基于改進(jìn)馬爾可夫模型的深基坑沉降預(yù)測研究

摘 ?要：針對傳統(tǒng)馬爾可夫模型存在隨機(jī)擾動(dòng)和可靠性比較低的缺點(diǎn)，該文建立了基于改進(jìn)馬爾可夫模型。該模型先用無偏灰色模型擬合系統(tǒng)的總體變化趨勢，然后對擬合殘差進(jìn)行馬爾可夫狀態(tài)劃分，進(jìn)而對轉(zhuǎn)移矩陣?yán)脵?quán)重進(jìn)行加權(quán)處理，最后得到加權(quán)后的馬爾可夫模型，利用此模型對基坑沉降進(jìn)行預(yù)測研究。將該模型用于深基坑沉降預(yù)測工程實(shí)例，實(shí)例結(jié)果表明：基于改進(jìn)馬爾可夫模型解決了深基坑沉降預(yù)測的隨機(jī)擾動(dòng)，同時(shí)也增加了預(yù)測模型的可靠性，有效提高了深基坑中、長期預(yù)測的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：灰色模型 ? 無偏灰色 ? 改進(jìn)馬爾可夫 ? 狀態(tài)區(qū)間 ? 深基坑沉降預(yù)測

中圖分類號(hào)：T73 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）08（c）-0034-04

Study on Settlement Prediction of Deep Foundation Pit Based on Improved Markov Model

LYU Xianmeng

（Fuzhou Investigation and Surveying Institute， Fuzhou， Fujian Province， 350100 ?China）

Abstract： Aiming at the shortcomings of traditional Markov Model， such as random disturbance and low reliability， an improved Markov Model is established in this paper. Firstly， the unbiased grey model is used to fit the overall change trend of the system， and then the fitting residual is divided into Markov states. According to the weight of each order， the transfer matrix of different steps is weighted， and the weighted Markov Model is used to predict. The model is applied to the engineering example of deep foundation pit settlement prediction. The results show that the Improved Markov Model solves the random disturbance of deep foundation pit settlement prediction， increases the reliability of prediction model， and effectively improves the stability of medium and long-term prediction of deep foundation pit.

Key Words： Grey model; Unbiased grey; Improved Markov Model; State interval; Settlement prediction of deep foundation pit

隨著城市建設(shè)進(jìn)度的日益加快，深基坑沉降預(yù)測對確保工程的順利進(jìn)行尤為重要。深基坑的沉降預(yù)測傳統(tǒng)的方法有灰色系統(tǒng)理論[1]、小波分析法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]和時(shí)間序列法[4]等。馬爾可夫鏈適用于處理隨機(jī)波動(dòng)較大的序列[5]，灰色模型可以擬合系統(tǒng)的整體發(fā)展趨勢[6]?；疑R爾可夫模型取兩者優(yōu)點(diǎn)，提高了沉降預(yù)測的精度，并在深基坑沉降預(yù)測中具有很好的效果。但此方法的缺點(diǎn)是隨著時(shí)間的推移，老數(shù)據(jù)的新息意義將逐步降低，未來的一些抗干擾因素將不斷地侵入系統(tǒng)并產(chǎn)生影響，模型的精度會(huì)降低，不利于中、長期深基坑沉降預(yù)測。該文采用基于改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測模型是在馬爾可夫模型上進(jìn)行的模型改進(jìn)，利用無偏灰色模型建模步驟簡單、模型計(jì)算速度快等特點(diǎn)，用無偏灰色模型預(yù)測基坑時(shí)間序列的總體變化趨勢，消除傳統(tǒng)灰色模型對指數(shù)序列建模中的固有偏差。為進(jìn)一步提高深基坑沉降預(yù)測的預(yù)測精度，對轉(zhuǎn)移矩陣加權(quán)處理，用改進(jìn)后的馬爾可夫模型進(jìn)行預(yù)測。

1 ?基于改進(jìn)的馬爾可夫預(yù)測模型

1.1 建立加權(quán)馬爾可夫模型

計(jì)算各階權(quán)重wk和自相關(guān)系數(shù)rw。

為了正確反映各階（各種步長）對馬爾可夫鏈預(yù)測值的影響權(quán)重，權(quán)值大小采用灰擬合精度指標(biāo)Y（k）的各階自相關(guān)系數(shù)來反映，即

（1）

對各階自相關(guān)系數(shù)作歸一化處理，得到各階權(quán)重：

（2）

對不同步長的轉(zhuǎn)移矩陣按所求取的權(quán)重大小進(jìn)行加權(quán)處理，進(jìn)而求得到新的概率分布，具體如下：

（3）

由式（2）可求取在狀態(tài)空間E中的所有狀態(tài)的概率值，由這些狀態(tài)的概率值進(jìn)一步形成新的概率分布P={pi│i∈E}。

1.2 預(yù)測值的計(jì)算求取

系統(tǒng)未來狀態(tài)的轉(zhuǎn)向Ei由pi中最大的概率值來確定，進(jìn)一步求取預(yù)測值的變動(dòng)區(qū)間[E1i，E2i]，由預(yù)測值的變動(dòng)區(qū)間的中點(diǎn)值即為預(yù)測值，具體如下：

（4）

2 ?實(shí)例驗(yàn)證分析

案例選自某地基坑監(jiān)測工程“Z70”監(jiān)測點(diǎn)觀測值。將監(jiān)測點(diǎn)觀測數(shù)據(jù)的前28期為樣本，進(jìn)行模型構(gòu)建，進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測值與后4期數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，驗(yàn)證該文提出的改進(jìn)馬爾可夫模型在深基坑沉降預(yù)測研究中的有效性。

基坑沉降具有先快后慢的特點(diǎn)，即在剛開始的一段時(shí)間內(nèi)基坑沉降的速度比較快，但隨著時(shí)間的推移，基坑沉降速度會(huì)逐漸變緩。結(jié)合該基坑的實(shí)際情況，對需要建模的前28期的基坑沉降數(shù)據(jù)，利用平均緩沖算子進(jìn)行預(yù)處理：

（5）

由上式計(jì)算可得：

根據(jù)無偏預(yù)測模型定義，求，可知：A=15.95312083894797，E= 0.01578644418077761。代入式（7）可知無偏灰色預(yù)測模型為：

（8）

根據(jù)無偏灰色擬合殘差來劃分為劃分3種狀態(tài)區(qū)間，具體情況見表1。選取相對誤差閾值分別為0.90、0.95、1.03和1.08，可得：

狀態(tài)1：E11=0.90×E21=0.95×

狀態(tài)2：E12=0.95×E22=1.03×

狀態(tài)3：E13=1.03×E23=1.08×

根據(jù)相對誤差的閾值可得到系統(tǒng)的狀態(tài)一次轉(zhuǎn)移次數(shù)統(tǒng)計(jì)表，具體見表2。

由表2得一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

（9）

利用切普曼-科爾莫哥方程，計(jì)算求取得2階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和3階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

（11）

由式（1）求取各階自相關(guān)系數(shù)分別為：r1=0.86，r2=0.70，r3=0.53。

由式（2）進(jìn)行歸一化處理，求取各階權(quán)重分別為：w1=0.41，w2=0.34，w3=0.26。則整個(gè)深基坑沉降預(yù)測的過程參數(shù)見表3。

對表3中各狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行加權(quán)求和，得到需求量的各狀態(tài)概率：p1=0.74，p2=0.23，p3=0.0146。故max（p1，p2，p3）=p1=0.74，分別利用無偏灰色預(yù)測模型和改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測模型依次求取第29期、30期、31期和第32期的改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測值。將29～32期的實(shí)測值與灰色預(yù)測值和改進(jìn)馬爾可夫基坑沉降預(yù)測值進(jìn)行比較，相對誤差具體見表4。

3 ?結(jié)語

該文在傳統(tǒng)的深基坑沉降預(yù)測模型的理論基礎(chǔ)上，提出基于改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測模型，消除傳統(tǒng)灰色模型對指數(shù)序列建模中的固有偏差。將此方法應(yīng)用到深基坑沉降預(yù)測中取得了比較滿意的結(jié)果，結(jié)論如下。

（1）灰色預(yù)測模型自身最大的特點(diǎn)就是可以通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測，這種特點(diǎn)使得灰色模型廣泛的應(yīng)用于基坑沉降預(yù)測中來。但是灰色系統(tǒng)自身存在的一些缺點(diǎn)制約了其更深層次的運(yùn)用，會(huì)導(dǎo)致預(yù)測模型的穩(wěn)定性不足和預(yù)測結(jié)果精度降低。

（2）該文通過利用改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測模型進(jìn)行深基坑沉降預(yù)測實(shí)例驗(yàn)證，通過結(jié)果進(jìn)行對比分析可知，改進(jìn)馬爾可夫預(yù)測模型可以提高深基坑沉降預(yù)測的精度。

（3）通過選取相對誤差進(jìn)行對比分析，可以看出改進(jìn)馬爾可夫模型預(yù)測精度明顯高于傳統(tǒng)灰色模型和無偏灰色模型，在長時(shí)間、多周期的基坑沉降預(yù)測中是一種實(shí)用且有效的方法。

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作者簡介：呂賢錳（1986—），男，本科，中級(jí)工程師，研究方向?yàn)槌鞘泄こ虦y量。