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    基于弗賴登塔爾教育理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

    2021-12-11 05:47:35梁皓森
    關(guān)鍵詞:集合數(shù)學(xué)化再創(chuàng)造

    【摘 要】荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾所提出的數(shù)學(xué)教育特征可概括為“現(xiàn)實化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”。他強調(diào)數(shù)學(xué)教育必須面向社會現(xiàn)實,聯(lián)系生活實際;用數(shù)學(xué)公式表達關(guān)系,數(shù)學(xué)語言描述問題;鼓勵以學(xué)生為主體,實現(xiàn)數(shù)學(xué)過程再現(xiàn),共同探索結(jié)果。本文以“集合”的教學(xué)為例,運用弗賴登塔爾教育理論進行教學(xué),以期為廣大教師提供參考。

    【關(guān)鍵詞】弗賴登塔爾;現(xiàn)實化;數(shù)學(xué)化;再創(chuàng)造;集合

    【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437(2021)28-0242-03

    我國基礎(chǔ)教育目前仍存在一些不足,如部分教師在授課時依然只是單方面的對學(xué)生進行知識的灌輸,而并未讓學(xué)生真正感受知識生成的過程,導(dǎo)致學(xué)生只會死記硬背,對知識不能熟練掌握與運用。美國教育家杜威提出的“做中學(xué)”,同樣認為學(xué)生只有在不斷改造和重新組織中才能夠更好地掌握知識。新課標也提出將雙基(基礎(chǔ)知識、基本技能)改為四基(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗、基本思想),增加基本活動經(jīng)驗、基本思想,就是要更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    1? ?弗賴登塔爾教育理論概述

    弗賴登塔爾將數(shù)學(xué)教育劃分為五個特征:情景問題是數(shù)學(xué)的平臺,數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目標,學(xué)生通過自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分,互動是主要的學(xué)習(xí)方式,學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式[1]。張奠宙先生再次將五個特征概括為“現(xiàn)實化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”[2]。

    現(xiàn)實化是指數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實,存在于現(xiàn)實,并且應(yīng)用于現(xiàn)實,而且每個學(xué)生有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實。教師要尊重學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),即學(xué)生在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)規(guī)律各方面的認識。從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,解決問題。

    數(shù)學(xué)化是指運用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程,是從生活到符號再到概念的轉(zhuǎn)化。

    再創(chuàng)造強調(diào)學(xué)生主動參與知識生成的過程[3],教師只作為引導(dǎo)者,不能強行將知識灌輸給學(xué)生。

    2? ?弗賴登塔爾教育理論在“集合”教學(xué)中的應(yīng)用

    2.1? 集合的概念引入——現(xiàn)實化

    弗賴登塔爾認為數(shù)學(xué)應(yīng)建立在現(xiàn)實生活之上。在集合概念教學(xué)引入時,教師可以體育課老師讓學(xué)生集合為例子,并且讓學(xué)生思考:“當體育老師讓學(xué)生集合的時候,大家第一反應(yīng)是什么?”學(xué)生首先想到的是體育老師讓大家聚攏到一起,將全班學(xué)生進行集合。教師再接著學(xué)生的回答繼續(xù)引導(dǎo):“其實體育課上老師讓學(xué)生集合和數(shù)學(xué)課所學(xué)習(xí)的集合要求是一樣的,就是把研究對象(班級全體學(xué)生)組合在一起稱為一個集合?!?/p>

    教師給出集合的概念:一般的,一定范圍內(nèi),某些確定的、不同的對象全體構(gòu)成一個集合。而集合中每一個研究對象稱為元素(體育課上每一個學(xué)生就是元素)。一般用{}或者大寫字母A,B,C……表示集合,用小寫字母a,b,c……表示元素。

    給出概念后,再反過來檢查體育課進行的集合能否稱為一個集合?一定范圍內(nèi)(整個班級),某些確定的、不同的對象(全體學(xué)生,并且每個學(xué)生都是獨立的個體),所構(gòu)成的集合。那么,顯然體育課上所進行的集合符合數(shù)學(xué)中的集合概念。這樣由學(xué)生生活實際所經(jīng)歷過的事件舉出的實例更能夠讓學(xué)生由已知產(chǎn)生聯(lián)想,激發(fā)其求知欲。

    接著,教師又拋出問題:“是否能夠?qū)⑷EM合成集合?”由此引出集合中元素的確定性。教師再提出問題:“那么由全校女生組成的集合中有多少元素?是否能夠數(shù)出來呢?”由此給出集合中元素的互異性。教師最后給出問題:“在全校女生進集合過程中,有順序嗎?”引出集合中元素的無序性。

    在給出集合三要素后,學(xué)生自行討論五分鐘,舉例出生活中的集合實例。如{影院二號觀影廳內(nèi)所有觀眾},{全年級所有個子高的男同學(xué)},{全校所有教師}。但全年級所有個子高的男同學(xué)不能構(gòu)成一個集合,教師要準確地向?qū)W生解釋清楚(不符合確定性,滿足什么條件才能作為個子高的標準?)。

    在集合概念引入時,不能只照著教材讀,而要貼近生活,從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā),創(chuàng)設(shè)出便于學(xué)生理解的生活情境,讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)來源于生活并且應(yīng)用于生活。

    2.2? 集合之間的關(guān)系及其運算——數(shù)學(xué)化

    這一環(huán)節(jié)是集合章節(jié)中的重難點,學(xué)生在了解集合概念之后,常常將符號混淆,如元素與集合之間用或表示,集合與集合之間用或表示。加上補集、并集、交集、全集的引入,學(xué)生頭腦中沒有清晰的思路,學(xué)習(xí)受阻。下面給出三道例題,運用數(shù)學(xué)思維解決問題。

    (1)已知集合A={x|x2+x?6=0},B={x|ax+1=0},且BA,求a的值。

    解:由已知,得A={?3,2},若B是A的真子集,則B=

    ,或{?3},{2}。

    若B=,方程ax+1=0無解,得a=0。

    若B={?3},方程ax+1=0,得x=?3,a=。

    若B={2},方程ax+1=0,得x=2,a=。

    綜上可得,a=0或a=,a=。

    小結(jié):在已知集合A的情況下,第一步可將其求出,根據(jù)B是A的真子集,可知B集合有三種情況,分別為空集、{?3}、{2},再依次求出a的取值。

    重難點:①了解真子集的定義,如果集合A是集合B的子集,并且集合B不是集合A的子集,那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B,且A不等于B,就說明集合A是集合B的真子集(如圖1)。②明白空集的含義,清楚空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。

    數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸,將文字、符號、圖像進行轉(zhuǎn)化,得到所需要的條件。

    (2)設(shè)全集U={xN+|x≤8},若A∩(CuB)={1,8},(CuA)∩B={2,6}∩(CuB)={4,7},求集合A,B。

    解:由題可畫出圖2。

    得出A={1,8,3,5},B={2,6,3,5}。

    小結(jié):全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},由A∩(CuB)={1,8}可知,在A中且不在B中的元素有1,8;由(CuB)∩B={2,6},可知不在A中且在B中的元素有2,6;由(CUA)∩(CUB)={4,7},可知不在A中且不在B中的元素有4,7;則元素3,5一定在A∩B中。根據(jù)推導(dǎo)畫出圖像,一目了然。

    重難點:了解補集、交集、全集的概念,并能夠靈活運用。

    數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想,將數(shù)學(xué)語言與圖像相結(jié)合,使其能夠在一定條件下相互轉(zhuǎn)化[4]。

    (3)已知全集U=R,非空集合

    命題p:xA,命題q:xB,若q是p的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍。

    解:∵ a2+2a>a,B={x|a

    ①當3a+1>2,即a>時,A={x|2

    ∵ p是q的充分條件,

    ②當3a+1=2時,即a<,A= ,符合題意。

    ③當3a+1<2時,即a<,A={x|3a+1

    由 AB可得,

    上可得,a的取值范圍是。

    小結(jié):解題時需仔細讀題,理解充分與必要條件的區(qū)別,計算時要細心。

    重難點:根據(jù)q是p的必要條件,推出A含于B,再分類討論情況即可。

    數(shù)學(xué)思想:分類討論思想,各個擊破,做到不重

    2.3? 以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)——再創(chuàng)造

    弗賴登塔爾認為反思是數(shù)學(xué)活動的重要一環(huán),是數(shù)學(xué)活動的核心與動力[5]。這一過程通常體現(xiàn)在課堂上,教師引導(dǎo)學(xué)生以(數(shù)學(xué))活動促思維,通過觀察問題,數(shù)學(xué)化思考,探索規(guī)律,得出結(jié)論,發(fā)掘本質(zhì),從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用過程,并通過該過程讓學(xué)生的思維形成創(chuàng)新性的突破、重組和再創(chuàng)造,建構(gòu)起新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。下面給出兩道例題,進行詳細講解。

    (1)下面哪些屬于集合,哪些不屬于集合?為什么?請同學(xué)們一起探討。

    ①所有大開本的書。②某市個子高的男性。③某校高一3班全體學(xué)生。

    設(shè)計思路:學(xué)生分組討論,依據(jù)集合三要素,明確集合與非集合的區(qū)別。

    追問:若將②中的“個子高”換為“170以上”,是否能看作一個集合?

    總結(jié):集合三要素,即無序性、確定性、互異性,是指集合中元素之間的關(guān)系,當且僅當集合中元素滿足三要素時,該集合才能被稱為集合。

    (2)請同學(xué)們按照學(xué)習(xí)小組,小組成員之間互相出題,要求體現(xiàn)出集合中交集與并集的性質(zhì)。

    設(shè)計思路:在了解集合中交集、并集、全集、補集的概念之后,給予學(xué)生探討的時間,利用學(xué)習(xí)小組,讓成員之間進行探討,表達自己的見解。討論結(jié)束之后教師點評,鞏固新知。

    本文將弗賴登塔爾教育理論與實際教學(xué)相結(jié)合,目的在于通過這種教學(xué)方式,讓學(xué)生真正成為課堂的主人,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高教學(xué)質(zhì)量。教師在課堂上靈活運用“現(xiàn)實化”“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”教學(xué)理念,既能豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗,又能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,最終可提升教學(xué)效果,促進學(xué)生發(fā)展。

    【參考文獻】

    [1]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南昌:江西教育出版社,1991.

    [3]弗賴登塔爾,陳昌平.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1995(2).

    [4]李萍.尋找數(shù)學(xué)與生活的交集[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報,2017(4).

    [5]陳思曼.弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想探析[J].廣西科技師報,2020(2).

    【作者簡介】

    梁皓森(1996~),男,漢族,四川綿陽人,喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院學(xué)科數(shù)學(xué)專業(yè)2020級碩士研究生。

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