傾斜擋墻黏性填土非極限主動土壓力計算

陳建旭，錢 波，郭 寧，余明東，莊錦亮

(西昌學(xué)院 土木與水利工程學(xué)院，四川 西昌 615013)

1 研究背景

土壓力問題作為土力學(xué)的三大經(jīng)典問題之一，一直倍受界內(nèi)人士的廣泛關(guān)注，如何能夠?qū)⑼翂毫碚摳玫闹笇?dǎo)工程實踐，是人們需要解決的問題。為此，大量學(xué)者對土壓力展開了研究。

Sherif等[1]、Fang等[2]、周應(yīng)英等[3]、楊斌等[4]通過室內(nèi)模型試驗發(fā)現(xiàn)，無論是黏性土還是砂土，土壓力大小均受墻體位移量的影響，且呈非線性分布。Chang[5]在模型試驗基礎(chǔ)上，建立了砂土位移量與內(nèi)、外摩擦角的線性關(guān)系，得到了改進(jìn)的庫侖主動土壓力計算公式。盧坤林等[6]通過三軸卸荷試驗類比于墻體位移與土壓力的關(guān)系，得到了砂土內(nèi)摩擦角隨位移變化的表達(dá)式，基于條分法得到了非極限主動土壓力的分布解。應(yīng)宏偉等[7]、吳明等[8]、陳建旭等[9]通過薄層單元法，并考慮了土拱效應(yīng)，得到了砂土位移達(dá)到極限時的主、被動土壓力計算公式，與相關(guān)試驗較為吻合。彭明祥[10]、劉杰等[11]則分別通過極限平衡法及極限塑性上限理論得到了黏土的最大裂縫深度以及土壓力分布的計算公式。王奎華等[12]基于變分法推導(dǎo)了極限狀態(tài)下黏性填土土壓力合力的計算公式。陳建功等[13]彌補了已有變分法求解黏性土主動土壓力未考慮張拉裂縫的缺陷。涂兵雄等[14]、王學(xué)民等[15]基于朗肯滑裂面，假定產(chǎn)生圓弧形土拱，求解了墻背鉛直或傾斜情況下的黏土的主動土壓力，趙琦等[16]進(jìn)一步將此方法運用到有限黏土的土壓力計算。徐日慶等[17-18]以黏性土的摩爾應(yīng)力圓，通過平移坐標(biāo)軸的方式，建立了黏性土位移與內(nèi)摩擦角的關(guān)系，并將此推廣到了有限黏土的土壓力計算。婁培杰[19]同時考慮了土拱效應(yīng)和位移的影響，推導(dǎo)了黏土的非極限主動土壓力計算公式。

實際工程中涉及到黏土的工程較多，因而，黏性填土的土壓力理論應(yīng)用范圍更廣。但目前對黏土的土壓力研究存在一定的不足：文獻(xiàn)[10]—文獻(xiàn)[13]未考慮墻體位移的影響，文獻(xiàn)[14]—文獻(xiàn)[17]忽略了土拱效應(yīng)的影響，這與試驗[3-4]結(jié)果不符；對黏土滑裂面假定為朗肯滑裂面[14-16]或庫侖滑裂面[17-19]，事實上朗肯滑裂面并不適應(yīng)于傾斜粗糙墻背，且土體未達(dá)到極限位移的情況，庫侖滑裂面不適用于黏性填土及墻背與填土存在粘著力的情況；文獻(xiàn)[14]—文獻(xiàn)[19]先通過得到主動土壓力的解答才能得到裂縫深度的大小，這其實存在邏輯上的錯誤，是裂縫深度的改變影響土應(yīng)力的大小，而不是相反；文獻(xiàn)[14]—文獻(xiàn)[15]、文獻(xiàn)[17]、文獻(xiàn)[19]中的邊界條件并不滿足受力微分方程，這主要是由于未考慮張拉裂縫所產(chǎn)生的零應(yīng)力區(qū)所導(dǎo)致的。

綜上所述，黏性土壓力理論仍有待進(jìn)一步研究，本文在前人的基礎(chǔ)上，將墻后黏性填土滑裂體分為彈性區(qū)和塑性區(qū)兩部分來研究，并基于非極限狀態(tài)下的虛功原理，建立了能量守恒方程，推導(dǎo)了張拉裂縫深度及潛在滑裂面的解析式。在此基礎(chǔ)上，考慮了土拱效應(yīng)，由水平層分析法推求了傾斜擋墻(包括仰斜式，直立式、俯斜式)黏性填土非極限主動土壓力分布、合力大小、合力作用點深度的理論公式，并將其與相關(guān)模型試驗進(jìn)行了對比分析，使推導(dǎo)過程在邏輯上更為嚴(yán)謹(jǐn)，使所得土壓力值更趨近于實際。

2 理論推導(dǎo)

本文理論分析滿足以下假定：①墻體的剛度足夠大，不會發(fā)生彎曲變形；②墻后黏土屬于各向同性的彈塑性材料；③墻后黏土及黏土與墻背間的抗剪強度滿足摩爾-庫倫準(zhǔn)則；④墻土黏聚力與內(nèi)、外摩擦角隨位移變化的規(guī)律相同。

2.1 位移與摩擦角、黏聚力的關(guān)系

合理確定黏性填土內(nèi)摩擦角、墻土黏聚力、墻土摩擦角(外摩擦角)、墻土黏聚力是計算土壓力的關(guān)鍵。然而實際工程中，墻體允許發(fā)生的位移量往往較小，此時，墻后填土也并未達(dá)到其極限位移值，內(nèi)摩擦角發(fā)揮值φm與墻體位移比η存在如下關(guān)系[17-19],即

(1)

其中，T=(1-Rf+ηRf)(1+sinφ) 。

式中：η=S/Sa，S為墻體位移，Sa為填土的極限位移值，其值一般為墻高的0.4%～1%；φ為土體達(dá)到極限位移時所對應(yīng)的內(nèi)摩擦角，可由試驗測得；Rf為破壞比，取值范圍在0.75～1之間，無實測資料時可取0.85；K0為靜止土壓力系數(shù)，針對黏性土，F(xiàn)ederico等[20]通過統(tǒng)計分析59例靜止土壓力實測值，滿足如下關(guān)系,即

K0=[1-sin(0.64φ)]/[1+sin(0.64φ)] 。(2)

Fang等[2]通過試驗發(fā)現(xiàn)外摩擦角與位移近似呈線性關(guān)系，Chang[5]建立了外摩擦角發(fā)揮值δm與位移的關(guān)系式，即

tanδm=tanδ0+η(tanδ-tanδ0)。

(3)

式中δ、δ0分別對應(yīng)墻體達(dá)到極限位移時、墻體靜止時的外摩擦角。無實測資料時，δ0可取φ/2，δ則取2φ/3。

對于填土黏聚力發(fā)揮值cm、墻土黏聚力發(fā)揮值cwm的選取，按照俆日慶等[17]的假定，其表達(dá)式為

(4)

2.2 張拉裂縫、滑裂面的確定

建立如圖1(a)所示的計算模型，墻高為H，墻后填土水平，重度為γ，且受到均布超載q0，墻背傾角為ε，當(dāng)ε<0°時，為仰斜式；當(dāng)ε=0°時，為直立式；當(dāng)ε>0°時，為俯斜式。墻后潛在滑裂面傾角為βm，滑裂體所產(chǎn)生的張拉裂縫深度為y0m，即BC以上土體對墻體將不產(chǎn)生側(cè)向壓力，可作為彈性土體覆蓋在塑性區(qū)ABC上，并可等效為γy0m的均布超載作用。此時的均布超載q為q0與γy0m之和(見圖1(b))。

墻體在土壓力的作用下將背離填土發(fā)生一定量的位移而處于平衡狀態(tài)。以墻擋墻和填土為研究對象，根據(jù)虛功原理，可對其虛設(shè)一個位移(此位移并非墻體發(fā)生的實際位移量)，取單位時間，則存在一個虛速度Vw。如圖1(b)所示，若土體滿足摩爾-庫倫破壞準(zhǔn)則，則根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動法則，墻后填土塑性區(qū)ABC將產(chǎn)生一個方向與潛在滑裂面AC呈斜向下且角度為φm的速度Vs，由于AB面為墻體與填土的速度間斷面，存在一個相對速度Vsw，其方向與墻背呈斜向下且角度為δm，則Vw、Vs、Vsw可構(gòu)成一個速度矢量三角形，由正弦定理，滿足下列關(guān)系：

圖1 非極限狀態(tài)理論分析模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of non-limit state theoretical analysis model

(5)

單獨將塑性區(qū)ABC作為研究對象，則由虛功原理知，其外力所作的功(單位時間的外力所作功則為功率)應(yīng)為0。

2.2.1 外力零功率

圖1(b)中滑裂面AC受到的力N1為AB面正應(yīng)力與其所產(chǎn)生的摩擦力的合力，其方向與滑裂面法線所呈夾角為φm，則Vs⊥N1，同理Vsw⊥N2，即可得到外力N1、N2的功率為0。

2.2.2 外力正功率

通過圖2(b)外力與速度的關(guān)系，重力G與均布超載q做正功，則對應(yīng)功率為PG和Pq，即：

(7)

2.2.3 外力負(fù)功率

通過圖1(b)外力與速度的關(guān)系，AB面與AC面由黏聚力所產(chǎn)生的剪應(yīng)力Tw與Ts作負(fù)功，則對應(yīng)功率為PTw和PTs，即：

(8)

(9)

2.2.4 能量守恒方程

由虛功原理可得

PG+Pq+PTw+PTs=0 。

(10)

將式(5)—式(9)代入式(10)，并考慮到塑性區(qū)在B點就會產(chǎn)生，則H趨近于y0m時，取H=y0m，并代入式(10)，可求得y0m，即

(11)

(12)

其中J=cwmcosδm/[2cmcosφmcos(ε+δm)]，K=Jcos2φm+cos(φm+ε)，L=[Jsin2φm+sin(φm+ε)]2。

存在一個臨界超載q′ 滿足如下關(guān)系式，即

(13)

當(dāng)q0≥q′時，填土將不再產(chǎn)生張拉裂縫，此時y0m=0。

當(dāng)ε=δ=0°，cwm=q0=0 kPa，η=1時(滿足朗肯假設(shè))，則:

所求裂縫深度y0m、滑裂面傾角βm與朗肯解完全一致，即朗肯解為本文的特解。

2.3 土拱效應(yīng)分析

圖2 非極限狀態(tài)應(yīng)力分析示意圖Fig.2 Schematic diagram of stress analysis in non-limit state

圖3 非極限狀態(tài)下墻后黏性填土摩爾應(yīng)力圓Fig.3 Mohr stress circle of cohesive soil behind wall under non-limit state

如圖2(a)所示，小主應(yīng)力軌跡線為曲線，可假定為圓弧形[7-9,14-16,18-19]，土拱半徑為R，則任意土層DE的長度By為

By=R(cosθDm-cosθEm) 。

(15)

式中θDm、θEm分別為D點處和E點處的大主應(yīng)力與水平面的夾角。可根據(jù)圖3的幾何關(guān)系求出θDm為

θDm=π/2-αDm/2+ε。

(16)

式中αDm為D點處的大主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角，可根據(jù)摩爾應(yīng)力圓求得,即

αDm=arcsin(sinδm/sinφm)-δm。

(17)

大主應(yīng)力與滑裂面的夾角為π/4-φm/2，則滑裂面上任意點E與水平面的夾角為

θEm=π/4-φm/2+βm。

(18)

由于研究對象為黏土，可將圖3應(yīng)力圓中的縱坐標(biāo)向左平移若干單位，使之與研究砂土類似，平移量σ0為

σ0=cmcotφm。

(19)

則在新坐標(biāo)系τ′-σ′中，微分單元DE中任意點處的水平應(yīng)力σ′hm和豎向應(yīng)力σ′vm分別為

(20)

式中θ為塑性區(qū)ABC中任意點的大主應(yīng)力與水平方向的夾角。

(22)

由式(22)可以看出，當(dāng)填土為砂土?xí)r，cm=0，其側(cè)土壓力系數(shù)為K′m，其值為

則黏性填土側(cè)土壓力系數(shù)Km與無黏性土側(cè)土壓力系數(shù)K′m滿足下列關(guān)系,即

(24)

2.4 微元受力平衡分析

水平微元受力分析如圖2(b)所示，可建立水平方向平衡方程為

σamdy-(σamtanδm+cwm)tanεdy+

(rtanφm+cm)cotβmdy-rdy=0 。

(25)

豎直方向平衡方程為

σamtanεdy+(σamtanδm+cwm)dy+(rtanφm+

(26)

式中dG為微元的重力，其值為dG=γ(H-y)(tanε+cotβm)dy。

(27)

中間變量X，Y分別為

(28)

(30)

則法向應(yīng)力σam為

(31)

合力大小Eam為

[(H-y0m)2-(H-H1m)2]+

(32)

式中H1m為墻頂至墻底0應(yīng)力區(qū)的高度，比H略小，主要是由于黏聚力作用導(dǎo)致墻底可能會產(chǎn)生極小部分的零應(yīng)力區(qū)，其值可通過令式(31)為0得到。

當(dāng)ε=δ=0°，cwm=q0=0 kPa，η=1時(滿足朗肯假設(shè))，則式(32)可化為

(33)

此時與朗肯理論所得到的合力公式一致，究其原因，微元受力平衡分析是以前文所推導(dǎo)的張拉裂縫深度y0m及滑裂面βm為前提，而滿足朗肯假設(shè)時，其y0m與βm與朗肯解一致，并且本節(jié)所推導(dǎo)的土拱效應(yīng)作為土層的內(nèi)力分析，僅會改變土壓力分布，并不會改變其合力。

傾覆力矩M為

[(H-y0m)2-(H-H1m)2] 。

(34)

則合力作用點深度ham為

(35)

3 試驗對比驗證

3.1 試驗1

周應(yīng)英等[3]選取模型尺寸為5.5 m×2 m×4.45 m(長×寬×高)的裝土箱進(jìn)行試驗，試驗槽為鋼結(jié)構(gòu)。為保證其剛性要求，在墻背上安置剛弦式和電阻應(yīng)變式壓力盒，自上而下，相間排列，進(jìn)行土壓力的測定，以減小偶然誤差。其他參數(shù)為：γ=14.27 kN/m3，φ=24.3°，δ=21.4°，c=1.472 kPa，cw=0.98 kPa，Sa=3.94 cm，q0=0 kPa，Rf=0.85，ε=0°。圖4為非極限主動土壓力分布理論解與試驗值對比，經(jīng)計算，當(dāng)S=0 cm時，βm=47.74°，y0m=0.21 m；當(dāng)S=3.94 cm時，βm=52.47°，y0m=0.41 m?？梢钥闯?，位移對土壓力分布的影響較大，且均呈非線性分布，而朗肯理論不能考慮位移影響，與試驗值相差較大，本文同時考慮了位移、墻背粗糙、土拱效應(yīng)的影響，所得到的理論解與試驗值能夠大致吻合。

圖4 非極限主動土壓力分布理論解與試驗值[3]對比Fig.4 Comparison of non-limit active earth pressure distribution between theoretical solution and experimental value[3]

3.2 試驗2

楊斌等[4]選取尺寸為1.8 m×0.3 m×1 m (長×寬×高)的試驗箱進(jìn)行試驗。試驗中以20號槽鋼模擬擋墻，以保證其有足夠剛度，并通過擋板上的螺桿控制其墻體位移，在墻背自上而下等間距埋設(shè)振弦式壓力盒對不同工況下土壓力進(jìn)行測定，F(xiàn)2試驗的材料為粉土。試驗參數(shù)為：γ=19 kN/m3，φ=27°，δ=2φ/3，c=13.7 kPa，cw=2c/3，Sa=4 mm，q0=208.2 kPa，Rf=0.85，ε=0°，壓力盒分別埋置在深度y=0.125、0.25、0.375、0.5、0.625、0.75 m處，試驗中給出了不同位移下各壓力盒的測土壓力強度值的平均值，如表1所示，并給出了本文的理論值和朗肯解。需說明的是黏性填土產(chǎn)生裂縫的最大臨界超載值q′=58.3 kPa，q′

表1 不同位移下土壓力理論解與試驗值[4]對比Table 1 Comparison of earth pressure between theoretical solutions and experimental values[4] at different displacements

通過與兩例模型試驗進(jìn)行對比分析，驗證了本文理論公式。但仍然存在一定偏差，主要原因是參數(shù)取值誤差以及模型試驗并不是在半無限空間下開展的。

4 參數(shù)分析

后文在進(jìn)行參數(shù)分析時，如未特殊說明，均按下述取值：φ=35°，δ=2φ/3，δ0=φ/2，γ=16 kN/m3，c=5 kPa，cw=2c/3，Rf=0.85,ε=0°，η=0.5，q0=0 kPa。

4.1 張拉裂縫深度及滑裂面傾角

圖5為非極限狀態(tài)下y0m及βm隨φ、c、δ的變化曲線?？梢钥闯觯S著φ的增大，y0m及βm隨之增大，主要是由于內(nèi)摩擦角增大后，土體維持自身穩(wěn)定的能力得到了加強。y0m隨c的增大而增大，而βm與c無關(guān)，這是由于填土黏聚力增大了土顆粒間的凝聚力，但并不能改變破壞面與水平方向的夾角。隨著δ的增加，y0m增加，而βm減小，并且y0m本文解不小于朗肯解，βm本文解不大于朗肯解，主要是由于墻背非光滑造成的。

圖5 非極限狀態(tài)下y0m及βm隨φ、c、δ的變化曲線Fig.5 Variations of y0m and βm with φ,c,and δ under non-limit state

圖6為非極限狀態(tài)下y0m及βm隨η、ε、cw的變化曲線?？梢钥闯觯S著η的增大，y0m、βm均增加，增長速率逐漸減小，主要原因是位移的增加使得內(nèi)摩擦角得到了充分發(fā)揮，且內(nèi)摩擦角隨位移的增加也是先顯著增加，而后趨于平緩。隨著ε的增加，y0m減小，而βm增加，主要原因是墻背傾角增大，導(dǎo)致墻背對填土的支承作用加強造成的。隨cw的增加，y0m增加，而βm減小，其原因是墻體與填土的黏著力增強使得土體更容易維持穩(wěn)定而直立，則填土塑性區(qū)域更難滑動，即滑裂面傾角變緩。

圖6 非極限狀態(tài)下y0m及βm隨η、ε、cw的變化曲線Fig.6 Variations of y0m and βm with η,ε,and cw under non-limit state

4.2 非極限主動土壓力分布

圖7為不同η、ε下的非極限主動土壓力變化曲線。隨著η的增大，非極限主動土壓力沿墻高同步減小，其原因是擋墻位移增大使得填土內(nèi)部的能量耗散增多，則作用在墻體上的側(cè)土壓力就減小。隨著ε的增加，分布曲線峰值下降，對于仰斜式擋墻，其底部受到的側(cè)土壓力較大，甚至出現(xiàn)凹向分布的可能。

圖7 不同η、ε下的非極限主動土壓力變化曲線Fig.7 Curves of non-limit active earth pressure with different values of η and ε

圖8為不同c、cw下的非極限主動土壓力變化曲線。隨著c的增加，土壓力分布高度及大小均減小，主要是由于填土黏聚力會抵消一部分土壓力的緣故，并且參數(shù)相同時，墻體上部本文解要大于朗肯解，下部本文解要小于朗肯解，其主要原因是土拱效應(yīng)導(dǎo)致了應(yīng)力重分布，而cw對土壓力分布影響甚微。

圖8 不同c、cw下的非極限主動土壓力變化曲線Fig.8 Curves of non-limit active earth pressure with different values of c and cw

圖9為不同φ、δ下的非極限主動土壓力變化曲線。非極限主動土壓力隨φ的增大而減小，主要是由于較大內(nèi)摩擦角的填土只需要更小的外力便能夠維持穩(wěn)定。僅當(dāng)δ=0°時，土壓力才近似呈線性分布，說明墻背是否光滑是土壓力呈非線性分布的關(guān)鍵原因。

圖9 不同φ、δ下的非極限主動土壓力變化曲線Fig.9 Curves of non-limit active earth pressure with different values of φ and δ

4.3 合力作用點深度

圖10為不同η、ε、cw下的合力作用點深度變化曲線。隨著η的增大，合力作用點深度先急劇減小，后趨于平緩，但對于仰斜式擋墻，會出現(xiàn)先減小，后增大的情況，這主要是由于張拉裂縫深度變化造成的。位移相同時，合力作用點深度隨ε的增大而減小，cw對其影響甚微。僅對于墻背傾角較大的俯斜式擋墻在發(fā)生較大位移時，其合力作用點深度才有可能低于朗肯解。

圖10 不同η、ε、cw下的合力作用點深度變化曲線Fig.10 Curves of the position of the resultant force acting point with different values of η,ε,and cw

圖11為不同φ、c、δ下的合力作用點深度變化曲線。合力作用點深度隨φ的增大而減小，當(dāng)墻背較為粗糙時，則會出現(xiàn)先增大后略微減小的情況。合力作用點深度隨δ的增大而上移，且明顯高于朗肯解。合力作用點深度隨c的增大而降低，這是由于c的增大導(dǎo)致了墻頂零應(yīng)力區(qū)范圍增大的緣故。

圖11 不同φ、δ、c下的合力作用點深度變化曲線Fig.11 Curves of the position of the resultant force acting point with different values of φ,δ,and c

5 結(jié) 論

(1)通過虛功原理，推導(dǎo)了一種可同時考慮位移、墻背傾斜且粗糙的黏性填土的張拉裂縫深度及滑裂面傾角的解析式，在此基礎(chǔ)上，考慮了土拱效應(yīng)，得到了傾斜擋墻黏性填土非極限主動土壓力分布、合力大小、合力作用點深度的理論表達(dá)式。當(dāng)滿足朗肯假設(shè)時，朗肯裂縫深度、滑裂面傾角、合力值為其特解，將兩例模型試驗與公式解進(jìn)行了對比，具有較好的一致性。

(2)裂縫深度與φm、cm、δm、cwm、η呈正相關(guān)，與ε呈負(fù)相關(guān)；潛在滑裂面傾角與cm無關(guān)，隨ε、φm、η的增大而增大，而δm、cm對其影響則相反。

(3)墻背光滑時，土壓力近似呈線性分布，合力作用點深度與朗肯解接近；墻背粗糙時，土壓力則呈凸曲線分布，上部本文解大于朗肯解，下部反之，大小隨η、φm、cm的增加而減小，峰值隨ε的減小而有所提高，cwm對其影響甚微合力作用點深度僅在俯斜式擋墻發(fā)生較大位移時才可能低于朗肯解。