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    一題引路 深思而變
    ——對一道教材例題的思考與拓展

    2021-12-29 11:01:44文/李
    初中生世界 2021年47期
    關鍵詞:一元二次方程交點實數(shù)

    文/李 燕

    數(shù)學教材中的例題都是經過精心挑選的,具有典型性和示范性。若同學們能在學習的過程中認真理清例題的解題方法和所用知識點,并加以拓展,將是實現(xiàn)減負增效的有效途徑。下面以蘇科版數(shù)學九年級下冊第25 頁的例題為例,談談例題的學習與拓展。

    【原題呈現(xiàn)】不畫圖像,判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點。

    【分析】例題是根據二次函數(shù)與一元二次方程的關系,將函數(shù)轉化為一元二次方程,再利用一元二次方程根的判別式,得到方程實數(shù)根的個數(shù)就是函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)。即對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當b2-4ac>0 時,二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0 時,二次函數(shù)的圖像與x軸有唯一的公共點(即頂點);當b2-4ac<0 時,二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點。

    解:因為一元二次方程-x2+5x-8=0 的根的判別式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)=-7<0,

    所以方程-x2+5x-8=0沒有實數(shù)根,

    所以二次函數(shù)y=-x2+5x-8 的圖像與x軸沒有公共點。

    【點評】將函數(shù)圖像問題代數(shù)化,化繁為簡,巧妙地體現(xiàn)出二次函數(shù)圖像與一元二次方程是“形”與“數(shù)”的有機結合。

    思考一、根據二次函數(shù)確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

    【點評】根據拋物線與x軸的交點個數(shù)可以確定字母系數(shù)的取值范圍,其方法是根據拋物線與x軸的交點個數(shù),推出b2-4ac值的性質,即列出關于字母系數(shù)的方程(或不等式),通過方程(或不等式)求解。

    延伸1 已知二次函數(shù)y=x2+x+m,當x取任意實數(shù)時,都有y>0,則m的取值范圍是________。

    思考二、根據二次函數(shù)求一元二次方程中的解及參數(shù)

    【點評】題面中沒有涉及函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù),但條件y>0 巧妙地把“數(shù)與形”結合在一起,增強了知識聯(lián)系及延伸,增加了題目深度。

    延伸2 已知函數(shù)y=(k-3)x2+2x+1 的圖像與x軸有交點,則k的取值范圍是________。

    【解析】當k-3=0,即k=3 時,函數(shù)為y=2x+1,此一次函數(shù)與x軸有一個交點;

    當k-3≠0 時,此函數(shù)為二次函數(shù),當b2-4ac=4-4(k-3)≥0,即k≤4且k≠3時,函數(shù)圖像與x軸有交點。

    綜上所述,當k≤4 時,函數(shù)圖像與x軸有交點。

    【點評】由于題中沒有明確函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù),因此要分k-3=0 和k-3≠0兩種情況進行討論。

    變式2 二次函數(shù)y=x2+x-m的部分圖像如圖1 所示,求一元二次方程x2+x-m=0的解。

    圖1

    【解析】由圖知x2+x-m=0 的一個根為1,所以12+1-m=0,即m=2,故一元二次方程為x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2,所以一元二次方程x2+x-m=0的解為x1=1,x2=-2。

    延伸1 已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點(-1,5),且無論m為何值,不等式a+b≥am2+bm恒成立,求一元二次方程ax2+bx+c=5的解。

    【解析】因為不等式a+b≥am2+bm恒成立,所以a+b+c≥am2+bm+c恒成立,所以點(1,a+b+c)是拋物線的頂點,點(-1,5)關于直線x=1的對稱點為(3,5)。

    當y=5 時,x=-1 或3,所以一元二次方程ax2+bx+c=5的解為x1=-1,x2=3。

    故答案為x1=-1,x2=3。

    【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點及拋物線對稱性,找到拋物線的頂點坐標是解題的關鍵。

    延伸2 二次函數(shù)y=x2+bx的對稱軸為直線x=1,若關于x的方程x2+bx-t=0(t為實數(shù))在-1<x<4 的范圍內有實數(shù)解,則t的取值范圍是________。

    當x=-1時,y=4;當x=4時,y=8。

    t的取值范圍為頂點至y=8 之間的區(qū)域,即-1≤t<8。

    【點評】把二次函數(shù)與不等式轉化為兩個函數(shù)圖像的交點問題求解,是解題的突破口,如果能作出圖形會顯得更為直觀。

    思考三、根據二次函數(shù)確定不等式中的參數(shù)取值范圍

    變式3 拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖像如圖2 所示,則關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是。

    圖2

    【解析】圖像與x軸兩交點的橫坐標分別為x=-1 與x=2,由圖像又知當-1<x<2時,圖像在x軸下方,所以ax2+bx+c<0 的解集為-1<x<2。

    【點評】利用函數(shù)圖像解不等式。當函數(shù)值y>0時,圖像上的點在x軸的上方;當函數(shù)值y<0時,圖像上的點在x軸的下方。充分利用數(shù)形結合思想,能直觀地解決類似問題。

    延伸1 拋物線y=a(x-h)2+k(a>0)經過(-1,2),(5,2)兩點,則關于x的不等式a(x-h-1)2+k≤2的解集為________。

    【解析】因為拋物線y=a(x-h)2+k(a>0)經過(-1,2),(5,2)兩點,所以大致圖像如圖3所示:

    圖3

    所以y=a(x-h-1)2+k(a>0)經過(0,2),(6,2)兩點,

    所以關于x的不等式a(x-h-1)2+k≤2的解集為0≤x≤6。

    故答案為0≤x≤6。

    【點評】此題考查二次函數(shù)與不等式的知識。正確理解數(shù)形結合,合理分析是解題的關鍵。

    延伸2 一元二次方程ax2-2ax+c=0有一個根為x=3,且y=ax2-2ax+c過點(2,-3),則不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解為______。

    【解析】把點(2,-3)代入y=ax2-2ax+c,得4a-4a+c=-3,即c=-3。

    把x=3 代入ax2-2ax+c=0,得9a-6a+c=0,則3a-3=0,解得a=1,所以拋物線為y=x2-2x-3。

    解方程x2-2x-3=-x-1,得x1=-1,x2=2,所以拋物線y=x2-2x-3與直線y=-x-1的交點的橫坐標分別為-1 和2,即不等式ax2-2ax+c≤-x-1的解集為-1≤x≤2。

    故答案為-1≤x≤2。

    【點評】本題是利用兩個函數(shù)的圖像在坐標系中的位置關系,求自變量的取值范圍,可作圖利用交點求解,也可把兩個函數(shù)列成不等式求解。

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