金曾說(shuō)，數(shù)是人類心靈的自由創(chuàng)造。但考慮到數(shù)學(xué)家們對(duì)這些問(wèn)題往往持有廣泛不同的意見，很難設(shè)想最終接受集合論的他們會(huì)認(rèn)同一個(gè)關(guān)于集合之哲學(xué)本性的單一概念。更恰當(dāng)?shù)淖龇ㄊ?，將這些文字視為“花哨有趣的旁白或啟發(fā)式的輔助，而非該學(xué)科之證據(jù)結(jié)構(gòu)的一部分”[5]53。

作為歷史事實(shí)判斷，麥蒂的上述觀點(diǎn)在細(xì)節(jié)上未必完全準(zhǔn)確，因?yàn)樗婕皬?fù)雜具體的歷史和作為主觀個(gè)人的數(shù)學(xué)家。但可以確定的是，它至少揭示了一種理論詮釋上的高度可能性，即將數(shù)學(xué)方法論問(wèn)題與關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)立場(chǎng)相分離。麥蒂由此提出要為數(shù)學(xué)實(shí)踐所展現(xiàn)出的方法論提供一個(gè)自然主義的刻畫，按照這個(gè)刻畫，數(shù)學(xué)所追蹤的是某種無(wú)關(guān)乎本體論問(wèn)題的數(shù)學(xué)深刻性（mathematical depth）。而就本文的范圍而言，麥蒂的這一思想啟發(fā)我們將哥德爾綱領(lǐng)與實(shí)在論解綁：即使不假設(shè)實(shí)在論的本體論立場(chǎng)，我們也可以在方法論上接受哥德爾綱領(lǐng)，并完全基于數(shù)學(xué)內(nèi)部的理由為之辯護(hù)。

事實(shí)上，哥德爾本人的一些論述已經(jīng)暗示了這一點(diǎn)。盡管如前文談到的，哥德爾確實(shí)從實(shí)在論的角度為CH 的有意義性做了辯護(hù)，但他同時(shí)又說(shuō)，對(duì)于CH 是否有意義這個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)對(duì)象客觀存在與否不是決定性的①麥蒂首先注意到了哥德爾思想中的這個(gè)方面，也正是受此啟發(fā)，她開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在方法論上的自治性，著意區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)方法論問(wèn)題和數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題。參見Maddy P.,Naturalism in Mathematics,Oxford:Oxford University Press,1997,pp.172-176.。實(shí)際上，單憑一個(gè)心理事實(shí)就足以賦予CH之類的命題以意義，這個(gè)事實(shí)就是：“存在一種足夠清晰的直覺，它能產(chǎn)生集合論的公理以及它們的擴(kuò)張的一個(gè)開放序列?！盵3]268在哥德爾看來(lái)，“集合論公理遠(yuǎn)沒(méi)有形成一個(gè)自我封閉的系統(tǒng)；恰恰相反，作為這些公理基礎(chǔ)的集合概念自身暗示著還可以添加新的公理來(lái)擴(kuò)張這個(gè)系統(tǒng)，這些新公理斷言我們?nèi)匀豢梢赃M(jìn)一步迭代‘……的集合’這一運(yùn)算?！盵3]260

哥德爾這里的意思是，從我們關(guān)于集合的直覺（或直觀）概念看，集合論公理能夠以數(shù)學(xué)上自然的方式被不斷擴(kuò)張，形成一個(gè)沒(méi)有終點(diǎn)的無(wú)限序列。哥德爾心目中的集合概念，就是已被人們普遍接受的集合迭代概念：集合宇宙是從空集（或一些本身不是集合的個(gè)體對(duì)象）出發(fā)，不斷應(yīng)用“……的集合”運(yùn)算得到的。在這個(gè)過(guò)程中，需要使用愈來(lái)愈強(qiáng)的無(wú)窮公理斷定愈來(lái)愈大的無(wú)窮集的存在。ZFC 只包含一條無(wú)窮公理，但從上述集合迭代概念看，增加更強(qiáng)的無(wú)窮公理（即大基數(shù)公理）來(lái)擴(kuò)張ZFC，是十分自然的。在這樣的圖景下，CH對(duì)ZFC的獨(dú)立性就絕不是問(wèn)題的結(jié)束，因?yàn)槲覀兛梢云诖?，合理擴(kuò)張后的ZFC能夠最終判定CH。

這就是說(shuō)，不必援引實(shí)在論立場(chǎng)，僅從純粹數(shù)學(xué)的考慮出發(fā)，從我們關(guān)于集合的直覺概念出發(fā)，一個(gè)集合論學(xué)家也能自然地接受哥德爾綱領(lǐng)，投身于尋求新公理的事業(yè)。真正關(guān)鍵的實(shí)際上不是本體論立場(chǎng)，而是我們心靈中關(guān)于集合的直覺概念具有怎樣的特征這樣的心理事實(shí)，是我們的集合概念本身的開放性決定了哥德爾綱領(lǐng)的自然性和合理性。即使一個(gè)人持一種反實(shí)在論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)，比如把數(shù)學(xué)理解成一種概念想象活動(dòng)，他也可以自然地接受哥德爾綱領(lǐng)，只要他按照集合的迭代概念那樣去想象集合。

當(dāng)然，與實(shí)在論者將集合的直覺概念神秘地對(duì)應(yīng)于某種心靈之外的數(shù)學(xué)實(shí)在不同，反實(shí)在論者認(rèn)為，它是心靈的創(chuàng)造，或者更確切地說(shuō)，是人類大腦的創(chuàng)造（至少對(duì)物理主義者而言是如此）。而這可能會(huì)立即招致一種反駁，因?yàn)檎劦綌?shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造，人們總會(huì)聯(lián)想到布勞威爾的直覺主義，進(jìn)而想到他對(duì)排中律和實(shí)無(wú)窮概念的拒斥。但應(yīng)該說(shuō)明的是，今天的反實(shí)在論者很少在布勞威爾的意義上談?wù)摗皵?shù)學(xué)創(chuàng)造”和“數(shù)學(xué)直覺”。在當(dāng)代的更具包容性和更具自然主義精神的反實(shí)在論哲學(xué)中，排中律和實(shí)無(wú)窮概念可以是我們的經(jīng)典數(shù)學(xué)想象的一部分，而數(shù)學(xué)直覺和創(chuàng)造也能得到一種基于當(dāng)代認(rèn)知科學(xué)研究成果的自然化說(shuō)明。不過(guò)，限于本文的篇幅和目的，這里不可能也不必詳細(xì)闡述這種反實(shí)在論數(shù)學(xué)哲學(xué)。接下來(lái)，我們?nèi)匀痪o扣哥德爾綱領(lǐng)的直觀概念基礎(chǔ)和它引發(fā)的實(shí)踐，討論它與實(shí)在論的關(guān)系。

三

根據(jù)前面的分析，從集合的迭代概念看，哥德爾綱領(lǐng)自有其數(shù)學(xué)上的合理性，無(wú)須借助于實(shí)在論或柏拉圖主義。但實(shí)在論者或許會(huì)反駁說(shuō)，盡管集合的迭代概念為擴(kuò)張ZFC提供了一定的動(dòng)機(jī)和理由，但它并不像實(shí)在論那樣必然要求這種擴(kuò)張。特別地，科恩等形式主義者甚至反對(duì)這種擴(kuò)張，主張?jiān)赯FC中工作，雖然他們顯然接受集合的迭代概念。這或許表示，哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)還是更有利于實(shí)在論。

確實(shí)，如果一個(gè)人持反實(shí)在論的立場(chǎng)，他當(dāng)然可以選擇不再擴(kuò)張自己的數(shù)學(xué)想象。實(shí)際上，他甚至可以選擇收縮已有的想象，比如在ZF中工作，或拋棄無(wú)窮公理，等等。但無(wú)論他自己喜歡在怎樣的假設(shè)下工作，他總不能否認(rèn)別人在不同的假設(shè)下——無(wú)論擴(kuò)張還是收縮——所做工作的意義，因?yàn)檫@些工作都能理解為是在證明一些假言命題，或者說(shuō)發(fā)現(xiàn)了某個(gè)推理鏈條和邏輯關(guān)系。事實(shí)上，自力迫法誕生以來(lái)，集合論學(xué)家們已經(jīng)逐漸習(xí)慣于在各自偏好的不同假設(shè)（如V=L、PD 和各種大基數(shù)公理，甚至CH 和?CH）下工作，同時(shí)又彼此承認(rèn)對(duì)方工作的意義，以至于一些人開始支持和論證一種被稱為“集合論多宇宙觀”（multiverse view of set theory）的立場(chǎng)①它與關(guān)于集合論的單一宇宙觀（universe view）相對(duì)。關(guān)于該立場(chǎng)的一個(gè)簡(jiǎn)明述評(píng)可參見楊睿之：《集合論多宇宙觀述評(píng)》（《自然辯證法研究》2015年第9期）。。比如，哈姆金斯（J.D.Hamkins）就認(rèn)為，集合論發(fā)展的現(xiàn)實(shí)表明，實(shí)在論者所期望的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的理想解決方案已經(jīng)不可能了，當(dāng)前的集合論研究更應(yīng)該著眼于探求各種獨(dú)立性命題在哪些集合論宇宙中是如何成立的，以及這些集合論宇宙之間的關(guān)系[6]。

集合論的這種現(xiàn)實(shí)狀況符合反實(shí)在論的基本精神。事實(shí)上，在反實(shí)在論圖景下，擴(kuò)張ZFC 與否，更多地是個(gè)語(yǔ)言表述問(wèn)題，因?yàn)樵陬~外假設(shè)下所做的集合論工作總可以解釋成是ZFC 之中的工作，即在ZFC 中證明一些假言命題。這也讓我們?cè)俅蜗氲禁湹俚哪莻€(gè)論點(diǎn)：隱藏在數(shù)學(xué)實(shí)踐中的客觀性是一種無(wú)關(guān)乎抽象對(duì)象的數(shù)學(xué)深刻性。這里的“深刻性”，可以部分地理解成邏輯蘊(yùn)涵關(guān)系上的深刻性。至于科恩等基于ZFC的形式主義者，他們以一種近乎實(shí)在論的態(tài)度特殊化地對(duì)待ZFC，視ZFC中可證的命題為字面真理，而對(duì)擴(kuò)張ZFC 則表現(xiàn)出敵意，反映了一種不徹底的形式主義立場(chǎng)。實(shí)際上，作為工作數(shù)學(xué)家，這些人往往對(duì)本體論、認(rèn)識(shí)論等哲學(xué)問(wèn)題不太關(guān)心，也沒(méi)有充分、融貫的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)。他們的形式主義，通常僅僅是一種比較具體的數(shù)學(xué)工作態(tài)度的表達(dá)，比如，相比于尋找新公理判定CH，證明CH以及其他一些命題相對(duì)于ZFC的獨(dú)立性，在他們看來(lái)更有意義。

然而，針對(duì)以上的回答，實(shí)在論者可以進(jìn)一步加強(qiáng)自己的反駁：與反實(shí)在論相比，實(shí)在論真正的優(yōu)勢(shì)不在于要求ZFC的擴(kuò)張，而在于要求ZFC的唯一的擴(kuò)張（因?yàn)槟莻€(gè)實(shí)在的集合宇宙是唯一的），而哥德爾綱領(lǐng)當(dāng)前所面臨的可能的實(shí)現(xiàn)，亦即終極L 的愿景，恰恰印證了這種唯一性的要求。我們之前談到，主張哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)能支持實(shí)在論的一個(gè)理由是基于假說(shuō)推理原則，而這里的論證則為我們引出了第二個(gè)重要理由，那就是終極L 模型的特殊性。終極L 可以容納所有已知的大基數(shù)，且具有良好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，能夠判定所有已知的自然的獨(dú)立性問(wèn)題；并且，它對(duì)通常的獨(dú)立性證明方法（即力迫法）是免疫的?；诖?，實(shí)在論者提出了一個(gè)對(duì)自身立場(chǎng)的辯護(hù)，比如，郝兆寬說(shuō)：“終極L 的這種特殊性自然需要哲學(xué)上的解釋。武丁多次強(qiáng)調(diào)，這種特殊性源自它十分接近V，那個(gè)真實(shí)的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主義的解釋，我們暫時(shí)看不到任何其他的哲學(xué)立場(chǎng)能夠做到這一點(diǎn)。”[2]171

這里，終極L 模型的特殊性可以等效地理解成相應(yīng)理論——ZFC+V=終極L——的特殊性。說(shuō)終極L 十分接近V，相當(dāng)于說(shuō)ZFC+V=終極L 是對(duì)ZFC 的一個(gè)近似的完備化。而上述論證的一般形式可總結(jié)為：因?yàn)槟硞€(gè)理論具有如此這般的“好性質(zhì)”，所以它是對(duì)某種客觀實(shí)在的（近似）描述。

但這樣一種論證，顯然是有問(wèn)題的。因?yàn)?，“好性質(zhì)”反映的是人們的主觀理論偏好，而實(shí)在之為實(shí)在，恰恰在于它很可能背離我們的偏好。比如，在物理學(xué)中，經(jīng)典力學(xué)的確定性對(duì)我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)顯著的“好性質(zhì)”，但對(duì)微觀事物的精細(xì)觀察表明，它與實(shí)在不符。在數(shù)學(xué)中，也有類似的例子，比如歐幾里得幾何理論，它具有種種好性質(zhì)——直觀上的顯明性、完備性等，但自非歐幾何流行以來(lái)，恐怕很少有人會(huì)認(rèn)為，歐氏幾何模型的這種特殊性源自它完美地接近點(diǎn)、線、面等幾何對(duì)象的客觀宇宙。并且，設(shè)若訴諸終極L 特殊性的論證有效，那么為了一般地支持實(shí)在論的數(shù)學(xué)本體論立場(chǎng)，我們也將完全沒(méi)必要訴諸它，因?yàn)橄啾扔谶@個(gè)存在與否尚不確定的模型，我們有太多理論優(yōu)點(diǎn)顯著的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可資利用，如自然數(shù)結(jié)構(gòu)、連續(xù)統(tǒng)結(jié)構(gòu)等。這些結(jié)構(gòu)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的核心部分，被數(shù)學(xué)共同體普遍接受，不僅帶來(lái)好的理論結(jié)果，直觀上也十分自然。如果這些特征只能用“完美近似于抽象對(duì)象的客觀宇宙”來(lái)解釋，那么不必考慮關(guān)于終極L的那些復(fù)雜深?yuàn)W的數(shù)學(xué)結(jié)果，柏拉圖主義就已經(jīng)能夠得到確立。

誠(chéng)然，應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，在集合論實(shí)踐中，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常利用公理的某些理論優(yōu)點(diǎn)為公理做辯護(hù)。加州學(xué)派為投影決定性公理所做的辯護(hù)就是一個(gè)例證。而它不過(guò)是對(duì)哥德爾關(guān)于公理的外在辯護(hù)方法或“哥德爾歸納法”的經(jīng)典論述的一個(gè)回響。哥德爾指出，即使一個(gè)新公理沒(méi)有內(nèi)在的必然性（直觀上的顯明性，或包含在集合的概念之中），我們也可以通過(guò)歸納研究它的“成功”，對(duì)其真值作出裁定。這里的成功指后承的豐富性，“或許存在這樣一些公理，它們的可驗(yàn)證后承是如此豐富，它們對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的闡釋是如此清晰，它們提供的解決問(wèn)題的方法是如此強(qiáng)大（甚至能最大限度地以構(gòu)造性的方式解決它們），以至于無(wú)論它們自身是否是內(nèi)在必然的，它們都必須被接受”[3]261。

但是，在集合論方法論上接受這種辯護(hù)策略和方法論原則，與支持實(shí)在論的哲學(xué)立場(chǎng)完全是兩回事。特別地，麥蒂在她關(guān)于集合論方法論的研究中著重指出了集合論實(shí)踐的上述事實(shí)，但她接著強(qiáng)調(diào)，集合論學(xué)家接受的這種方法論實(shí)際上與柏拉圖主義不相容。一個(gè)理論具有數(shù)學(xué)家偏愛的某些性質(zhì)，滿足某種數(shù)學(xué)目的，如何就能保證它為真？如果實(shí)在論者將集合論看作對(duì)某種客觀獨(dú)立的實(shí)在的描述，那么“實(shí)在完全可以令人悲傷地拒絕合作”[5]58。

關(guān)于集合論方法論與實(shí)在論哲學(xué)觀點(diǎn)的沖突，麥蒂的論述集中在公理的外在辯護(hù)方法上。但沿著她的思路，我們可以挖掘更多。我們認(rèn)為，甚至集合論學(xué)家普遍接受的集合直觀概念，亦即集合的迭代概念，也與實(shí)在論相沖突。根據(jù)實(shí)在論，集合像蘋果、原子、自然數(shù)等一樣，是客觀存在的對(duì)象。但問(wèn)題是，后面幾種對(duì)象都可以任意地“匯集”為集合，而根據(jù)集合的迭代概念，這種情況在集合卻是不被容許的。這究竟是何緣故呢？當(dāng)然，眾所周知，如果不作這種限制，就會(huì)產(chǎn)生悖論。但避免悖論這個(gè)數(shù)學(xué)的理由，并不能替代我們要求的哲學(xué)解釋：什么樣的本體論原因使得集合這種對(duì)象不能像其他個(gè)體對(duì)象一樣被任意地匯集起來(lái)構(gòu)成一個(gè)集合？我們認(rèn)為，實(shí)在論者有義務(wù)對(duì)此進(jìn)行解釋。

除了對(duì)集合的任意匯集或大小進(jìn)行限制，憑借基礎(chǔ)公理，集合的迭代概念還排除了無(wú)窮下降鏈的存在。從實(shí)在論的角度看，這似乎也毫無(wú)道理可言，而數(shù)學(xué)上的理由，則完全是實(shí)用的：無(wú)窮下降鏈雖然不會(huì)產(chǎn)生矛盾，但排除它也不會(huì)造成任何數(shù)學(xué)損失；而借助基礎(chǔ)公理，集合宇宙可以變得更整齊，特別是具有一種自下而上的構(gòu)造特征。

我們認(rèn)為，在反實(shí)在論的圖景下，集合迭代概念的上述特征可以得到更自然的理解。這是因?yàn)?，人類有自下而上、一層一層地想象事物的自然傾向。從給定的一些原子對(duì)象出發(fā)，不斷地應(yīng)用“……的集合”這個(gè)運(yùn)算向上構(gòu)造，就像從地基開始建造一座高塔一樣，在想象上十分自然。唯一可能的障礙是，在集合的迭代概念中，需要想象一個(gè)無(wú)窮過(guò)程的完成（即實(shí)無(wú)窮），它超出人類的經(jīng)驗(yàn)范圍，而在歷史上，它也確實(shí)給數(shù)學(xué)家造成了相當(dāng)?shù)睦_。但經(jīng)過(guò)無(wú)窮集合論近一個(gè)半世紀(jì)以來(lái)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們現(xiàn)在已經(jīng)能在無(wú)矛盾原則下接納并熟練地從事這種概念想象，甚至向著更高的地方邁進(jìn)。其中最關(guān)鍵的一點(diǎn)是，通過(guò)量詞規(guī)則的嚴(yán)格運(yùn)用，人們可以用有限復(fù)雜的語(yǔ)句清晰、明確地表達(dá)實(shí)無(wú)窮概念，并定義它們之間的關(guān)系。

類似的情況對(duì)于公理的外在辯護(hù)方法也成立。在反實(shí)在論圖景下，我們能更自洽地理解這種訴諸公理的理論優(yōu)點(diǎn)的辯護(hù)方法：我們可以根據(jù)我們（數(shù)學(xué)共同體）的理論偏好和目的來(lái)決定我們的概念想象，選擇某些公理作為我們的工作假設(shè)；而所謂理論的“好性質(zhì)”，不過(guò)是我們的概念想象的一些特征，包括邏輯特征（如簡(jiǎn)潔性、后承的豐富性）和是否符合直觀等特征，要刻畫這些特征，無(wú)須援引客觀實(shí)在的抽象對(duì)象。

因此，無(wú)論是哥德爾綱領(lǐng)的直觀概念基礎(chǔ)——集合的迭代概念，還是踐行該綱領(lǐng)時(shí)人們所遵循的方法論原則——哥德爾歸納法，都與數(shù)學(xué)實(shí)在論的立場(chǎng)相沖突，反而更合乎反實(shí)在論的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)，終極L愿景的成真，并不能對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論構(gòu)成支持。反實(shí)在論者一樣可以擁抱哥德爾綱領(lǐng)，甚至能更好地解釋它。