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    循環(huán)子群個數幾乎最少的一類有限群

    2021-12-30 00:53:27江東林胡嘯晗
    龍巖學院學報 2021年2期
    關鍵詞:西羅反例子群

    王 堅,江東林,胡嘯晗

    (1.龍巖學院 福建龍巖 364000;2.浙江樹人大學 浙江杭州 310015)

    1 預備知識

    設G為有限群,C(G)為G的循環(huán)子群的集合。記c(G)為G的循環(huán)子群的個數,d(G)為G的階的因子個數。眾所周知,c(G)≤|G|,等號成立當且僅當G為初等交換2-群,其中|G|為G的階。而c(G)也有下限,文獻[1]中證明了c(G)≥d(G),等號成立當且僅當G為循環(huán)群。最近文獻[2]中給出了滿足c(G)=|G|-1的G的結構。隨后文獻[3]給出了滿足c(G)=|G|-Δ,Δ=2,3,4,5時G的結構。

    當c(G)接近d(G)時,這方面的結果較少,本文給出滿足c(G)=d(G)+1的paqb階群的完全分類。文中出現的術語以及符號都是標準的,具體可參見文獻[4-5]。

    為后續(xù)討論方便,將文獻[1]的主定理作成引理,同時給出階互素的兩個有限群的直積的循環(huán)子群個數的一個結果。

    引理1[1]設G為n階有限群,則G的循環(huán)子群個數大于等于n的因子個數,此外,G的循環(huán)子群個數等于n的因子個數當且僅當G循環(huán)。

    引理2 設U與V是階互素的兩個有限群,則c(U×V)=c(U)×c(V)。

    證明不妨設U為一個π-群,對任意的x∈U×V,則x=xπ·xπ′,其中xπ∈U,xπ′∈V。進一步可得〈x〉=〈xπ〉·〈xπ′〉。反之,U的任意一個循環(huán)子群與V的任意一個循環(huán)子群之積也是U×V的循環(huán)子群。結論成立。

    2 主要結果

    命題設G為paqb階群,H是G的一個次正規(guī)子群,則

    c(G)-d(G)≥c(H)-d(H)。

    證明根據遞歸,不妨設H是G的一個極大正規(guī)子群,將不等式化為c(G)-c(H)≥d(G)-d(H)。由于paqb階群可解,此時H是G的一個極大子群,不妨設它在G中的指數是p,進一步可得d(G)-d(H)=b+1。

    若G為p群,d(G)-d(H)=1,結論顯然成立。因此可設P,Q分別為G的西羅p-子群,q-子群。根據Frattini論斷,G=HNG(Q)=HNP(Q)。取不屬于H的NP(Q)的元素x,則G=H〈x〉,xp∈H。〈x〉的Q-共軛類長為|Q∶NQ(〈x〉)|。根據引理2,NQ(〈x〉)×〈x〉不包含于H的循環(huán)子群的個數為c(NQ(〈x〉))。

    (i)Q=NQ(〈x〉)。c(G)-c(H)≥c(Q),由引理1,c(Q)≥d(Q)=b+1,結論成立。

    (ii)|Q∶NQ(〈x〉)|=qi,i≥1。

    c(G)-c(H)≥qi-1+c(NQ(〈x〉))≥qi-1+b-i+1≥b+1。

    證畢。

    定理設G為paqb階群,則c(G)=d(G)+1當且僅當G同構于C2×C2,Q8與C3∶C2m之一,其中C3∶C2m是3階群與循環(huán)2-群的半直積。

    證明先證充分性。顯然C2×C2,Q8滿足c(G)=d(G)+1。因為C3∶C2m含有唯一的一個3×2m-1階循環(huán)的極大子群,并且它還含有3個循環(huán)的西羅2-子群,因此它滿足結論。

    再證必要性。設c(G)=d(G)+1。

    (i)G為p-群。斷言G的極大子群循環(huán),否則由命題和引理1,存在極大子群M,c(M)=d(M)+1。由極小階反例,M同構于C2×C2,Q8之一,而以C2×C2,Q8作為極大子群的2-群都不滿足定理條件,因此G的極大子群循環(huán)。經過簡單計算,交換p-群滿足條件的只能是C2×C2,對于非交換p-群,由文獻[4]的定理1.2,G同構于Q8。

    (ii)a>0,b>0。沿用命題證明中的記號,G=H〈x〉,xp∈H,x∈NP(Q)。斷言此時H循環(huán),G超可解。

    如若不然,根據命題和引理1,c(H)=d(H)+1,由極小階反例可得,H同構于C2×C2,Q8與C3∶C2m三者之一。經過簡單的驗證可知,當H同構于C2×C2或H同構于Q8時,G不滿足定理條件,因此H?C3∶C2m。此時G為超可解群且它的西羅3-子群正規(guī)。

    若|G∶H|=3,則p=3,由命題3與極小階反例可知G?C9∶C2m。G的西羅2-子群包含于H,個數是3,但它的西羅3-子群忠實且傳遞地共軛作用在所有西羅2-子群構成的集合上,這與G的西羅2-子群個數矛盾。

    若|G∶H|=2,則p=2,G=Q∶P,Q?C3。根據N/C定理,G/CG(Q)?C2。由命題、引理1和極小階反例可知CG(Q)循環(huán),它含有的循環(huán)子群個數為2m+2。H含有3個循環(huán)的2m階群,但G的西羅2-子群P含有除這2m+5個以外的循環(huán)子群,這與條件c(G)=d(G)+1=2(m+2)+1=2m+5矛盾。

    (iii)|Q∶NQ(〈x〉)|=q。

    因為H循環(huán),所以c(H)=a(b+1),由條件可知

    c(G)=(a+1)(b+1)+1,c(G)-c(H)=b+2。

    由條件及引理1、2可知G非冪零,進一步得出Q真包含NQ(〈x〉)。若|Q∶NQ(〈x〉)|≥q2,則b+2≥q2-1+b-1(一部分循環(huán)子群與〈x〉共軛,一部分循環(huán)子群將〈x〉作為直因子),進一步得出q=2。因為G是超可解群,P?G,這與G非冪零矛盾。

    (iv)最終結論。

    |Q∶NQ(〈x〉)|=q,c(G)-c(H)=b+2≥b-1+q,得出q≤3。由上一段的證明可知q=3,p=2。不屬于C(H)的子群剛好由與〈x〉共軛的子群和NQ(〈x〉)×〈x〉的部分循環(huán)子群構成,且不屬于C(H)的循環(huán)2-群的個數剛好是3,從而|G∶NG(〈x〉)|=3。而P=〈x〉(P∩H),NG(〈x〉)?NG(P),因為G非冪零,故NG(〈x〉)=NG(P),G的西羅2-子群的個數是3。因此P中不屬于C(H)的循環(huán)子群只能是〈x〉。設P∩H=〈y〉,則〈xy〉=〈x〉,推出P=〈x〉。設G=〈z〉∶〈x〉,其中Q=〈z〉。由于x2∈CG(z),zx=z-1,且z3∈CG(x),得出z為3階元,結論成立。

    后記命題中的不等式由曲海鵬教授給出,在此表示感謝。同時他還猜測命題對任意有限群或可解群G、H是G的任意子群的情況是成立的。筆者猜測,去掉定理中的條件G為paqb階群,結論依然成立。

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