實(shí)驗(yàn)報(bào)告：系數(shù)對(duì)二次函數(shù)圖像的影響

文／江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)“幾何畫板”社團(tuán) 王鑫坤

自學(xué)教材“二次函數(shù)”這一章，我的直覺告訴我，要類比“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)過程。果不其然，老師講二次函數(shù)時(shí)，也是從熟悉的、簡(jiǎn)單的實(shí)際問題出發(fā)，通過問題中的數(shù)量關(guān)系引入二次函數(shù)的概念，利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖像，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，由特殊到一般，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想探索二次函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)。當(dāng)看到教材第18—19 頁(yè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”中介紹“用幾何畫板軟件研究二次函數(shù)的性質(zhì)”后，我嘗試自主操作實(shí)驗(yàn)，觀察系數(shù)a、b、c對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）圖像的影響。這里，我將實(shí)驗(yàn)操作的過程整理出來與同學(xué)們分享。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪脦缀萎嫲遘浖媹D、動(dòng)態(tài)演示、觀察探索、度量計(jì)算等，從局部到整體理解二次函數(shù)表達(dá)式中系數(shù)a、b、c對(duì)圖像的影響，深度理解二次函數(shù)。

實(shí)驗(yàn)工具：裝有幾何畫板軟件的計(jì)算機(jī)。

實(shí)驗(yàn)過程及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：

1.新建可變參數(shù)a，畫出二次函數(shù)y=ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖像，如圖1，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。

圖1

2.改變參數(shù)a的值，使它漸漸地變大，并追蹤拋物線，如圖2，觀察發(fā)現(xiàn)：它的開口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸都不變，但開口漸漸地向y軸收縮。

3.過y軸上的點(diǎn)作垂直于y軸的直線，交拋物線于E、F兩點(diǎn)，改變參數(shù)a的值，使它漸漸地變大，并追蹤拋物線，如圖3，隨著參數(shù)a的值漸漸增大，線段EF漸漸變短，驗(yàn)證2 的觀察結(jié)果。

圖3

4.過x軸上的點(diǎn)D作垂直于x軸的直線，交拋物線于點(diǎn)P，拖動(dòng)點(diǎn)D向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，如圖4，觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0 時(shí)，隨著點(diǎn)D由左向右運(yùn)動(dòng)，在y軸的左邊，點(diǎn)P由上向下運(yùn)動(dòng)，到原點(diǎn)時(shí)，位置最低，越過原點(diǎn)后，在y軸的右邊，點(diǎn)P由下向上運(yùn)動(dòng)。驗(yàn)證性質(zhì)：a＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減?。划?dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x=0 時(shí)，y的值最小，最小值是0。

圖4

5.改變參數(shù)a的值，使它由正變負(fù)，漸漸地變小，并追蹤拋物線，如圖5，我們可以觀察到二次函數(shù)的圖像隨著a值的變化而變化帶來的直觀圖像。

圖5

圖6

7.只改變參數(shù)a的值，追蹤頂點(diǎn)D，觀察發(fā)現(xiàn)：拋物線的形狀、位置都在變化，其頂點(diǎn)D在一條直線上運(yùn)動(dòng)，如圖7。

圖7

8.只改變參數(shù)b的值，追蹤頂點(diǎn)D，觀察發(fā)現(xiàn)：拋物線的形狀不變，位置改變，其頂點(diǎn)D在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，如圖8。

圖8

圖9

教 師 點(diǎn) 評(píng)

王鑫坤同學(xué)進(jìn)入初中后始終對(duì)數(shù)學(xué)保持較高的學(xué)習(xí)興趣，在完成學(xué)校的學(xué)習(xí)任務(wù)之余，經(jīng)常主動(dòng)找數(shù)學(xué)問題鉆研，深入思考，挑戰(zhàn)極限，越是難題越能激起他的斗志。幾何畫板是教師上課引導(dǎo)學(xué)生探索新知的重要工具，王鑫坤同學(xué)在潛移默化中也學(xué)會(huì)用幾何畫板去探索數(shù)學(xué)的世界。著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！睕]有什么東西比成功更能增強(qiáng)滿足的感覺，也沒有什么東西比成功更能鼓起進(jìn)一步取得成功的努力。王鑫坤同學(xué)從數(shù)學(xué)探索中獲取樂趣，我們希望更多的同學(xué)主動(dòng)學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題、探究問題，實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，由“會(huì)學(xué)”到“創(chuàng)新”的目標(biāo)。