用摩擦角巧解靜力學(xué)問(wèn)題

王元立

摘 要：在高中物理競(jìng)賽中常遇到靜力學(xué)問(wèn)題，計(jì)算量比較大，將常規(guī)方法與應(yīng)用摩擦角和全反力解題進(jìn)行比較，便體現(xiàn)應(yīng)用摩擦角解題的優(yōu)勢(shì)。 關(guān)鍵詞：摩擦角；全反力；物體的平衡 什么是摩擦角？當(dāng)兩物體相互接觸，如圖1，接觸面之間有摩擦?xí)r，支持面對(duì)物體具有支持力N和摩擦力f的作用，這兩個(gè)力的合力稱為全反力，其作用線與支持面的垂線即支持力的作用線之間形成的偏角為？漬，當(dāng)達(dá)到臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，偏角j也達(dá)到了最大值？漬m，如圖2所示，全反力與支持力之間夾角的最大值被稱為摩擦角，由圖可知tan ？漬m== μ，？漬m與μ表明物體之間的摩擦性質(zhì)。由摩擦角的定義可以知道，全反力的作用線不可能超出摩擦角之外，必在摩擦角之內(nèi)。因此，一定存在0≤？漬≤？漬m 。 下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明全反力和摩擦角在解決靜力學(xué)問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)。 例題：如圖3所示，質(zhì)量為m的物體恰好能在傾角為α的固定斜面上勻速下滑，如在物體上施加一個(gè)力使物體沿斜面勻速上滑，為了使力取得最小值，這個(gè)力與斜面的傾斜角為多大？這個(gè)力的最小值是多少？ 解：物理情境I：由物體恰好能在斜面上勻速下滑，受力分析如圖4，列方程mg sin a =μ mg cos α可得μ= tan α。 物理情境II：對(duì)物體施加力F，使物體沿斜面勻速上滑，求F的最小值，可有兩種方法。 方法一：數(shù)學(xué)極值法：受力分析如圖5所示，設(shè)力F與斜面之間的夾角為θ，因?yàn)槲矬w是勻速運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，物體所受的合外力為0。列平衡方程如下： 沿斜面方向：F cos θ = mg sin α+f

① 垂直于斜面：F sin θ+N = mg cos α

②

f= μN(yùn)

③ 由①、②、③得： F = mg 要使F取最小值，只要使表達(dá)式取最大值，該表達(dá)式可以表示為： cos θ+μ sin θ = sin （？漬+θ）

④ 其中取sin ？漬 = ，cos ？漬=

由④式可得，當(dāng)時(shí)sin（？漬+θ）=1時(shí)，即？漬+θ= 90°時(shí)，F(xiàn)為最小，此時(shí)tan ？漬= ， ？漬= arctan，即：當(dāng)θ= 90°-？漬= arctan μ =α?xí)r，F(xiàn)具有最小值，其最小值為：F=mgsin（θ+α）=mgsin2a，F(xiàn)= mg =（sin α sin ？漬+ cos α cos ？漬）mg =2 sin α cos ？漬 mg = mg sin 2α 。 方法二：受力分析如圖6所示，物體受重力mg、全反力F反（支持力N與摩擦力f的合力，且摩擦角？漬= arctan = arctan μ= α）和F，相當(dāng)于物體在三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)反、F的合力與mg大小相等方向相反，畫出平行四邊形。從圖上可以看出，當(dāng)F與F反垂直時(shí)，F(xiàn)取最小值，θ= 90°-α-（90°-α-？漬）= α。 則F=mg sin（？漬+α）=mg sin 2α，F(xiàn)與重力的夾角為90°- 2α，與斜面的夾角為θ=90°-α-（90°-α）=α。 點(diǎn)評(píng)：方法一是根據(jù)物體的平衡條件，建立坐標(biāo)系列方程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)思路比較順暢，但是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求很高。方法二引入了全反力與摩擦角，利用三力平衡的知識(shí)做矢量三角形求其最值，有很強(qiáng)的技巧性，數(shù)學(xué)要求低，且容易計(jì)算。兩種方法比較，顯然方法二要簡(jiǎn)單得多。 總之，在解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，恰當(dāng)?shù)厥褂媚Σ两呛腿戳梢云鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?。編?楊 倩