重審哥德?tīng)査枷?/h1>
2022-01-01 12:57:35郝兆寬
科學(xué)經(jīng)濟(jì)社會(huì) 2021年2期
郝兆寬
隨著五卷本《哥德?tīng)栁募罚–ollected Works）的編輯出版[1]，哥德?tīng)柹氨姸辔窗l(fā)表的手稿被整理出來(lái)。這些手稿有很大一部分是關(guān)于哲學(xué)的，從而引起了國(guó)際上對(duì)哥德?tīng)栒軐W(xué)的研究熱情。到目前為止，這些研究大致落在兩個(gè)范式之下，但是都沒(méi)有取得令人滿意的進(jìn)展。
一、分析哲學(xué)范式中的哥德?tīng)?/h2>
把哥德?tīng)栔糜诋?dāng)代分析哲學(xué)的背景下看起來(lái)是非常自然的事情，因?yàn)榉治稣軐W(xué)正是靠著數(shù)理邏輯的興起才產(chǎn)生的，而哥德?tīng)柺撬茉飚?dāng)今數(shù)理邏輯整個(gè)研究領(lǐng)域的人之一。在邏輯學(xué)的所有分支上，他的貢獻(xiàn)都是根本性的，都是推動(dòng)整個(gè)領(lǐng)域發(fā)展的動(dòng)力所在。他當(dāng)之無(wú)愧地被稱為“自亞里士多德以來(lái)最偉大的邏輯學(xué)家”。然而，至少到目前為止，從分析哲學(xué)方向上對(duì)哥德?tīng)査枷氲睦斫夂完U釋仍然流于表面。除了對(duì)哥德?tīng)柊乩瓐D主義立場(chǎng)的抱怨之外，哥德?tīng)査枷氲纳羁虄?nèi)涵并未被嚴(yán)肅地對(duì)待，更遑論富有成果的研究。
這其實(shí)也不難理解。當(dāng)代分析哲學(xué)深受經(jīng)驗(yàn)論傳統(tǒng)的影響，而哥德?tīng)柕恼軐W(xué)則深深植根于理性主義傳統(tǒng)之中，所以站在前者的立場(chǎng)上去看，哥德?tīng)柕恼軐W(xué)會(huì)顯得非常“不自然”，如果不是“不可理喻”的話。葉峰在《20世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)》中曾評(píng)論道，哥德?tīng)柌⑽磳?duì)“作為分析哲學(xué)一個(gè)分支”的數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生什么重要的影響[2]。考慮到維也納學(xué)派之后分析哲學(xué)的發(fā)展，葉峰的評(píng)論自然可以理解。只是分析哲學(xué)這種強(qiáng)烈的反柏拉圖主義的傾向也并非從一開(kāi)始就有，弗雷格和早期的羅素都像哥德?tīng)栆粯?，是?jiān)定的柏拉圖主義者，轉(zhuǎn)向是后來(lái)才發(fā)生的。
有一則關(guān)于羅素和哥德?tīng)柦煌囊菔潞苣苌鷦?dòng)地說(shuō)明這種變化。羅素曾在“自述”里回憶自己1944年5月前在普林斯頓高等研究院的一段時(shí)光，他自稱“每周一次地”與愛(ài)因斯坦、哥德?tīng)柡团堇懻摚骸拔也幌敫绲聽(tīng)柧故遣粨诫s質(zhì)的柏拉圖主義者，分明相信天堂里臥著一個(gè)永恒的‘不’，德性高的邏輯學(xué)家也許能指望來(lái)世在那兒一睹它的芳容。”據(jù)王浩說(shuō)，后來(lái)哥德?tīng)栐?971年讀到了這個(gè)評(píng)論，并且起草了一份答復(fù)，其中說(shuō)道：
至于說(shuō)到我的“不摻雜質(zhì)”的柏拉圖主義，它并不比1921 年羅素本人的柏拉圖主義更“不摻雜質(zhì)”吧，當(dāng)時(shí)他在《導(dǎo)論》中說(shuō)：“邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)摤F(xiàn)實(shí)世界，雖然邏輯有更抽象、更一般這類特色?！憋@然那時(shí)羅素甚至在現(xiàn)世已經(jīng)一睹“不”的芳容，只是他后來(lái)在維特根斯坦影響之下決意不把它當(dāng)作一回事。①這段逸事，包括引文，都是來(lái)自王浩所著《哥德?tīng)枴罚岛昕g，上海譯文出版社，1997 年，第157-158 頁(yè)）。其中哥德?tīng)査f(shuō)的《導(dǎo)論》，指的是羅素1919 年出版的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》（Russell B.,Introduction to Mathematical Philosophy,London:Allen and Unwin,1919），這本書有商務(wù)印書館出版的晏成殊先生的譯本。
哥德?tīng)枏钠淇茖W(xué)生涯的一開(kāi)始就對(duì)哲學(xué)有著濃厚的興趣，他的所有科學(xué)研究都有著深刻的哲學(xué)動(dòng)機(jī)。他在邏輯和數(shù)學(xué)研究中，甚至在物理學(xué)研究中，最為關(guān)心的都是那些“基本的東西”，這正是某種哲學(xué)精神的體現(xiàn)。在他看來(lái)，凡是基礎(chǔ)的理論工作都會(huì)與哲學(xué)相關(guān)，要么在哲學(xué)之中，要么由哲學(xué)提供動(dòng)機(jī)，要么有哲學(xué)的后果，要么要用哲學(xué)作為助探原理。而他自己的重要工作，全部屬于這四個(gè)方面中的某一個(gè)[3]40。事實(shí)也正是如此，每個(gè)仔細(xì)研讀哥德?tīng)柕倪壿嫼蛿?shù)學(xué)論文的人，都會(huì)發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜的符號(hào)和公式背后，體現(xiàn)著作者對(duì)根本概念作精確理解的不懈追求。正如王浩評(píng)論的：
……他大概將更多的精力貢獻(xiàn)給了哲學(xué)，比科學(xué)要多。他的哲學(xué)在談話及已發(fā)表文章中的應(yīng)用預(yù)兆著一個(gè)真正廣博而有力的巨型構(gòu)架，與柏拉圖、萊布尼茨、胡塞爾哲學(xué)都有接觸點(diǎn)。②這里引用的是王浩為洛克菲勒大學(xué)向哥德?tīng)栴C發(fā)榮譽(yù)學(xué)位的典禮而作的對(duì)哥德?tīng)柟ぷ鞯脑u(píng)價(jià)，時(shí)間為1972 年6 月。據(jù)王浩稱他事前就拿給哥德?tīng)栠^(guò)目，后者甚至提出了修改意見(jiàn)[3]39。
更為重要的是，哥德?tīng)柕倪@些哲學(xué)思想直到今天仍然深刻影響著邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。注意，我這里強(qiáng)調(diào)的是哥德?tīng)柕恼軐W(xué)和思想，而不是他作為邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家在以上領(lǐng)域中的那些巨大成就。
所以，分析哲學(xué)對(duì)哥德?tīng)査枷氲睦涞偷凸揽峙虏荒苡脕?lái)證明哥德?tīng)柌皇且晃恢匾恼軐W(xué)家，而只能說(shuō)明哥德?tīng)柌⒉皇莻鹘y(tǒng)意義上的分析哲學(xué)家。如果不帶偏見(jiàn)地考察20 世紀(jì)哲學(xué)的發(fā)展歷史，會(huì)自然得出這樣的印象：在最初借用了數(shù)理邏輯的一些基本成果之后，分析哲學(xué)之后的整個(gè)發(fā)展與數(shù)理邏輯后來(lái)的進(jìn)展是大異其趣的。對(duì)于數(shù)理邏輯各個(gè)領(lǐng)域隨后的進(jìn)展，特別是20 世紀(jì)60 年代以后的巨大成就，分析哲學(xué)既失去了早期那種學(xué)習(xí)借鑒的熱情，也失去了那樣做的能力。這其中的原因不僅僅是，或者說(shuō)根本不是數(shù)理邏輯變得越來(lái)越專門、越來(lái)越技術(shù)化，而是在于對(duì)抽象對(duì)象、對(duì)理性的先天能力、對(duì)深刻的形而上學(xué)問(wèn)題的不加分別的拒斥。本文正是打算說(shuō)明，至少?gòu)募险摰淖钚逻M(jìn)展來(lái)看，數(shù)理邏輯不僅正在產(chǎn)生出比早期更具哲學(xué)意義的重要成果，而且其對(duì)哲學(xué)的期待，不管是作為動(dòng)機(jī)還是助探原理，也比以往任何時(shí)候都要高得多。
這當(dāng)然只是一個(gè)宏觀的判斷，分析哲學(xué)陣營(yíng)里也不乏關(guān)心數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的哲學(xué)家。對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，哥德?tīng)柺冀K是一個(gè)重要的思想源泉。例如，加州大學(xué)爾灣分校的麥蒂教授在其《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論》一書中就說(shuō)：
從蒯因/普特南那里，這種調(diào)和[的哲學(xué)]接受不可或缺論證的核心內(nèi)容；從哥德?tīng)柲抢铮邮軐?duì)顯明性的純數(shù)學(xué)形式的承認(rèn)和對(duì)此進(jìn)行解釋的責(zé)任。因此它避免了蒯因/普特南的一個(gè)主要困難——對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)。[4]35
這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)，最終使得作為分析哲學(xué)一個(gè)分支的數(shù)學(xué)哲學(xué)不再是“關(guān)于數(shù)學(xué)”的哲學(xué)，而是關(guān)于語(yǔ)言、心靈、大腦以及神經(jīng)元的哲學(xué)。但就算這樣，對(duì)哥德?tīng)査枷氲暮鲆曀坪跻膊煌耆锨楹侠?。因?yàn)榧词箤?duì)以上主題，哥德?tīng)栆灿兄羁潭挥袉l(fā)的見(jiàn)解，這些見(jiàn)解當(dāng)然是基于他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中那些根本概念的思考之上。王浩《邏輯之旅》的第六章對(duì)此有一個(gè)較為詳細(xì)的記錄和初步的評(píng)論[5]。研究和探討哥德?tīng)査枷氲倪@一方面仍有大量的工作要做。
二、哥德?tīng)枌?duì)現(xiàn)象學(xué)的關(guān)注與對(duì)數(shù)學(xué)本身的強(qiáng)調(diào)
對(duì)哥德?tīng)査枷胙芯康牧硪粋€(gè)范式是討論其與現(xiàn)象學(xué)的關(guān)系。這方面的成果甚至多于前一個(gè)范式。這提醒我們，現(xiàn)象學(xué)早期的發(fā)展也與數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題密切相連。胡塞爾曾深受康托爾和弗雷格的影響。特別是后者，通過(guò)對(duì)其《算術(shù)哲學(xué)》的嚴(yán)厲批評(píng)，促使胡塞爾放棄了算術(shù)中的心理主義①參見(jiàn)F?llesdal D.“,Husserl and Frege:A Contribution to Elucidating the Origins of Phenomenological Philosophy”, in Haaparanta L.(ed.),Mind,Meaning and Mathematics,Dordrecht:Springer-Science&Business Media B.V.,1994,pp.3-47.。這是胡塞爾思想發(fā)展中的一個(gè)巨大的轉(zhuǎn)變。大陸哲學(xué)和分析哲學(xué)的互相詬病是后來(lái)的事情，而且?guī)в泻艽蟮那榫w化，并沒(méi)有太多的道理可講。
哥德?tīng)栐谝黄窗l(fā)表的手稿中對(duì)胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)曾經(jīng)大加贊賞：
事實(shí)上，今天有一門剛剛發(fā)端的科學(xué)聲稱它擁有一套從事這類意義澄清的系統(tǒng)方法，那就是胡塞爾創(chuàng)立的現(xiàn)象學(xué)。在這里，意義澄清就是為了更鮮明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式來(lái)指導(dǎo)我們的注意力，也就是讓它指向我們自己使用這些概念時(shí)的行為，指向我們實(shí)施自己行為時(shí)的能力，等等。但是，必須清楚地記住，這種現(xiàn)象學(xué)并不是其他科學(xué)意義上的一門科學(xué)。相反，它是[或者說(shuō)，無(wú)論如何應(yīng)當(dāng)是]一套程式或技術(shù)，應(yīng)當(dāng)在我們心中產(chǎn)生一種新的意識(shí)狀態(tài)，我們就在這種狀態(tài)中詳盡地描述自己思考時(shí)所使用的基本概念，或者把握迄今不為我們所知的其他基本概念。我相信，根本沒(méi)有理由從一開(kāi)始便拒絕這樣一種程式，視為無(wú)望的。當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)主義者最沒(méi)有理由這樣做，因?yàn)槟菚?huì)意味著他們的經(jīng)驗(yàn)主義其實(shí)是一種倒寫的先驗(yàn)主義。[6]383②本文引用哥德?tīng)栔魉鶚?biāo)明的都是《哥德?tīng)栁募分械捻?yè)碼。
除此之外，研究者還發(fā)現(xiàn)哥德?tīng)栭喿x了胡塞爾的幾乎全部著作，并有數(shù)量巨大的詳細(xì)批注。因此，將哥德?tīng)柕乃枷肱c現(xiàn)象學(xué)聯(lián)系起來(lái)自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的這篇生前并未發(fā)表的論文，哥德?tīng)栔苯佑懻摤F(xiàn)象學(xué)和胡塞爾思想的文字非常有限。因此也無(wú)從知道哥德?tīng)査斫獾暮麪柆F(xiàn)象學(xué)思想的整體面貌。就非常有限的知識(shí)而言，我們認(rèn)為哥德?tīng)枌?duì)現(xiàn)象學(xué)的推崇是為了解決其柏拉圖主義立場(chǎng)的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題。為了解釋我們是如何認(rèn)識(shí)抽象對(duì)象的，哥德?tīng)栃枰环N不同于康德的經(jīng)驗(yàn)直觀的認(rèn)識(shí)能力，他有時(shí)稱之為理性直觀。但是，我們并不清楚這種理性直觀是否就是胡塞爾的本質(zhì)之觀。由于現(xiàn)象學(xué)本身在胡塞爾之后也發(fā)展為一場(chǎng)浩大而又紛繁復(fù)雜的哲學(xué)運(yùn)動(dòng)，所以解決以上問(wèn)題似乎并非易事。我們當(dāng)然歡迎這個(gè)方向上的任何真正進(jìn)展，但也要明白，現(xiàn)象學(xué)因素并不構(gòu)成哥德?tīng)栒軐W(xué)的主體部分。要從整體上把握哥德?tīng)柕乃枷?，我們需要?duì)哲學(xué)有全新的理解。
哥德?tīng)枌?duì)自身哲學(xué)的這種處境有著非常清醒的認(rèn)識(shí)。我們甚至可以猜測(cè)這是他晚年極少發(fā)表哲學(xué)著作的原因之一。王浩曾慨嘆說(shuō)：“假使他生活在一個(gè)合拍一點(diǎn)的哲學(xué)共同體里，他發(fā)表的哲學(xué)著作大概會(huì)多一點(diǎn)?！雹弁鹾圃谀抢镞€說(shuō)，哥德?tīng)栐?jīng)拒絕同他料定懷有敵意的人說(shuō)話[3]。他把流行的哲學(xué)稱為“時(shí)代精神”，認(rèn)為自文藝復(fù)興以來(lái)時(shí)代精神一直是在“左轉(zhuǎn)”，即越來(lái)越偏向?qū)嵱弥髁x、物理主義、經(jīng)驗(yàn)論。而他自己思想的領(lǐng)域則有強(qiáng)烈的“右傾”傾向，更偏向理想主義、實(shí)在論和柏拉圖主義。并且這種偏向是由數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的“本性”所決定的[6]375-377。
為了進(jìn)一步理解哥德?tīng)枌?duì)自身哲學(xué)處境的這種感受，讓我們進(jìn)入到數(shù)學(xué)哲學(xué)這一具體的領(lǐng)域，這是哥德?tīng)柕恼軐W(xué)和思想集中展現(xiàn)的地方。根據(jù)哥德?tīng)柕目捶?，如果哲學(xué)中有一個(gè)部門能成為柏拉圖主義的最后容身之所，那它一定是數(shù)學(xué)。然而，在20世紀(jì)初，由于集合論悖論的出現(xiàn)，引起了在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域的急劇“左轉(zhuǎn)”。懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論者認(rèn)為數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了自相矛盾，唯一的解決之道就是禁止數(shù)學(xué)中的無(wú)窮概念，或者把數(shù)學(xué)視為語(yǔ)言的純粹句法。而在哥德?tīng)柨磥?lái)，這個(gè)悖論不屬于數(shù)學(xué)，而是處于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的邊緣，并且借助策梅洛的集合論公理化系統(tǒng)，這個(gè)悖論已經(jīng)被徹底解決了。所以那些借助悖論問(wèn)題而反對(duì)集合論、反對(duì)實(shí)無(wú)窮的立場(chǎng)是屈服于時(shí)代精神的結(jié)果，而不是從事情本身得出的結(jié)論。
但是，這樣的論據(jù)似乎對(duì)反抗時(shí)代精神毫無(wú)用處，懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論仍然占了上風(fēng)。在經(jīng)歷了20世紀(jì)前30 年的激烈爭(zhēng)論之后，希爾伯特的形式主義被哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ頁(yè)舻?，布勞威爾的直覺(jué)主義因?yàn)榫艹獯蟛糠值慕?jīng)典數(shù)學(xué)而始終未能被廣泛接受，弗雷格的邏輯主義也因羅素悖論的出現(xiàn)而被宣告失敗。如果說(shuō)形式主義的失敗是無(wú)可爭(zhēng)議的，那么邏輯主義的失敗則非?？梢?。如哥德?tīng)査f(shuō)，這個(gè)悖論后來(lái)以令人滿意的方式解決了，而且對(duì)每個(gè)理解集合論的人來(lái)說(shuō)，這是顯而易見(jiàn)的。那為何傳統(tǒng)上依然會(huì)認(rèn)為是悖論打敗了邏輯主義呢？這是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。我們不打算在這里展開(kāi)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探討①有興趣的讀者可以參考郝兆寬《邏輯究竟是什么以及邏輯應(yīng)當(dāng)是什么?》，《哲學(xué)分析》2016年第2期。，而只是想指出，弗雷格的邏輯主義是一種柏拉圖主義，邏輯對(duì)于弗雷格來(lái)說(shuō)是研究客觀實(shí)在的科學(xué)，借用羅素的話說(shuō)，邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)撌澜?。這當(dāng)然與《邏輯哲學(xué)論》中的觀點(diǎn)截然相反，而與哥德?tīng)柕牧?chǎng)完全一致。而后來(lái)占了上風(fēng)的觀點(diǎn)，有時(shí)也被稱為邏輯主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)，更不用說(shuō)邏輯，不過(guò)是語(yǔ)言的句法，與弗雷格的邏輯主義又是完全不同了。這就難怪即使在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)當(dāng)代的職業(yè)哲學(xué)家也不能理解哥德?tīng)枮楹螌?duì)已經(jīng)在流行哲學(xué)中“過(guò)時(shí)”的柏拉圖主義抱有如此堅(jiān)定的信念。
但是，正如我們已經(jīng)提到的，時(shí)代精神的勝利是有代價(jià)的，它使得數(shù)學(xué)哲學(xué)完全脫離了數(shù)學(xué)家的實(shí)踐，成了一門與數(shù)學(xué)的任何進(jìn)展無(wú)關(guān)的孤芳自賞的學(xué)科。雖然在20世紀(jì)90 年代數(shù)學(xué)哲學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)相對(duì)活躍的時(shí)期，但是上個(gè)世紀(jì)前30 年那種哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家同時(shí)抱著極大的熱情在一起討論和研究的景象卻沒(méi)有再現(xiàn)。數(shù)學(xué)哲學(xué)似乎已經(jīng)與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)了。對(duì)此，哈佛大學(xué)的考爾納教授在其與武丁合著的《集合論基礎(chǔ)》中評(píng)論道：
在物理學(xué)哲學(xué)中，有兩類工作。首先，有些工作的進(jìn)展是獨(dú)立于當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展的。其次，有些工作是與當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展緊密相連的。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，我們同樣可以作出類似的區(qū)分。但是絕大多數(shù)當(dāng)代工作完全獨(dú)立于當(dāng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展。雖然此方面也有不少出色成果，但我們認(rèn)為追求數(shù)學(xué)哲學(xué)的多樣性，更加密切聯(lián)系目前的數(shù)學(xué)成果，一定會(huì)有更大收獲。不僅在評(píng)價(jià)已有結(jié)果的哲學(xué)意義上會(huì)有巨大收獲，并且通過(guò)數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)的當(dāng)代進(jìn)展之間的相互作用，也會(huì)有更大的收獲。[7]6
而另一方面，對(duì)哲學(xué)日益脫離科學(xué)實(shí)踐的這種自我孤立，那些期待從哲學(xué)中能獲得一些有益靈感的科學(xué)家也表達(dá)了失望之情：
迄今，大部分科學(xué)家太忙于發(fā)展描述宇宙為何物的理論，以至于沒(méi)工夫去過(guò)問(wèn)為什么的問(wèn)題。另一方面，以尋根究底為己任的哲學(xué)家跟不上科學(xué)理論的進(jìn)步。在18世紀(jì)，哲學(xué)家將包括科學(xué)在內(nèi)的整個(gè)人類知識(shí)當(dāng)作他們的領(lǐng)域，并討論諸如宇宙有無(wú)開(kāi)初的問(wèn)題。然而，在19和20世紀(jì)，科學(xué)變得對(duì)哲學(xué)家，或除了少數(shù)專家以外的任何人而言，過(guò)于技術(shù)性和數(shù)學(xué)化了。哲學(xué)家如此地縮小他們質(zhì)疑的范圍，以至于連維特根斯坦——這位世紀(jì)最著名的哲學(xué)家都說(shuō)道：“哲學(xué)僅余下的任務(wù)是語(yǔ)言分析?！边@是從亞里士多德到康德以來(lái)哲學(xué)的偉大傳統(tǒng)的何等的墮落![8]233
在這個(gè)意義上，哥德?tīng)柕恼軐W(xué)是對(duì)西方形而上學(xué)傳統(tǒng)的一種回歸。如王浩正確評(píng)價(jià)的，他的思想更接近柏拉圖，更接近萊布尼茨。
三、數(shù)學(xué)實(shí)踐中的柏拉圖主義
如果是這樣，那跳出當(dāng)代流行哲學(xué)的藩籬去展現(xiàn)哥德?tīng)柕乃枷刖统蔀槔斫飧绲聽(tīng)柕谋亟?jīng)之途。我們特別想說(shuō)明的是其思想的活力，其在數(shù)學(xué)實(shí)踐中不斷發(fā)揮的重要作用。同時(shí)，我們還想說(shuō)明，數(shù)學(xué)中，特別是集合論中的那些美妙的結(jié)果又是如何印證、豐富和發(fā)展這種哲學(xué)的。這與當(dāng)代哲學(xué)的境況是一個(gè)非常鮮明的對(duì)比。為了說(shuō)明哥德?tīng)栒軐W(xué)這種關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐的特征，可以以所謂的“哥德?tīng)柧V領(lǐng)”為例，稍作說(shuō)明。
比起哥德?tīng)柧V領(lǐng)，康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能更為讀者所熟悉。事實(shí)上，前者可以看做是為解決后者而提出的一種研究方略。當(dāng)數(shù)學(xué)家們知道了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性之后，關(guān)于這個(gè)集合論命題的哲學(xué)地位就產(chǎn)生了爭(zhēng)論。一派認(rèn)為獨(dú)立性就是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的最好解決，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)既不是真的也不是假的，這就是最后的答案，因此，這個(gè)方向的工作已經(jīng)完成。這種觀點(diǎn)的哲學(xué)動(dòng)機(jī)在于，認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)命題的“真”完全決定于它是否能在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)內(nèi)得到證明。目前大家普遍接受的作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)是策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)因?yàn)槭仟?dú)立于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理的，也就是說(shuō)，它和它的否定都不能在策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理中證明，因此，按照這一派的觀點(diǎn)，它既不是真的，也不是假的，而是無(wú)意義的。
但是哥德?tīng)枀s認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真取決于它是否描述了客觀數(shù)學(xué)世界的事實(shí)。我們不能通過(guò)某個(gè)公理系統(tǒng)證明它和它的否定，只能說(shuō)明這個(gè)公理系統(tǒng)本身不夠強(qiáng)大。由于公理系統(tǒng)不過(guò)是我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)，所以獨(dú)立性現(xiàn)象只是說(shuō)明我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。因此，解決獨(dú)立性問(wèn)題的正確途徑不是通過(guò)宣告其無(wú)意義而回避問(wèn)題的存在，而是應(yīng)該通過(guò)不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)世界的探索而加強(qiáng)我們的公理系統(tǒng)，最終在新的框架內(nèi)確定它的真值。這就是“哥德?tīng)柧V領(lǐng)”的核心思想，即通過(guò)尋找新的集合論公理最終解決包括連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題在內(nèi)的那些獨(dú)立性問(wèn)題。
如果試圖從哲學(xué)上理解哥德?tīng)柧V領(lǐng)，我們也許可以更為正式地總結(jié)為如下四個(gè)命題：
（1）數(shù)學(xué)既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號(hào)的游戲，而是對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)和描述。
（2）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的并不是對(duì)連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決，而是說(shuō)明策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有完全刻畫“集合”這個(gè)概念。
（3）集合論學(xué)家的主要任務(wù)是不斷加深對(duì)集合這個(gè)概念的理解，并將這種更深入的理解總結(jié)為新的公理。任何獨(dú)立性問(wèn)題，包括連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，最終會(huì)以這種方式得到解決。
（4）對(duì)新公理的辯護(hù)既可以是內(nèi)在的，也可以是外在的。
有趣的是，兩種觀點(diǎn)的動(dòng)機(jī)都是哲學(xué)的，前者大致可以認(rèn)為是形式主義的立場(chǎng)，后者當(dāng)然是柏拉圖主義的主張，即承認(rèn)“數(shù)學(xué)對(duì)象可以獨(dú)立于我們的構(gòu)造和獨(dú)立于我們各自對(duì)這些對(duì)象的直覺(jué)而存在”。在哥德?tīng)栠@里，這一立場(chǎng)有了新的意義和更為清晰明確的內(nèi)涵。通常將哥德?tīng)柕陌乩瓐D主義稱為“概念實(shí)在論”，這一稱呼源自他對(duì)自己哲學(xué)的一個(gè)總結(jié)。
1974年，德克薩斯大學(xué)社會(huì)學(xué)系的教師格蘭瓊（Burke Grandjean）為了研究20世紀(jì)30年代中歐的社會(huì)與學(xué)術(shù)狀況而搜集材料，他專為哥德?tīng)栐O(shè)計(jì)了一張問(wèn)卷，里面包括有關(guān)哥德?tīng)柹胶退枷氲拇蠹s17個(gè)問(wèn)題，并在1974 年底至1975 年底多次致信哥德?tīng)?，希望哥德?tīng)柲芑卮鹱约旱膯?wèn)卷。后來(lái)在哥德?tīng)柕倪z稿中發(fā)現(xiàn)了兩份填好的答卷和日期為1975 年8 月19 日的信，這封信顯然沒(méi)有寄出。在答卷中哥德?tīng)柍颂顚懽约旱闹饕绞论E外，有一份還評(píng)論了萊布尼茨和維特根斯坦。這當(dāng)然是研究哥德?tīng)査枷肷降恼滟F材料。而對(duì)我們來(lái)說(shuō)最重要的是回信中的這樣一段話：
大約從1925 年以來(lái)我就是一個(gè)概念和數(shù)學(xué)實(shí)在論者。我從未主張過(guò)數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法。倒不如說(shuō)，按任何一種講得通的涵義去理解，這種見(jiàn)解都會(huì)被我的結(jié)果所否證。[3]33
這里哥德?tīng)査f(shuō)的自己的結(jié)果指的是他的不完全性定理。哥德?tīng)栕约河幸粋€(gè)著名的論證，認(rèn)為這個(gè)定理雖然不一定能“證實(shí)”柏拉圖主義立場(chǎng)，但卻可以有效地“否證”任何認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類心靈產(chǎn)物的哲學(xué)立場(chǎng)，這包括物理主義以及視數(shù)學(xué)為語(yǔ)言句法的約定論。這個(gè)論證出現(xiàn)在1951年的吉布斯（Gibbs）演講中，核心是以下這段：
或者數(shù)學(xué)在如下意義上是不完全的：它那些顯然的公理永遠(yuǎn)不能包含于一個(gè)有窮的規(guī)則中，也就是說(shuō)人類心靈（即使在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)）無(wú)窮地超出了任何有窮機(jī)器的能力，或者存在著絕對(duì)不可解的……丟番圖問(wèn)題（而這個(gè)析取的兩個(gè)析取支都是真的這種情況并沒(méi)有被排除，所以嚴(yán)格說(shuō)還存在第三種情況）。[9]
所謂概念實(shí)在論的核心思想就是：存在著一個(gè)與物的世界（world of things）相平行的概念世界（world of concepts）。哥德?tīng)栂嘈?，與物的世界一樣，“這些概念自身形成了一個(gè)客觀的實(shí)在，我們不能創(chuàng)造或改變，而只能知覺(jué)（perceptive）和描述”。與柏拉圖把物理世界看作理念世界充滿缺陷的映像不同，也與亞里士多德將概念理解為事物的性質(zhì)和側(cè)面不同，哥德?tīng)柕倪@兩個(gè)世界是各自持存而不是互為條件的，他更強(qiáng)調(diào)它們?cè)谀承┓矫娴南嗨菩浴Ｋ运膶?shí)在論的一個(gè)主要特征是物理世界與概念世界的平行論：“類和概念也可以看作是真實(shí)的對(duì)象……假設(shè)這樣的對(duì)象與假設(shè)物理客體（physical body）一樣是合法的，也有同樣多的理由相信它們的存在。它們對(duì)于獲得一個(gè)令人滿意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是必須的，正像物理客體對(duì)一個(gè)令人滿意的關(guān)于我們的感性知覺(jué)（sense perception）的理論是必須的一樣。”①哥德?tīng)枴读_素的數(shù)理邏輯》（G?del K., Russell’s Mathematical Logic, in Schilpp P.A. ed., The philosophy of Bertrand Russell, volume 5 of Library of Living Philosophers,Evanston:Northwestern University,reprinted in G?del Collected Works,Volume Ⅱ,1944,pp.128）。參閱郝兆寬《哥德?tīng)栣槍?duì)物理主義的一個(gè)論證》（《邏輯學(xué)研究》2014年第3期）和《論分析性——來(lái)自哥德?tīng)柕膯⑹尽罚ā墩軐W(xué)研究》2014年12期）。
數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)然屬于概念世界，因而不是我們精神的產(chǎn)物，不是直覺(jué)的構(gòu)造。相反，它們是人類精神認(rèn)識(shí)的對(duì)象?；趯?duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的這種客觀理解，哥德?tīng)栒J(rèn)為“康托的集合論在其原有的范圍和意義下的確有一個(gè)令人滿意的基礎(chǔ)”，這個(gè)基礎(chǔ)就是ZFC（策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理）。在這個(gè)基礎(chǔ)上，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）是一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它或者是ZFC 的定理，或者是否定ZFC 的定理，或者獨(dú)立于ZFC。由于此時(shí)哥德?tīng)栆呀?jīng)完成了L（哥德?tīng)柨蓸?gòu)成集）的構(gòu)造，所以第二種已經(jīng)被證明為不可能的。他猜測(cè)第一種也是不可能的，所以，最可能的結(jié)果就是CH 是獨(dú)立于ZFC 的。此時(shí)，距離科恩真正證明這一點(diǎn)，還有17年的時(shí)間。
但是，哥德?tīng)柧o接著強(qiáng)調(diào)，這種獨(dú)立性證明不是連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決。因?yàn)橐勒崭拍顚?shí)在論，集合概念是一個(gè)客觀存在，集合論語(yǔ)言是對(duì)這個(gè)客觀存在的描述。作為集合論語(yǔ)言的一個(gè)清楚明確的語(yǔ)句，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）在這個(gè)客觀世界中必然要么是真的，要么是假的。獨(dú)立性證明最多說(shuō)明我們尚不知道它的真假。
既然問(wèn)題不是純數(shù)學(xué)的困難，而是有關(guān)集合這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，那么解決的方法也必然從加深我們對(duì)集合這個(gè)抽象概念本身的認(rèn)知入手。而這必然要求為ZFC增加新的公理，使其成為更強(qiáng)大，或者說(shuō)更接近客觀集合宇宙的理論。不管是形式主義還是柏拉圖主義，都對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。對(duì)于前者來(lái)說(shuō)，工作于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理之內(nèi)去發(fā)現(xiàn)新的定理，或者證明一個(gè)命題的獨(dú)立性是最有吸引力的工作。在這樣的認(rèn)識(shí)下，20世紀(jì)60年代以后對(duì)力迫的研究豐富多彩，新的獨(dú)立性命題也層出不窮。對(duì)于后者來(lái)說(shuō)，像大基數(shù)公理這樣超出ZFC 的命題更具魅力，它們是尋找新公理最可靠的基礎(chǔ)。同時(shí)，如何讓已知的集合宇宙容納越來(lái)越強(qiáng)的大基數(shù)則促進(jìn)了內(nèi)模型的發(fā)展。這兩個(gè)方向也在哥德?tīng)柡涂贫髦螳@得了巨大的成就。
特別是自20世紀(jì)80年代以來(lái)，這些成就將內(nèi)模型、大基數(shù)和實(shí)數(shù)子集的可決定性緊密聯(lián)系在一起。在此基礎(chǔ)上，武丁教授提出了解決連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的一系列設(shè)想。經(jīng)過(guò)近20 年的發(fā)展，特別是在2010 年之后，整個(gè)圖景逐漸清晰起來(lái)。粗略地說(shuō)，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決取決于我們是否能夠構(gòu)造一個(gè)包含超緊基數(shù)的類似于L的內(nèi)模型。如果這種構(gòu)造能夠成功，那就在某種意義上出現(xiàn)了一個(gè)終極的模型，在其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是真的。目前已知的所有獨(dú)立性問(wèn)題都會(huì)找到答案，而且也不能通過(guò)集合力迫構(gòu)造出新的獨(dú)立性命題。如果成功，這在任何意義上都應(yīng)該被看作是哥德?tīng)柧V領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)。
當(dāng)然，另一種可能也始終存在，如果最終證明這種構(gòu)造是不可能的，或者說(shuō)超緊基數(shù)是不一致的，那事情就會(huì)變得更為復(fù)雜。不過(guò)，如果我們接受波普爾科學(xué)證偽的理論，這種同時(shí)存在的相互反對(duì)的可能性正是科學(xué)研究區(qū)別于非科學(xué)的根本特征。由此可以看出，哥德?tīng)柧V領(lǐng)不僅僅是一個(gè)哲學(xué)口號(hào)，哥德?tīng)柕陌乩瓐D主義也不是一個(gè)與科學(xué)無(wú)關(guān)的空洞的哲學(xué)立場(chǎng)的宣示，它深刻影響著數(shù)學(xué)實(shí)踐，并且產(chǎn)生出具體的數(shù)學(xué)結(jié)果，從而向我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間那種自古希臘以來(lái)就有的緊密聯(lián)系，而這正是我們理解的數(shù)學(xué)哲學(xué)的魅力所在。
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郝兆寬
隨著五卷本《哥德?tīng)栁募罚–ollected Works）的編輯出版[1]，哥德?tīng)柹氨姸辔窗l(fā)表的手稿被整理出來(lái)。這些手稿有很大一部分是關(guān)于哲學(xué)的，從而引起了國(guó)際上對(duì)哥德?tīng)栒軐W(xué)的研究熱情。到目前為止，這些研究大致落在兩個(gè)范式之下，但是都沒(méi)有取得令人滿意的進(jìn)展。
一、分析哲學(xué)范式中的哥德?tīng)?/h2>
把哥德?tīng)栔糜诋?dāng)代分析哲學(xué)的背景下看起來(lái)是非常自然的事情，因?yàn)榉治稣軐W(xué)正是靠著數(shù)理邏輯的興起才產(chǎn)生的，而哥德?tīng)柺撬茉飚?dāng)今數(shù)理邏輯整個(gè)研究領(lǐng)域的人之一。在邏輯學(xué)的所有分支上，他的貢獻(xiàn)都是根本性的，都是推動(dòng)整個(gè)領(lǐng)域發(fā)展的動(dòng)力所在。他當(dāng)之無(wú)愧地被稱為“自亞里士多德以來(lái)最偉大的邏輯學(xué)家”。然而，至少到目前為止，從分析哲學(xué)方向上對(duì)哥德?tīng)査枷氲睦斫夂完U釋仍然流于表面。除了對(duì)哥德?tīng)柊乩瓐D主義立場(chǎng)的抱怨之外，哥德?tīng)査枷氲纳羁虄?nèi)涵并未被嚴(yán)肅地對(duì)待，更遑論富有成果的研究。
這其實(shí)也不難理解。當(dāng)代分析哲學(xué)深受經(jīng)驗(yàn)論傳統(tǒng)的影響，而哥德?tīng)柕恼軐W(xué)則深深植根于理性主義傳統(tǒng)之中，所以站在前者的立場(chǎng)上去看，哥德?tīng)柕恼軐W(xué)會(huì)顯得非常“不自然”，如果不是“不可理喻”的話。葉峰在《20世紀(jì)數(shù)學(xué)哲學(xué)》中曾評(píng)論道，哥德?tīng)柌⑽磳?duì)“作為分析哲學(xué)一個(gè)分支”的數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生什么重要的影響[2]。考慮到維也納學(xué)派之后分析哲學(xué)的發(fā)展，葉峰的評(píng)論自然可以理解。只是分析哲學(xué)這種強(qiáng)烈的反柏拉圖主義的傾向也并非從一開(kāi)始就有，弗雷格和早期的羅素都像哥德?tīng)栆粯?，是?jiān)定的柏拉圖主義者，轉(zhuǎn)向是后來(lái)才發(fā)生的。
有一則關(guān)于羅素和哥德?tīng)柦煌囊菔潞苣苌鷦?dòng)地說(shuō)明這種變化。羅素曾在“自述”里回憶自己1944年5月前在普林斯頓高等研究院的一段時(shí)光，他自稱“每周一次地”與愛(ài)因斯坦、哥德?tīng)柡团堇懻摚骸拔也幌敫绲聽(tīng)柧故遣粨诫s質(zhì)的柏拉圖主義者，分明相信天堂里臥著一個(gè)永恒的‘不’，德性高的邏輯學(xué)家也許能指望來(lái)世在那兒一睹它的芳容。”據(jù)王浩說(shuō)，后來(lái)哥德?tīng)栐?971年讀到了這個(gè)評(píng)論，并且起草了一份答復(fù)，其中說(shuō)道：
至于說(shuō)到我的“不摻雜質(zhì)”的柏拉圖主義，它并不比1921 年羅素本人的柏拉圖主義更“不摻雜質(zhì)”吧，當(dāng)時(shí)他在《導(dǎo)論》中說(shuō)：“邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)摤F(xiàn)實(shí)世界，雖然邏輯有更抽象、更一般這類特色?！憋@然那時(shí)羅素甚至在現(xiàn)世已經(jīng)一睹“不”的芳容，只是他后來(lái)在維特根斯坦影響之下決意不把它當(dāng)作一回事。①這段逸事，包括引文，都是來(lái)自王浩所著《哥德?tīng)枴罚岛昕g，上海譯文出版社，1997 年，第157-158 頁(yè)）。其中哥德?tīng)査f(shuō)的《導(dǎo)論》，指的是羅素1919 年出版的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》（Russell B.,Introduction to Mathematical Philosophy,London:Allen and Unwin,1919），這本書有商務(wù)印書館出版的晏成殊先生的譯本。
哥德?tīng)枏钠淇茖W(xué)生涯的一開(kāi)始就對(duì)哲學(xué)有著濃厚的興趣，他的所有科學(xué)研究都有著深刻的哲學(xué)動(dòng)機(jī)。他在邏輯和數(shù)學(xué)研究中，甚至在物理學(xué)研究中，最為關(guān)心的都是那些“基本的東西”，這正是某種哲學(xué)精神的體現(xiàn)。在他看來(lái)，凡是基礎(chǔ)的理論工作都會(huì)與哲學(xué)相關(guān)，要么在哲學(xué)之中，要么由哲學(xué)提供動(dòng)機(jī)，要么有哲學(xué)的后果，要么要用哲學(xué)作為助探原理。而他自己的重要工作，全部屬于這四個(gè)方面中的某一個(gè)[3]40。事實(shí)也正是如此，每個(gè)仔細(xì)研讀哥德?tīng)柕倪壿嫼蛿?shù)學(xué)論文的人，都會(huì)發(fā)現(xiàn)在復(fù)雜的符號(hào)和公式背后，體現(xiàn)著作者對(duì)根本概念作精確理解的不懈追求。正如王浩評(píng)論的：
……他大概將更多的精力貢獻(xiàn)給了哲學(xué)，比科學(xué)要多。他的哲學(xué)在談話及已發(fā)表文章中的應(yīng)用預(yù)兆著一個(gè)真正廣博而有力的巨型構(gòu)架，與柏拉圖、萊布尼茨、胡塞爾哲學(xué)都有接觸點(diǎn)。②這里引用的是王浩為洛克菲勒大學(xué)向哥德?tīng)栴C發(fā)榮譽(yù)學(xué)位的典禮而作的對(duì)哥德?tīng)柟ぷ鞯脑u(píng)價(jià)，時(shí)間為1972 年6 月。據(jù)王浩稱他事前就拿給哥德?tīng)栠^(guò)目，后者甚至提出了修改意見(jiàn)[3]39。
更為重要的是，哥德?tīng)柕倪@些哲學(xué)思想直到今天仍然深刻影響著邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。注意，我這里強(qiáng)調(diào)的是哥德?tīng)柕恼軐W(xué)和思想，而不是他作為邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家在以上領(lǐng)域中的那些巨大成就。
所以，分析哲學(xué)對(duì)哥德?tīng)査枷氲睦涞偷凸揽峙虏荒苡脕?lái)證明哥德?tīng)柌皇且晃恢匾恼軐W(xué)家，而只能說(shuō)明哥德?tīng)柌⒉皇莻鹘y(tǒng)意義上的分析哲學(xué)家。如果不帶偏見(jiàn)地考察20 世紀(jì)哲學(xué)的發(fā)展歷史，會(huì)自然得出這樣的印象：在最初借用了數(shù)理邏輯的一些基本成果之后，分析哲學(xué)之后的整個(gè)發(fā)展與數(shù)理邏輯后來(lái)的進(jìn)展是大異其趣的。對(duì)于數(shù)理邏輯各個(gè)領(lǐng)域隨后的進(jìn)展，特別是20 世紀(jì)60 年代以后的巨大成就，分析哲學(xué)既失去了早期那種學(xué)習(xí)借鑒的熱情，也失去了那樣做的能力。這其中的原因不僅僅是，或者說(shuō)根本不是數(shù)理邏輯變得越來(lái)越專門、越來(lái)越技術(shù)化，而是在于對(duì)抽象對(duì)象、對(duì)理性的先天能力、對(duì)深刻的形而上學(xué)問(wèn)題的不加分別的拒斥。本文正是打算說(shuō)明，至少?gòu)募险摰淖钚逻M(jìn)展來(lái)看，數(shù)理邏輯不僅正在產(chǎn)生出比早期更具哲學(xué)意義的重要成果，而且其對(duì)哲學(xué)的期待，不管是作為動(dòng)機(jī)還是助探原理，也比以往任何時(shí)候都要高得多。
這當(dāng)然只是一個(gè)宏觀的判斷，分析哲學(xué)陣營(yíng)里也不乏關(guān)心數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的哲學(xué)家。對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，哥德?tīng)柺冀K是一個(gè)重要的思想源泉。例如，加州大學(xué)爾灣分校的麥蒂教授在其《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論》一書中就說(shuō)：
從蒯因/普特南那里，這種調(diào)和[的哲學(xué)]接受不可或缺論證的核心內(nèi)容；從哥德?tīng)柲抢铮邮軐?duì)顯明性的純數(shù)學(xué)形式的承認(rèn)和對(duì)此進(jìn)行解釋的責(zé)任。因此它避免了蒯因/普特南的一個(gè)主要困難——對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)。[4]35
這種對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的不忠實(shí)，最終使得作為分析哲學(xué)一個(gè)分支的數(shù)學(xué)哲學(xué)不再是“關(guān)于數(shù)學(xué)”的哲學(xué)，而是關(guān)于語(yǔ)言、心靈、大腦以及神經(jīng)元的哲學(xué)。但就算這樣，對(duì)哥德?tīng)査枷氲暮鲆曀坪跻膊煌耆锨楹侠?。因?yàn)榧词箤?duì)以上主題，哥德?tīng)栆灿兄羁潭挥袉l(fā)的見(jiàn)解，這些見(jiàn)解當(dāng)然是基于他對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中那些根本概念的思考之上。王浩《邏輯之旅》的第六章對(duì)此有一個(gè)較為詳細(xì)的記錄和初步的評(píng)論[5]。研究和探討哥德?tīng)査枷氲倪@一方面仍有大量的工作要做。
二、哥德?tīng)枌?duì)現(xiàn)象學(xué)的關(guān)注與對(duì)數(shù)學(xué)本身的強(qiáng)調(diào)
對(duì)哥德?tīng)査枷胙芯康牧硪粋€(gè)范式是討論其與現(xiàn)象學(xué)的關(guān)系。這方面的成果甚至多于前一個(gè)范式。這提醒我們，現(xiàn)象學(xué)早期的發(fā)展也與數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題密切相連。胡塞爾曾深受康托爾和弗雷格的影響。特別是后者，通過(guò)對(duì)其《算術(shù)哲學(xué)》的嚴(yán)厲批評(píng)，促使胡塞爾放棄了算術(shù)中的心理主義①參見(jiàn)F?llesdal D.“,Husserl and Frege:A Contribution to Elucidating the Origins of Phenomenological Philosophy”, in Haaparanta L.(ed.),Mind,Meaning and Mathematics,Dordrecht:Springer-Science&Business Media B.V.,1994,pp.3-47.。這是胡塞爾思想發(fā)展中的一個(gè)巨大的轉(zhuǎn)變。大陸哲學(xué)和分析哲學(xué)的互相詬病是后來(lái)的事情，而且?guī)в泻艽蟮那榫w化，并沒(méi)有太多的道理可講。
哥德?tīng)栐谝黄窗l(fā)表的手稿中對(duì)胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)曾經(jīng)大加贊賞：
事實(shí)上，今天有一門剛剛發(fā)端的科學(xué)聲稱它擁有一套從事這類意義澄清的系統(tǒng)方法，那就是胡塞爾創(chuàng)立的現(xiàn)象學(xué)。在這里，意義澄清就是為了更鮮明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式來(lái)指導(dǎo)我們的注意力，也就是讓它指向我們自己使用這些概念時(shí)的行為，指向我們實(shí)施自己行為時(shí)的能力，等等。但是，必須清楚地記住，這種現(xiàn)象學(xué)并不是其他科學(xué)意義上的一門科學(xué)。相反，它是[或者說(shuō)，無(wú)論如何應(yīng)當(dāng)是]一套程式或技術(shù)，應(yīng)當(dāng)在我們心中產(chǎn)生一種新的意識(shí)狀態(tài)，我們就在這種狀態(tài)中詳盡地描述自己思考時(shí)所使用的基本概念，或者把握迄今不為我們所知的其他基本概念。我相信，根本沒(méi)有理由從一開(kāi)始便拒絕這樣一種程式，視為無(wú)望的。當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)主義者最沒(méi)有理由這樣做，因?yàn)槟菚?huì)意味著他們的經(jīng)驗(yàn)主義其實(shí)是一種倒寫的先驗(yàn)主義。[6]383②本文引用哥德?tīng)栔魉鶚?biāo)明的都是《哥德?tīng)栁募分械捻?yè)碼。
除此之外，研究者還發(fā)現(xiàn)哥德?tīng)栭喿x了胡塞爾的幾乎全部著作，并有數(shù)量巨大的詳細(xì)批注。因此，將哥德?tīng)柕乃枷肱c現(xiàn)象學(xué)聯(lián)系起來(lái)自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的這篇生前并未發(fā)表的論文，哥德?tīng)栔苯佑懻摤F(xiàn)象學(xué)和胡塞爾思想的文字非常有限。因此也無(wú)從知道哥德?tīng)査斫獾暮麪柆F(xiàn)象學(xué)思想的整體面貌。就非常有限的知識(shí)而言，我們認(rèn)為哥德?tīng)枌?duì)現(xiàn)象學(xué)的推崇是為了解決其柏拉圖主義立場(chǎng)的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題。為了解釋我們是如何認(rèn)識(shí)抽象對(duì)象的，哥德?tīng)栃枰环N不同于康德的經(jīng)驗(yàn)直觀的認(rèn)識(shí)能力，他有時(shí)稱之為理性直觀。但是，我們并不清楚這種理性直觀是否就是胡塞爾的本質(zhì)之觀。由于現(xiàn)象學(xué)本身在胡塞爾之后也發(fā)展為一場(chǎng)浩大而又紛繁復(fù)雜的哲學(xué)運(yùn)動(dòng)，所以解決以上問(wèn)題似乎并非易事。我們當(dāng)然歡迎這個(gè)方向上的任何真正進(jìn)展，但也要明白，現(xiàn)象學(xué)因素并不構(gòu)成哥德?tīng)栒軐W(xué)的主體部分。要從整體上把握哥德?tīng)柕乃枷?，我們需要?duì)哲學(xué)有全新的理解。
哥德?tīng)枌?duì)自身哲學(xué)的這種處境有著非常清醒的認(rèn)識(shí)。我們甚至可以猜測(cè)這是他晚年極少發(fā)表哲學(xué)著作的原因之一。王浩曾慨嘆說(shuō)：“假使他生活在一個(gè)合拍一點(diǎn)的哲學(xué)共同體里，他發(fā)表的哲學(xué)著作大概會(huì)多一點(diǎn)?！雹弁鹾圃谀抢镞€說(shuō)，哥德?tīng)栐?jīng)拒絕同他料定懷有敵意的人說(shuō)話[3]。他把流行的哲學(xué)稱為“時(shí)代精神”，認(rèn)為自文藝復(fù)興以來(lái)時(shí)代精神一直是在“左轉(zhuǎn)”，即越來(lái)越偏向?qū)嵱弥髁x、物理主義、經(jīng)驗(yàn)論。而他自己思想的領(lǐng)域則有強(qiáng)烈的“右傾”傾向，更偏向理想主義、實(shí)在論和柏拉圖主義。并且這種偏向是由數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的“本性”所決定的[6]375-377。
為了進(jìn)一步理解哥德?tīng)枌?duì)自身哲學(xué)處境的這種感受，讓我們進(jìn)入到數(shù)學(xué)哲學(xué)這一具體的領(lǐng)域，這是哥德?tīng)柕恼軐W(xué)和思想集中展現(xiàn)的地方。根據(jù)哥德?tīng)柕目捶?，如果哲學(xué)中有一個(gè)部門能成為柏拉圖主義的最后容身之所，那它一定是數(shù)學(xué)。然而，在20世紀(jì)初，由于集合論悖論的出現(xiàn)，引起了在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域的急劇“左轉(zhuǎn)”。懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論者認(rèn)為數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了自相矛盾，唯一的解決之道就是禁止數(shù)學(xué)中的無(wú)窮概念，或者把數(shù)學(xué)視為語(yǔ)言的純粹句法。而在哥德?tīng)柨磥?lái)，這個(gè)悖論不屬于數(shù)學(xué)，而是處于數(shù)學(xué)和哲學(xué)的邊緣，并且借助策梅洛的集合論公理化系統(tǒng)，這個(gè)悖論已經(jīng)被徹底解決了。所以那些借助悖論問(wèn)題而反對(duì)集合論、反對(duì)實(shí)無(wú)窮的立場(chǎng)是屈服于時(shí)代精神的結(jié)果，而不是從事情本身得出的結(jié)論。
但是，這樣的論據(jù)似乎對(duì)反抗時(shí)代精神毫無(wú)用處，懷疑主義和經(jīng)驗(yàn)論仍然占了上風(fēng)。在經(jīng)歷了20世紀(jì)前30 年的激烈爭(zhēng)論之后，希爾伯特的形式主義被哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ頁(yè)舻?，布勞威爾的直覺(jué)主義因?yàn)榫艹獯蟛糠值慕?jīng)典數(shù)學(xué)而始終未能被廣泛接受，弗雷格的邏輯主義也因羅素悖論的出現(xiàn)而被宣告失敗。如果說(shuō)形式主義的失敗是無(wú)可爭(zhēng)議的，那么邏輯主義的失敗則非?？梢?。如哥德?tīng)査f(shuō)，這個(gè)悖論后來(lái)以令人滿意的方式解決了，而且對(duì)每個(gè)理解集合論的人來(lái)說(shuō)，這是顯而易見(jiàn)的。那為何傳統(tǒng)上依然會(huì)認(rèn)為是悖論打敗了邏輯主義呢？這是一個(gè)值得思考的問(wèn)題。我們不打算在這里展開(kāi)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探討①有興趣的讀者可以參考郝兆寬《邏輯究竟是什么以及邏輯應(yīng)當(dāng)是什么?》，《哲學(xué)分析》2016年第2期。，而只是想指出，弗雷格的邏輯主義是一種柏拉圖主義，邏輯對(duì)于弗雷格來(lái)說(shuō)是研究客觀實(shí)在的科學(xué)，借用羅素的話說(shuō)，邏輯正如動(dòng)物學(xué)一樣是真正在談?wù)撌澜?。這當(dāng)然與《邏輯哲學(xué)論》中的觀點(diǎn)截然相反，而與哥德?tīng)柕牧?chǎng)完全一致。而后來(lái)占了上風(fēng)的觀點(diǎn)，有時(shí)也被稱為邏輯主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)，更不用說(shuō)邏輯，不過(guò)是語(yǔ)言的句法，與弗雷格的邏輯主義又是完全不同了。這就難怪即使在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)當(dāng)代的職業(yè)哲學(xué)家也不能理解哥德?tīng)枮楹螌?duì)已經(jīng)在流行哲學(xué)中“過(guò)時(shí)”的柏拉圖主義抱有如此堅(jiān)定的信念。
但是，正如我們已經(jīng)提到的，時(shí)代精神的勝利是有代價(jià)的，它使得數(shù)學(xué)哲學(xué)完全脫離了數(shù)學(xué)家的實(shí)踐，成了一門與數(shù)學(xué)的任何進(jìn)展無(wú)關(guān)的孤芳自賞的學(xué)科。雖然在20世紀(jì)90 年代數(shù)學(xué)哲學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)相對(duì)活躍的時(shí)期，但是上個(gè)世紀(jì)前30 年那種哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家同時(shí)抱著極大的熱情在一起討論和研究的景象卻沒(méi)有再現(xiàn)。數(shù)學(xué)哲學(xué)似乎已經(jīng)與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)了。對(duì)此，哈佛大學(xué)的考爾納教授在其與武丁合著的《集合論基礎(chǔ)》中評(píng)論道：
在物理學(xué)哲學(xué)中，有兩類工作。首先，有些工作的進(jìn)展是獨(dú)立于當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展的。其次，有些工作是與當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展緊密相連的。在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，我們同樣可以作出類似的區(qū)分。但是絕大多數(shù)當(dāng)代工作完全獨(dú)立于當(dāng)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展。雖然此方面也有不少出色成果，但我們認(rèn)為追求數(shù)學(xué)哲學(xué)的多樣性，更加密切聯(lián)系目前的數(shù)學(xué)成果，一定會(huì)有更大收獲。不僅在評(píng)價(jià)已有結(jié)果的哲學(xué)意義上會(huì)有巨大收獲，并且通過(guò)數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)的當(dāng)代進(jìn)展之間的相互作用，也會(huì)有更大的收獲。[7]6
而另一方面，對(duì)哲學(xué)日益脫離科學(xué)實(shí)踐的這種自我孤立，那些期待從哲學(xué)中能獲得一些有益靈感的科學(xué)家也表達(dá)了失望之情：
迄今，大部分科學(xué)家太忙于發(fā)展描述宇宙為何物的理論，以至于沒(méi)工夫去過(guò)問(wèn)為什么的問(wèn)題。另一方面，以尋根究底為己任的哲學(xué)家跟不上科學(xué)理論的進(jìn)步。在18世紀(jì)，哲學(xué)家將包括科學(xué)在內(nèi)的整個(gè)人類知識(shí)當(dāng)作他們的領(lǐng)域，并討論諸如宇宙有無(wú)開(kāi)初的問(wèn)題。然而，在19和20世紀(jì)，科學(xué)變得對(duì)哲學(xué)家，或除了少數(shù)專家以外的任何人而言，過(guò)于技術(shù)性和數(shù)學(xué)化了。哲學(xué)家如此地縮小他們質(zhì)疑的范圍，以至于連維特根斯坦——這位世紀(jì)最著名的哲學(xué)家都說(shuō)道：“哲學(xué)僅余下的任務(wù)是語(yǔ)言分析?！边@是從亞里士多德到康德以來(lái)哲學(xué)的偉大傳統(tǒng)的何等的墮落![8]233
在這個(gè)意義上，哥德?tīng)柕恼軐W(xué)是對(duì)西方形而上學(xué)傳統(tǒng)的一種回歸。如王浩正確評(píng)價(jià)的，他的思想更接近柏拉圖，更接近萊布尼茨。
三、數(shù)學(xué)實(shí)踐中的柏拉圖主義
如果是這樣，那跳出當(dāng)代流行哲學(xué)的藩籬去展現(xiàn)哥德?tīng)柕乃枷刖统蔀槔斫飧绲聽(tīng)柕谋亟?jīng)之途。我們特別想說(shuō)明的是其思想的活力，其在數(shù)學(xué)實(shí)踐中不斷發(fā)揮的重要作用。同時(shí)，我們還想說(shuō)明，數(shù)學(xué)中，特別是集合論中的那些美妙的結(jié)果又是如何印證、豐富和發(fā)展這種哲學(xué)的。這與當(dāng)代哲學(xué)的境況是一個(gè)非常鮮明的對(duì)比。為了說(shuō)明哥德?tīng)栒軐W(xué)這種關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐的特征，可以以所謂的“哥德?tīng)柧V領(lǐng)”為例，稍作說(shuō)明。
比起哥德?tīng)柧V領(lǐng)，康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能更為讀者所熟悉。事實(shí)上，前者可以看做是為解決后者而提出的一種研究方略。當(dāng)數(shù)學(xué)家們知道了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性之后，關(guān)于這個(gè)集合論命題的哲學(xué)地位就產(chǎn)生了爭(zhēng)論。一派認(rèn)為獨(dú)立性就是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的最好解決，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)既不是真的也不是假的，這就是最后的答案，因此，這個(gè)方向的工作已經(jīng)完成。這種觀點(diǎn)的哲學(xué)動(dòng)機(jī)在于，認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)命題的“真”完全決定于它是否能在一個(gè)特定的公理系統(tǒng)內(nèi)得到證明。目前大家普遍接受的作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的公理系統(tǒng)是策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)因?yàn)槭仟?dú)立于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理的，也就是說(shuō)，它和它的否定都不能在策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理中證明，因此，按照這一派的觀點(diǎn)，它既不是真的，也不是假的，而是無(wú)意義的。
但是哥德?tīng)枀s認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真取決于它是否描述了客觀數(shù)學(xué)世界的事實(shí)。我們不能通過(guò)某個(gè)公理系統(tǒng)證明它和它的否定，只能說(shuō)明這個(gè)公理系統(tǒng)本身不夠強(qiáng)大。由于公理系統(tǒng)不過(guò)是我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)，所以獨(dú)立性現(xiàn)象只是說(shuō)明我們對(duì)客觀數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。因此，解決獨(dú)立性問(wèn)題的正確途徑不是通過(guò)宣告其無(wú)意義而回避問(wèn)題的存在，而是應(yīng)該通過(guò)不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)世界的探索而加強(qiáng)我們的公理系統(tǒng)，最終在新的框架內(nèi)確定它的真值。這就是“哥德?tīng)柧V領(lǐng)”的核心思想，即通過(guò)尋找新的集合論公理最終解決包括連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題在內(nèi)的那些獨(dú)立性問(wèn)題。
如果試圖從哲學(xué)上理解哥德?tīng)柧V領(lǐng)，我們也許可以更為正式地總結(jié)為如下四個(gè)命題：
（1）數(shù)學(xué)既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號(hào)的游戲，而是對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)和描述。
（2）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的并不是對(duì)連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決，而是說(shuō)明策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有完全刻畫“集合”這個(gè)概念。
（3）集合論學(xué)家的主要任務(wù)是不斷加深對(duì)集合這個(gè)概念的理解，并將這種更深入的理解總結(jié)為新的公理。任何獨(dú)立性問(wèn)題，包括連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，最終會(huì)以這種方式得到解決。
（4）對(duì)新公理的辯護(hù)既可以是內(nèi)在的，也可以是外在的。
有趣的是，兩種觀點(diǎn)的動(dòng)機(jī)都是哲學(xué)的，前者大致可以認(rèn)為是形式主義的立場(chǎng)，后者當(dāng)然是柏拉圖主義的主張，即承認(rèn)“數(shù)學(xué)對(duì)象可以獨(dú)立于我們的構(gòu)造和獨(dú)立于我們各自對(duì)這些對(duì)象的直覺(jué)而存在”。在哥德?tīng)栠@里，這一立場(chǎng)有了新的意義和更為清晰明確的內(nèi)涵。通常將哥德?tīng)柕陌乩瓐D主義稱為“概念實(shí)在論”，這一稱呼源自他對(duì)自己哲學(xué)的一個(gè)總結(jié)。
1974年，德克薩斯大學(xué)社會(huì)學(xué)系的教師格蘭瓊（Burke Grandjean）為了研究20世紀(jì)30年代中歐的社會(huì)與學(xué)術(shù)狀況而搜集材料，他專為哥德?tīng)栐O(shè)計(jì)了一張問(wèn)卷，里面包括有關(guān)哥德?tīng)柹胶退枷氲拇蠹s17個(gè)問(wèn)題，并在1974 年底至1975 年底多次致信哥德?tīng)?，希望哥德?tīng)柲芑卮鹱约旱膯?wèn)卷。后來(lái)在哥德?tīng)柕倪z稿中發(fā)現(xiàn)了兩份填好的答卷和日期為1975 年8 月19 日的信，這封信顯然沒(méi)有寄出。在答卷中哥德?tīng)柍颂顚懽约旱闹饕绞论E外，有一份還評(píng)論了萊布尼茨和維特根斯坦。這當(dāng)然是研究哥德?tīng)査枷肷降恼滟F材料。而對(duì)我們來(lái)說(shuō)最重要的是回信中的這樣一段話：
大約從1925 年以來(lái)我就是一個(gè)概念和數(shù)學(xué)實(shí)在論者。我從未主張過(guò)數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法。倒不如說(shuō)，按任何一種講得通的涵義去理解，這種見(jiàn)解都會(huì)被我的結(jié)果所否證。[3]33
這里哥德?tīng)査f(shuō)的自己的結(jié)果指的是他的不完全性定理。哥德?tīng)栕约河幸粋€(gè)著名的論證，認(rèn)為這個(gè)定理雖然不一定能“證實(shí)”柏拉圖主義立場(chǎng)，但卻可以有效地“否證”任何認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類心靈產(chǎn)物的哲學(xué)立場(chǎng)，這包括物理主義以及視數(shù)學(xué)為語(yǔ)言句法的約定論。這個(gè)論證出現(xiàn)在1951年的吉布斯（Gibbs）演講中，核心是以下這段：
或者數(shù)學(xué)在如下意義上是不完全的：它那些顯然的公理永遠(yuǎn)不能包含于一個(gè)有窮的規(guī)則中，也就是說(shuō)人類心靈（即使在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)）無(wú)窮地超出了任何有窮機(jī)器的能力，或者存在著絕對(duì)不可解的……丟番圖問(wèn)題（而這個(gè)析取的兩個(gè)析取支都是真的這種情況并沒(méi)有被排除，所以嚴(yán)格說(shuō)還存在第三種情況）。[9]
所謂概念實(shí)在論的核心思想就是：存在著一個(gè)與物的世界（world of things）相平行的概念世界（world of concepts）。哥德?tīng)栂嘈?，與物的世界一樣，“這些概念自身形成了一個(gè)客觀的實(shí)在，我們不能創(chuàng)造或改變，而只能知覺(jué)（perceptive）和描述”。與柏拉圖把物理世界看作理念世界充滿缺陷的映像不同，也與亞里士多德將概念理解為事物的性質(zhì)和側(cè)面不同，哥德?tīng)柕倪@兩個(gè)世界是各自持存而不是互為條件的，他更強(qiáng)調(diào)它們?cè)谀承┓矫娴南嗨菩浴Ｋ运膶?shí)在論的一個(gè)主要特征是物理世界與概念世界的平行論：“類和概念也可以看作是真實(shí)的對(duì)象……假設(shè)這樣的對(duì)象與假設(shè)物理客體（physical body）一樣是合法的，也有同樣多的理由相信它們的存在。它們對(duì)于獲得一個(gè)令人滿意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是必須的，正像物理客體對(duì)一個(gè)令人滿意的關(guān)于我們的感性知覺(jué)（sense perception）的理論是必須的一樣。”①哥德?tīng)枴读_素的數(shù)理邏輯》（G?del K., Russell’s Mathematical Logic, in Schilpp P.A. ed., The philosophy of Bertrand Russell, volume 5 of Library of Living Philosophers,Evanston:Northwestern University,reprinted in G?del Collected Works,Volume Ⅱ,1944,pp.128）。參閱郝兆寬《哥德?tīng)栣槍?duì)物理主義的一個(gè)論證》（《邏輯學(xué)研究》2014年第3期）和《論分析性——來(lái)自哥德?tīng)柕膯⑹尽罚ā墩軐W(xué)研究》2014年12期）。
數(shù)學(xué)對(duì)象當(dāng)然屬于概念世界，因而不是我們精神的產(chǎn)物，不是直覺(jué)的構(gòu)造。相反，它們是人類精神認(rèn)識(shí)的對(duì)象?；趯?duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的這種客觀理解，哥德?tīng)栒J(rèn)為“康托的集合論在其原有的范圍和意義下的確有一個(gè)令人滿意的基礎(chǔ)”，這個(gè)基礎(chǔ)就是ZFC（策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理）。在這個(gè)基礎(chǔ)上，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）是一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它或者是ZFC 的定理，或者是否定ZFC 的定理，或者獨(dú)立于ZFC。由于此時(shí)哥德?tīng)栆呀?jīng)完成了L（哥德?tīng)柨蓸?gòu)成集）的構(gòu)造，所以第二種已經(jīng)被證明為不可能的。他猜測(cè)第一種也是不可能的，所以，最可能的結(jié)果就是CH 是獨(dú)立于ZFC 的。此時(shí)，距離科恩真正證明這一點(diǎn)，還有17年的時(shí)間。
但是，哥德?tīng)柧o接著強(qiáng)調(diào)，這種獨(dú)立性證明不是連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決。因?yàn)橐勒崭拍顚?shí)在論，集合概念是一個(gè)客觀存在，集合論語(yǔ)言是對(duì)這個(gè)客觀存在的描述。作為集合論語(yǔ)言的一個(gè)清楚明確的語(yǔ)句，CH（連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）在這個(gè)客觀世界中必然要么是真的，要么是假的。獨(dú)立性證明最多說(shuō)明我們尚不知道它的真假。
既然問(wèn)題不是純數(shù)學(xué)的困難，而是有關(guān)集合這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，那么解決的方法也必然從加深我們對(duì)集合這個(gè)抽象概念本身的認(rèn)知入手。而這必然要求為ZFC增加新的公理，使其成為更強(qiáng)大，或者說(shuō)更接近客觀集合宇宙的理論。不管是形式主義還是柏拉圖主義，都對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。對(duì)于前者來(lái)說(shuō)，工作于策梅洛-弗蘭克爾集合論加選擇公理之內(nèi)去發(fā)現(xiàn)新的定理，或者證明一個(gè)命題的獨(dú)立性是最有吸引力的工作。在這樣的認(rèn)識(shí)下，20世紀(jì)60年代以后對(duì)力迫的研究豐富多彩，新的獨(dú)立性命題也層出不窮。對(duì)于后者來(lái)說(shuō)，像大基數(shù)公理這樣超出ZFC 的命題更具魅力，它們是尋找新公理最可靠的基礎(chǔ)。同時(shí)，如何讓已知的集合宇宙容納越來(lái)越強(qiáng)的大基數(shù)則促進(jìn)了內(nèi)模型的發(fā)展。這兩個(gè)方向也在哥德?tīng)柡涂贫髦螳@得了巨大的成就。
特別是自20世紀(jì)80年代以來(lái)，這些成就將內(nèi)模型、大基數(shù)和實(shí)數(shù)子集的可決定性緊密聯(lián)系在一起。在此基礎(chǔ)上，武丁教授提出了解決連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的一系列設(shè)想。經(jīng)過(guò)近20 年的發(fā)展，特別是在2010 年之后，整個(gè)圖景逐漸清晰起來(lái)。粗略地說(shuō)，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的解決取決于我們是否能夠構(gòu)造一個(gè)包含超緊基數(shù)的類似于L的內(nèi)模型。如果這種構(gòu)造能夠成功，那就在某種意義上出現(xiàn)了一個(gè)終極的模型，在其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是真的。目前已知的所有獨(dú)立性問(wèn)題都會(huì)找到答案，而且也不能通過(guò)集合力迫構(gòu)造出新的獨(dú)立性命題。如果成功，這在任何意義上都應(yīng)該被看作是哥德?tīng)柧V領(lǐng)的實(shí)現(xiàn)。
當(dāng)然，另一種可能也始終存在，如果最終證明這種構(gòu)造是不可能的，或者說(shuō)超緊基數(shù)是不一致的，那事情就會(huì)變得更為復(fù)雜。不過(guò)，如果我們接受波普爾科學(xué)證偽的理論，這種同時(shí)存在的相互反對(duì)的可能性正是科學(xué)研究區(qū)別于非科學(xué)的根本特征。由此可以看出，哥德?tīng)柧V領(lǐng)不僅僅是一個(gè)哲學(xué)口號(hào)，哥德?tīng)柕陌乩瓐D主義也不是一個(gè)與科學(xué)無(wú)關(guān)的空洞的哲學(xué)立場(chǎng)的宣示，它深刻影響著數(shù)學(xué)實(shí)踐，并且產(chǎn)生出具體的數(shù)學(xué)結(jié)果，從而向我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間那種自古希臘以來(lái)就有的緊密聯(lián)系，而這正是我們理解的數(shù)學(xué)哲學(xué)的魅力所在。
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