巧借圖，智破雙拋物線問題

文／季承潔

以雙拋物線為立意的綜合性壓軸題，集函數(shù)知識、代數(shù)推理于一體，重在考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的創(chuàng)新能力。本文現(xiàn)以2021年湖北省宜昌市中考壓軸題為例進(jìn)行展示。

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=-（x+4）·（x-n）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（n，0）（n≥-4），頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h1，k1）。拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為（h2，k2）。

（1）寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求k1，k2的值（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)-4≤n≤4 時，探究k1與k2的大小關(guān)系；

（4）經(jīng)過點(diǎn)M（2n+9，-5n2）和點(diǎn)N（2n，9-5n2）的直線與拋物線y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 的公共點(diǎn)恰好為3 個不同點(diǎn)時，求n的值。

【解析】（1）求拋物線y1=-（x+4）（x-n）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，基本方法是令y1=0，

得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，結(jié)合條件有A（-4，0）。

（2）k1，k2是兩拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，對拋物線表達(dá)式進(jìn)行配方或直接運(yùn)用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 就是頂點(diǎn)式，可以直接寫出k2=-n2+2n+9，

綜上所述：當(dāng)-4≤n＜-2 或2＜n≤4 時，k1＞k2；當(dāng)-2＜n＜2 時，k1＜k2；當(dāng)n=2 或n=-2時，k1=k2。

（4）拋物線y1、y2和直線MN都含有參數(shù)n，隨著n的變化，三線的位置也在變化。借助幾何畫板觀察：從n=-4，三線有4個公共點(diǎn)開始，隨著n的增大，三線的位置在逐漸變化，公共點(diǎn)的個數(shù)也隨之變化。在運(yùn)動變化的過程中，我們截取不同的瞬間，圖1 到圖11，直觀感知，三線的公共點(diǎn)的個數(shù)變化為4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中，有三個公共點(diǎn)的情況：一是三線經(jīng)過同一點(diǎn)，如圖2和圖10；二是直線MN、拋物線y1有1 個公共點(diǎn)，如圖4和圖8。

圖1 三線有4個公共點(diǎn)

圖2 三線有3個公共點(diǎn)

圖3 三線有4個公共點(diǎn)

圖4 三線有3個公共點(diǎn)

圖5 三線有2個公共點(diǎn)

圖6 三線有1個公共點(diǎn)

圖7 三線有2個公共點(diǎn)

圖8 三線有3個公共點(diǎn)

圖9 三線有4個公共點(diǎn)

圖10 三線有3個公共點(diǎn)

圖11 三線有4個公共點(diǎn)

在三線運(yùn)動變化的過程中，我們通過觀察、思考，發(fā)現(xiàn)“直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)”，運(yùn)用代數(shù)推理很容易驗(yàn)證我們的猜想。

兩點(diǎn)確定一條直線的表達(dá)式，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M（2n+9，-5n2）和點(diǎn)N（2n，9-5n2）的直線MN的表達(dá)式為y=kx+b，得

直線MN的表達(dá)式為y=-x-5n2+2n+9，交y軸于點(diǎn)（0，-5n2+2n+9）。

對拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，當(dāng)x=0時，y2=-5n2+2n+9，交y軸于點(diǎn)（0，-5n2+2n+9）。

所以直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)。

先算情況一：如圖2和圖10，三線經(jīng)過同

【評注】本題是以雙拋物線為背景考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的壓軸題，雖然難度不小，但難度是逐漸提升的。具體來講，第（1）問是熱身送分題；第（2）問求二次函數(shù)的頂點(diǎn)是必備的基本知識，會配方是不難解決的；第（3）問用求差法比較兩數(shù)的大小是基本方法，對不等式的要求高了一點(diǎn)；第（4）問是試題的高階要求，難度較大。學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，可以運(yùn)用“觀察函數(shù)圖像—發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)—巧用代數(shù)方法解決函數(shù)問題”的思維過程，雖然題目沒有給出圖像，但我們必須利用函數(shù)圖像觀察、研究，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想在本題中得到了充分體現(xiàn)。