沿函數(shù)之道 通方程之路

文／燕 娜

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a是常數(shù)）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）當y=0 時的特殊情況，因此，我們在研究一元二次方程時，有時需要借助二次函數(shù)的圖像來解決問題。

【閱讀材料】在實際問題中有時只需要求得方程的近似解，這個時候，我們通常利用函數(shù)的圖像來完成。如，求方程x2-2x-2=0 的實數(shù)根的近似解，觀察函數(shù)y=x2-2x-2 的圖像，如圖1：發(fā)現(xiàn)當自變量x=2 時，函數(shù)值y=-2＜0，點（2，-2）在x軸下方；當自變量x=3 時，函數(shù)值y=1＞0，點（3，1）在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y=x2-2x-2 在2＜x＜3 這一段經(jīng)過x軸，也就是說，當x取2、3 之間的某個值時，函數(shù)值為0，即方程x2-2x-2=0在2、3之間有根。

進一步，我們?nèi)?和3的平均數(shù)2.5，計算當自變量x=2.5 時，函數(shù)值y=-0.75＜0，點（2.5，-0.75）在x軸下方，由此可知，方程的這個根在2.5 與3 之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，該近似解與真實值的差都不會大于3-2.5=0.5。

重復(fù)以上操作，隨著操作次數(shù)的增加，根的近似值會越來越接近真實值。

【問題】用以上方法求方程x2-2x-2=0 小于0 的解，且使所求的近似解與真實值的差不超過0.3，該近似解為________。

【解析】觀察函數(shù)y=x2-2x-2 的圖像，發(fā)現(xiàn)：當自變量x=0 時，函數(shù)值y=-2＜0，點（0，-2）在x軸下方；當自變量x=-1時，函數(shù)值y=1＞0，點（-1，1）在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2 是一條連續(xù)不斷的曲線，所以拋物線y=x2-2x-2 在-1＜x＜0 這一段經(jīng)過x軸，也就是說，當x取-1、0之間的某個值時，函數(shù)值為0，即方程x2-2x-2=0在-1、0之間有小于0的根。

我們?nèi)?1 和0 的平均數(shù)-0.5，計算當自變量x=-0.5 時，函數(shù)值y=-0.75＜0，點（-0.5，-0.75）在x軸下方，所以方程的這個根在-1與-0.5 之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，該近似解與真實值的差都不會大于0.5。再求-1和-0.5的平均數(shù)-0.75，計算當自變量x=-0.75 時，函數(shù)值y=0.0625＞0，點（-0.75，0.0625）在x軸上方，所以方程的這個根在-0.75 與-0.5 之間，可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解，由-0.5-（-0.75）=0.25＜0.3，即該近似解與真實值的差都不會大于0.3。

所以在-0.75 與-0.5 之間任意一個數(shù)都可以作為近似解，如-0.7。

【點評】解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意，閱讀材料主要描述的是利用函數(shù)圖像，從中獲取信息，從兩點逐步逼近求一元二次方程的近似解的方法。積累此經(jīng)驗，我們就可以在以后的學(xué)習中解決類似的問題。

變式1 在利用圖像法求方程x2=x+3 的解x1、x2時，下面是四名同學(xué)的解法。

甲：函數(shù)y=x2-x-3 的圖像與x軸交點的橫坐標是x1、x2；

乙：函數(shù)y=x2與y=x+3 的圖像交點的橫坐標是x1、x2；

丙：函數(shù)y=x2-3 與y=x的圖像交點的橫坐標是x1、x2；

?。汉瘮?shù)y=x2+1 與y=x+4 的圖像交點的橫坐標是x1、x2。

你認為解法正確的同學(xué)有________。

【解析】方程x2=x+3 的解為x1、x2，即方程x2-x-3=0的兩個根為x1、x2。

甲：函數(shù)y=x2-x-3 的圖像與x軸交點的橫坐標是x1、x2，即方程x2-x-3=0 的兩個根為x1、x2，故甲正確；

乙：函數(shù)y=x2和y=x+3 的圖像交點的橫坐標是x1、x2，即方程x2=x+3 的兩個根為x1、x2，故乙正確；

丙：函數(shù)y=x2-3 和y=x的圖像交點的橫坐標是x1、x2，即方程x2-3=x的兩個根為x1、x2，故丙正確；

?。汉瘮?shù)y=x2+1 和y=x+4 的圖像交點的橫坐標是x1、x2，即方程x2+1=x+4 的兩個根為x1、x2，故丁正確。

故答案為甲、乙、丙、丁。

變式2 下表給出了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值。那么方程ax2+bx+c=0的一個根的近似值可能是（）。

x y……1-1 1.1-0.49 1.2 0.04 1.3 0.59 1.4 1.16……

A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38

【解析】觀察表中數(shù)據(jù)：x=1.1 時，y=ax2+bx+c=-0.49；x=1.2 時，y=ax2+bx+c=0.04。所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點在點（1.1，0）和點（1.2，0）之間，更靠近點（1.2，0），所以方程ax2+bx+c=0 有一個根約為1.2。故選B。

變式3 二次函數(shù)y=-x2+mx的圖像如圖2所示，對稱軸為直線x=2，若關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是。

圖2

當x=1 時，y=3；當x=2 時，y=4；當x=5 時，y=-5。

結(jié)合圖像，如圖3，因為一元二次方程-x2+mx-t=0 的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t在1＜x＜5 的范圍內(nèi)的交點，即關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t為實數(shù)）在1＜x＜5 的范圍內(nèi)有解，所以直線y=t在直線y=-5 和直線y=4 之間（包括直線y=4），所以-5＜t≤4。

A.-1＜x0＜0 B.0＜x0＜1

C.1＜x0＜2 D.2＜x0＜3

圖4

變式5 已知二次函數(shù)y=x2+px+q（p、q為常數(shù)，Δ=p2-4q＞0）的圖像與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且A，B兩點間的距離為d。通過研究其中一個函數(shù)y=x2-5x+6及圖像（如圖5），可得出表中第2列的相關(guān)數(shù)據(jù)。

圖5

y=x2+px+q y=x2-5x+6 y=x2-1 2x y=x2+x-2 p q Δ x1-5-1 2-2 6 1 2 3 1 14-2 x2 d 12 3

（1）在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；

（2）根據(jù)上述表內(nèi)d與Δ 的值，猜想它們之間有什么關(guān)系，再舉一個符合條件的二次函數(shù)，驗證你的猜想；

（3）對于函數(shù)y=x2+px+q（p、q為常數(shù)，Δ=p2-4q＞0），是否存在（2）中的關(guān)系？請證明你的猜想。

（2）猜想：d2=Δ。

例如：y=x2-x-2中，p=-1，q=-2，Δ=9。

由x2-x-2=0，得x1=2，x2=-1，d=3，d2=9，

∴d2=Δ。

（3）存在。

證明：令y=0，得x2+px+q=0。

∵Δ＞0，設(shè)x2+px+q=0 的兩根為x1，x2，則x1+x2=-p，x1·x2=q，d2=（||x1-x2）2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2=（-p）2-4q=p2-4q=Δ。