定積分在解析變力做功問題中的應(yīng)用

【摘 要】從物理學(xué)角度來看，變力做功問題在解答過程中較為復(fù)雜。為了進(jìn)一步提升解題效率，本文從定積分的角度出發(fā)，結(jié)合物理學(xué)做功問題的實(shí)際解答需求進(jìn)行綜合分析，闡述了定積分的基礎(chǔ)概念以及幾何背景，從微元法的角度解答變力做功問題。意在進(jìn)一步提升解答物理實(shí)際問題的可操作性，同時為定積分在解答物理抽象問題中的應(yīng)用提供參考

依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】定積分;物理學(xué);變力做功問題

【中圖分類號】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0007-02

在物理教學(xué)中為學(xué)生提供基礎(chǔ)的解題理論，能夠在提高解題準(zhǔn)確性的同時，為學(xué)生解答復(fù)雜問題奠定基礎(chǔ)。在物理學(xué)的教學(xué)過程中，解答變力做功問題一直都是教學(xué)重點(diǎn)，同時也是學(xué)生在解題過程中存在較多問題的部分，而定積分理論是建立在高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)性解題理論，能夠有效反映幾何意義，將其應(yīng)用于解答物理學(xué)中的復(fù)雜問題，能夠取得較好的效果。因此，分析定積分的基礎(chǔ)概念以及幾何背景，探究其在物理學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，不僅是本文論述的重點(diǎn)，也是進(jìn)一步提升物理教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

1? ?定積分理論的基礎(chǔ)概念及幾何背景

從基礎(chǔ)概念角度來看，定積分是積分的一種表達(dá)形式，是函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，d]上積分和的極限，定積分往往是由一個具體數(shù)值表現(xiàn)出來的。定積分最先出現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材中，是通過分析曲邊梯形面積的求解以及變速直線運(yùn)動路程等案例之后整合出來的學(xué)習(xí)理論，構(gòu)建了定積分的基礎(chǔ)知識背景[1]。

教學(xué)研究表明，定積分在物理學(xué)中也有一定的應(yīng)用，如物理學(xué)中的變力做功以及轉(zhuǎn)動慣性等問題都可以利用合適極限進(jìn)行求解。這也就是定積分體系中的微元法，是建立在分割、取近似值、求和以及取極限的基礎(chǔ)上的。

2? ?定積分在物理變力做功問題中的實(shí)際應(yīng)用

從物理學(xué)的角度來講，變力做功問題有不同的類型。因此在解答的過程中，筆者選取了不同的例題進(jìn)行針對性分析，結(jié)合每一種做功的實(shí)際情況，利用定積分的微元法進(jìn)行解答。

2.1? 微元法在摩擦力做功問題中的應(yīng)用

例1：一個物體在光滑的水平面上沿著OX軸的正前方行進(jìn)，水平面的摩擦系數(shù)不相同，因此，水平面在物體行進(jìn)過程中產(chǎn)生的摩擦力是變力，已知水平面中某一段的摩擦力數(shù)值大小會跟隨坐標(biāo)x的變化而變化，其規(guī)律為 f=1+x（x>0），那么當(dāng)x=0至x=4米這一段路程中，摩擦力做功的大小是多少？

在利用微元法進(jìn)行解答時，首先根據(jù)給出的問題，已知摩擦力本身是一個變力，會隨著x的變化而變化，那么就不能代入原有的直線運(yùn)動做功公式。原有的做功公式中F本身是恒力，它的方向以及大小是不變的，在該問題中摩擦力的實(shí)際數(shù)值為變力 f=1+x，物體正沿著OX軸的正前方運(yùn)動，那么設(shè)定其位移元為dx→0，那么摩擦力是與該方向相反的，因此是負(fù)值。力和位移方向之間的夾角設(shè)置為α=π，cosα=cosπ=?1，因此可以在物體運(yùn)動正方向的區(qū)間內(nèi)任意選取一個區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)，其運(yùn)動的力可以充當(dāng)為恒力做功，那么摩擦力所做的元功表達(dá)方式為dA= fcosαdx=?（1+x）dx，因此物體在0至4米這段路程運(yùn)動中，其摩擦力做功為：

由于該物體在運(yùn)動過程中受到摩擦力影響，所做的功為負(fù)，那么最終的答案為12 J。

2.2? 微元法在彈力做功問題中的應(yīng)用

例2：拉伸一個彈簧，在這個過程中需要用到的力和彈簧的伸長數(shù)值呈正比關(guān)系，可以利用F=kx進(jìn)行表達(dá)，這其中的k為比例系數(shù)?，F(xiàn)在已知彈簧被拉長的數(shù)值為

20 厘米，那么需要用的力為1 N，若想讓彈簧的長度伸長至60 厘米，那么所要用的外力做功數(shù)值為多少？

首先根據(jù)給出的問題進(jìn)行分析，由于彈簧在拉長期間，彈力會隨著伸長量變化，同時與x是正比關(guān)系，那么可以將其代入公式F（x）=kx，可以得出 f（x）為5x。從邏輯分析角度來看，由于彈性力是存在連續(xù)變化的函數(shù)，那么從物理學(xué)角度來講，這是一種變力，可以利用定積分的定義法進(jìn)行判斷。在一個微小區(qū)間中， f 可以作為常量處理，并且沿著彈簧拉伸的方向，將其設(shè)置為x軸的正方向，可以將x作為積分變量，則x所在的區(qū)間為[0，0.6]。

然后在這個區(qū)間中，分化成n個不同的小區(qū)間，并且在每一個小區(qū)間中任意選擇一點(diǎn)，能夠得出F（x）= f（ξi），分析每一個小區(qū)間中移動的力所做的功，并且將其視為恒力作用在直線上的功，此時若將每一個區(qū)間上的點(diǎn)定義為ξi，那么代入公式之后可以得出近似值。然后再通過和式極限值，利用定積分進(jìn)行求解：

2.3? 微元法在電場力做功問題中的應(yīng)用

從物理學(xué)角度來看，電場力做功問題是學(xué)生在中學(xué)階段學(xué)習(xí)到的變力做功問題。從客觀條件來看，勻強(qiáng)電場內(nèi)帶電粒子或者物體正處于移動狀態(tài)時，它們產(chǎn)生的恒定電場力對該物體或者粒子所做的功，往往可以直接套用電場力做功公式來求解。但是在當(dāng)前高等物理學(xué)電學(xué)領(lǐng)域中，電場力做功問題面臨的條件較為復(fù)雜，無法套用原始的電功公式求解，因此可以建立在其運(yùn)動規(guī)律以及客觀條件的基礎(chǔ)上，利用定積分的微元法求解[2]。

例3：在r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O上，有一點(diǎn)電荷，其場源電荷帶電量為+q，它自身產(chǎn)生了一個電場，現(xiàn)一電量值為+q0

的檢驗(yàn)電荷在這個電場中沿著r軸的正方向，從a點(diǎn)移動到b點(diǎn)，那么電力場對它所做的功為多少？

針對這樣的問題，首先可以得出檢驗(yàn)電荷在從a點(diǎn)向b點(diǎn)移動期間，受到的電力場為變力，同時由于該檢驗(yàn)電荷是在r軸沿著正方向進(jìn)行移動的，因此r可以定位為積分變量，在這個變量中，對變化區(qū)間進(jìn)行分割之后選取任意一個小區(qū)間，并且根據(jù)其實(shí)際的數(shù)值變化情況建立坐標(biāo)系。

可以在每一個小坐標(biāo)區(qū)間內(nèi)，將電力場對該移動電荷所做的功看作是一個恒力，并且將其定義為dA，然后將其代入公式：

其中k為靜電力常數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)。

接下來將得出的dA值疊加起來，利用定積分計(jì)算求解，代入公式：

2.4? 微元法在氣體膨脹或壓縮功問題中的應(yīng)用

在一個密閉的容器中，氣體在壓縮或者膨脹狀態(tài)下，隨著氣體壓強(qiáng)的改變，作用在活塞上的壓力也會變化，為了確?；钊軌蚴冀K維持平衡狀態(tài)，需要外加力推動活塞，對氣體做功，這便是氣體膨脹或者壓縮狀態(tài)下做功的相關(guān)問題。在該種條件下，不能套用原有的壓力做功公式，可以根據(jù)定積分微元法，將這種變力做功的條件轉(zhuǎn)化成為恒力做功條件，可以在選定區(qū)間內(nèi)將其分割為不同的小區(qū)間，然后通過小區(qū)間內(nèi)恒力做功求解、疊加求和的方式，利用定積分進(jìn)行解答。

例4：在一個面積為s的圓柱形容器中，存有一定量的氣體，通過等溫膨脹之后，容器瓶口底面積為S的活塞從a點(diǎn)被推到了b點(diǎn)，求在這個過程中氣體壓力所做的功。

首先，根據(jù)給出的條件可知，在氣體膨脹期間壓強(qiáng)的變化是變力，但是底面積是恒定的，利用壓強(qiáng)公式能夠得出氣體作用在活塞上的壓力會隨著壓強(qiáng)的變化而變化，同時氣體膨脹區(qū)間劃分成為n個小區(qū)間之后，會沿著活塞推動的方向做功，由此可將活塞運(yùn)動的方向設(shè)置為x軸正方向，這其中的x為變量，在整體運(yùn)動區(qū)間中選取任意一個小區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)氣體的變化壓強(qiáng)可以看作是恒力，接下來建立在容器內(nèi)部氣體當(dāng)前所處的物質(zhì)量（μ）、溫度（T）、普適氣體常量（R）的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合分析。將所選定小區(qū)間中所對應(yīng)的微元dx代入公式：

然后利用定積分對活塞從a向b運(yùn)動過程中產(chǎn)生的所有氣體壓力A進(jìn)行求解，將上述微元的數(shù)值疊加起來，便能夠得出總功：

綜上所述，定積分微元法在物理變力做功問題中具有一定的應(yīng)用價值，可以通過區(qū)間分割、近似值定位、求和以及極限值定位的方式，簡化物理變力做功問題的解答流程，能夠進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對變力做功問題的掌握程度。與此同時，教學(xué)研究和實(shí)踐表明，微元法也可以應(yīng)用在物理的力學(xué)以及電磁學(xué)等領(lǐng)域，能夠全面提高高等物理學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，同時可以推進(jìn)物理學(xué)和數(shù)學(xué)的融合，對于提升學(xué)生的綜合解題能力和知識體系掌控能力有一定的促進(jìn)作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳曉輝，李闊.定積分在幾何、物理學(xué)中的簡單應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2018（1）.

[2]梁金榮，王善勤.定積分在解析變力做功問題的應(yīng)用研究[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報，2018（12）.

【作者簡介】

劉莉（1985～），女，漢族，河北淶源人，碩士，講師。研究方向：高職數(shù)學(xué)。