“數(shù)學(xué)分析”課程中冪級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題求解的探討

楊婷梅　龍能

【摘 要】數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，其邏輯性、理論性很強(qiáng)。數(shù)學(xué)分析這門課程，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。本文主要探討了數(shù)學(xué)分析課程中冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，總結(jié)歸納，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析;冪級(jí)數(shù);收斂性問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0009-02

在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，有一類結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、應(yīng)用非常廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)。對(duì)于冪級(jí)數(shù)的研究主要討論其和函數(shù)的分析性質(zhì)，以及將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的條件和展開公式，本文主要討論冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題。

1? ?冪級(jí)數(shù)的基本定義和定理

不妨把形如anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...的冪級(jí)數(shù)記為“標(biāo)準(zhǔn)型”冪級(jí)數(shù)。顯然，該冪級(jí)數(shù)在x=0收斂，對(duì)于冪級(jí)數(shù)在非0點(diǎn)的斂散性，由以下定理判斷：

定理1（阿貝爾第一定理）：

（1）若冪級(jí)數(shù)anxn在x0≠0收斂，則冪級(jí)數(shù)在都絕對(duì)收斂。

（2）若冪級(jí)數(shù)在x1≠0發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)在都發(fā)散。

定理2：若給出冪級(jí)數(shù)anxn=a0+a1x+a2x2+...

anxn+...，則其收斂半徑為，其中an為前一項(xiàng)的系數(shù)，an+1為后一項(xiàng)的系數(shù)[1]。

利用該定理可求解標(biāo)準(zhǔn)型的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，從而得到收斂區(qū)間。對(duì)于一般型的冪級(jí)數(shù)可換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型求解，但對(duì)于形如anx2n，anx2n+1等有缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)時(shí)，則采用以下定理求解。

定理3：在冪級(jí)數(shù)anxn有缺項(xiàng)的情況下，采用比值法求收斂半徑，即令，求解得到?r

對(duì)于在收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)anxn和函數(shù)的求解，主要有兩種情況。先判斷冪級(jí)數(shù)的系數(shù)an為整式還是分式，若為整式，可對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，得到關(guān)于變量x的函數(shù)，再左右微分;若為分式，則對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分，再左右積分，從而得到在收斂區(qū)間上的和函數(shù)[2-5]。

2? ?案例分析

例1：求冪級(jí)數(shù)n2xn?1的收斂域與和函數(shù)。

思路分析：通過(guò)定理2求收斂半徑，由于系數(shù)an為整式，先逐項(xiàng)積分，再微分求解出和函數(shù)。

解：an=n2，an+1=（n+1）2，則收斂半徑為

。

當(dāng)x=?1時(shí)，級(jí)數(shù)n2xn?1=（?1）n?1n2發(fā)散，當(dāng)x=1時(shí)，n2xn?1=n2發(fā)散，故收斂域?yàn)閤（?1，1）。

設(shè)該冪級(jí)數(shù)收斂于和函數(shù)S（x），則有

S（x）=n2xn?1=1+4x+9x2+16x3+...

對(duì)和函數(shù)S（x）逐項(xiàng)積分，有

，

即S（x）dx=。

對(duì)上式左右兩邊微分，則

，

即S（x）?S（0）=，且S（0）=0，故和函數(shù)為S（x）=，x（?1，1）。

例2：討論冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)。

思路分析：該題冪級(jí)數(shù)缺偶次冪的項(xiàng)，可用比值法求收斂半徑，再討論在兩端點(diǎn)的斂散性，得到收斂域。由于系數(shù)an為分式，因此可逐項(xiàng)微分，再積分得到該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

解：已知un（x）=，un+1（x）=，

令，

∴ ?1

當(dāng)x=?1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，

當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，即該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1）。

設(shè)該冪級(jí)數(shù)收斂于和函數(shù)S（x），則有

S（x）==…

對(duì)和函數(shù)S（x）逐項(xiàng)微分，

S'（x）==x2n=1+x+x2+x3+…

=，

即S'（x）=。

對(duì)上式左右兩邊從0到x積分，得

S（x）?S（0）=，S（0）=0，

故和函數(shù)為S（x）=，x（?1，1）。

通過(guò)系數(shù)求解標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑，或者將所給冪級(jí)數(shù)換元為標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)于有缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)可以采用比值法，得到收斂區(qū)間（?r，r），然后考慮端點(diǎn)處級(jí)數(shù)的斂散性，從而得到級(jí)數(shù)anxn的收斂域。求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，若冪級(jí)數(shù)的系數(shù)an為整式，先逐項(xiàng)積分，再微分;若冪級(jí)數(shù)的系數(shù)an為分式，先逐項(xiàng)微分，再積分。對(duì)本節(jié)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和掌握情況，有針對(duì)性地選擇教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括、歸納、總結(jié)，才能使學(xué)生的解題能力得以提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉璉等編.數(shù)學(xué)分析講義.下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，

2008.

[2]邱云蘭.冪級(jí)數(shù)收斂性以學(xué)定教模式的研究[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2018（12）.

[3]呂端良，王云麗.廣義冪級(jí)數(shù)收斂域的求法[J].科技信息，

2013（17）.

[4]蔣國(guó)強(qiáng).一類冪級(jí)數(shù)收斂半徑的統(tǒng)一求法[J].高等函授學(xué)報(bào)

（自然科學(xué)版），2003（3）.

[5]劉洋.冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的求解探討[J].數(shù)理化解題研究，2020（6）.

【作者簡(jiǎn)介】

楊婷梅（1991～），女，廣東化州人，碩士，助理講師。研究方向：常微分方程的理論與應(yīng)用。

龍能（1992～），女，廣東茂名人，碩士，助理講師。研究方向：常微分方程的理論與應(yīng)用。

*基金項(xiàng)目：本文系茂名市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度研究項(xiàng)目“運(yùn)用數(shù)學(xué)分析‘微教學(xué)培養(yǎng)高職高專學(xué)生創(chuàng)新能力的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：mjy2020023）研究成果。