一類非局部高維拋物系統(tǒng)解的爆破分析

歐陽柏平，肖勝中

（1.廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 511300；2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東廣州 510507）

考慮下面反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的全局存在性和爆破問題

其中，Ω是Rn(n≥3)中具有光滑邊界?Ω的一個有界凸區(qū)域，▽是梯度算子，t*＜∞是爆破發(fā)生時間，否則表示u，v在?Ω上的外法向量導(dǎo)數(shù).

近幾十年來，有關(guān)反應(yīng)擴(kuò)散問題解的爆破研究已經(jīng)有很多的成果［1-12］.早期的成果其研究的邊界條件和空間維數(shù)主要是齊次和Robin邊界條件以及R3空間.之后，有學(xué)者把邊值條件推廣到一般的非線性邊界條件下分析.隨著研究的進(jìn)一步深入，具有時變或空變系數(shù)的局部和非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程和系統(tǒng)解的爆破問題成為了目前的研究熱點(diǎn).一般而言，研究其解的爆破和不爆破等性態(tài)問題必須處理好初邊值條件、空間維數(shù)、時變或空變系數(shù)、局部或非局部項(xiàng)以及非線性項(xiàng)等要素.近年來，由于非局部的反應(yīng)擴(kuò)散問題比局部的情況更接近實(shí)際，因而其解的爆破研究更受學(xué)者們重視.但是由于局部的反應(yīng)擴(kuò)散理論和方法不能直接用于非局部情況，因而存在不少困難.有關(guān)解的上下界的估計(jì)，目前上界的估計(jì)方法較多，而下界的方法較少.在實(shí)際中，當(dāng)爆破發(fā)生時精確的推出解的爆破時間是非常困難的，故將問題轉(zhuǎn)化為估計(jì)解的爆破時間的上下界.在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，下界的研究是一個很重要的方向，其應(yīng)用已經(jīng)涵蓋天文、物理、化學(xué)、生物、航天等領(lǐng)域［13-14］.

文獻(xiàn)［1］研究了如下反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破問題

運(yùn)用最大值原理和相關(guān)的微分不等技巧，得到了Robin條件下解的爆破和不爆破條件以及爆破發(fā)生時解的爆破時間的上下界估計(jì).

文獻(xiàn)［2］研究了如下反應(yīng)擴(kuò)散拋物系統(tǒng)爆破問題

在非線性邊界條件下作者得到了高維空間上解的爆破條件以及爆破發(fā)生時解的爆破時間的上界和下界估計(jì).

文獻(xiàn)［10］考慮了如下反應(yīng)擴(kuò)散方程解的爆破現(xiàn)象

其中，Ω?Rn n≥1.運(yùn)用相關(guān)的微分不等式技巧得到了全空間上解的爆破時間的下界估計(jì).

文獻(xiàn)［11］研究了如下具有時變系數(shù)的弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的爆破問題

Dirichlet邊界條件下，推出了解的爆破條件同時得到了在2種不同測度下Rn n≥3上解的爆破時間的下界估計(jì).

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，研究問題（1）在非線性邊界條件下Rn n≥3上解的全局存在性和爆破發(fā)生時爆破時間界的估計(jì).目前為止，尚未有論文研究關(guān)于問題（1）的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的爆破問題.旨在希望通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪芰糠汉o之以適當(dāng)?shù)募s束條件合理的處理高維空間、時變系數(shù)、非局部項(xiàng)、吸收項(xiàng)以及非線性邊界條件等對解的爆破影響.

1 預(yù)備知識

引理1［9］設(shè)Ω是Rn n≥3上的有界凸區(qū)域，則對于u∈C1(Ω)，s＞0，有

其中，

其中，dA表示面積元.

引理2［15］Sobolev不等式

2 爆破時間的下界

設(shè)

其中，l

另外假設(shè)函數(shù)f i(ξ)，g i(ξ)，ρ(|▽ξ|2)i=1，2滿足以下兼容性條件

其中，ξ≥0，s i＞1，α＞2s1-1，β＞2s2-1，b i＞0.

結(jié)論：

定理1設(shè)u(x，t)，v(x，t)為問題（1）和式（4）～（5）在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解，則式（4）定義的能量泛函滿足

由此推出爆破時間t*的下界估計(jì)為

其中，K3，K i(t)i=4，5，6，7，ξi i=1，2，3，4，c~，Θ均在后面定義，Θ-1為Θ的反函數(shù).

證明對式（4）中φ(t)求導(dǎo)數(shù)且利用式（5），可以推出

利用H?lder不等式和Young不等式，散度定理和式（5），可以推出

由式（7），可得

類似的推導(dǎo)，有

將H?lder不等式和Young不等式應(yīng)用于式（6）右邊第三項(xiàng)和第六項(xiàng)，分別得

將式（8）～（11）代入到式（6），得到

對于式（12）右邊第三項(xiàng)和第九項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

又由式（4）～（5）可知，

結(jié)合式（12）～（15），得到

選擇合適的ε3，ε4，使得于是，有

對于式（17）右邊第二項(xiàng)，利用式（3）以及H?lder不等式和Young不等式，可以推出

同樣可得，

聯(lián)立式（17）～（21），可以推出

其中，

選擇合適的ε1，ε2，ε5，ε6，ε7，ε8，使得M1≤0，M2≤0.結(jié)合式（15），有

設(shè)

其中，K(t)=1+K4(t)c~-ξ1+K5(t)c~-ξ2+K6(t)c~-ξ3+K7(t)c~-ξ4.

對式（23）從0到t*積分，可得

又ξi＞1i=1，2，3，4，所以式（25）右邊積分存在.由式（24）Θ(t*)定義易知其為單調(diào)遞增函數(shù)，故

其中，Θ-1是Θ的反函數(shù).

證畢.

3 爆破時間的上界

設(shè)

其中，p，r＞1，l，m≥0，0≤h(ξ)≤ξ，0≤f(ξ)≤ξ，ξ≥0.

定理2設(shè)u(x，t)，v(x，t)為問題（1）和式（27）在有界凸區(qū)域Ω的經(jīng)典的非負(fù)解.函數(shù)f i(ξ)，g i(ξ)，ρ(|▽ξ|2)，k i(t)i=1，2以及φ(0)滿足如下兼容性條件0＜f1(ξ)≤ξα，0＜f2(ξ)≤ξβ，ρ(|▽ξ|2)≥0，g i(ξ)≥0，ξ≥0，p＞

則式（27）中定義的能量泛函滿足

從而可得爆破時間t*的上界為

證明由式（27），利用散度定理，H?lder不等式和Young不等式以及式（28），對φ(t)求導(dǎo)數(shù)，得

又由式（28）可以推得，?t≥0，有

事實(shí)上，取

則有

從式（29）和（32）可知φ'(t)＞0 0＜t＜t1.從而有，φ(t1)＞φ(0).故c S1φ(t)ζ-S2＞0，矛盾.

從0到t積分式（30），可得

式（33）表明φ(t)測度下u，v會在某個時刻t*爆破，也就是說，

若u，v在φ(t)測度下在某個時刻t*不發(fā)生爆破，則

由此可推出

當(dāng)t→+∞時，式（34）兩邊取極限，得到

這是一個矛盾.

故φ(t)測度下u，v的上界估計(jì)如下

4 全局存在性

設(shè)

定 理3若u(x，t)，v(x，t)為 問 題（1）和 式（36）在 有 界 凸區(qū) 域Ω的 經(jīng) 典 的 非 負(fù) 解.函 數(shù)f i(ξ)，g i(ξ)，ρ(|▽ξ|2)i=1，2滿足以下兼容性條件

其中，ξ≥0，b i＞0，s i＞1，α＞max{2s1-1，p+ql，r+sm}，β＞max{2s2-1，p+ql，r+sm}，則φ(t)測度下問題（1）的解在任何有限時間都是有界的，也即問題（1）的解是全局存在的.

證明對φ(t)求導(dǎo)數(shù)，得

其中，=min{a1，a2}.

估計(jì)式（38）右邊的第二項(xiàng)和第五項(xiàng).利用式（7）～（9）推導(dǎo)，易得

取恰當(dāng)?shù)摩?，ε2，使得r3≤0，λ3≤0.聯(lián)立式（38）～（40），有

又由H?lder不等式和Young不等式，可以推出

取ξ=max{p+ql，r+sm，2s1-1}，ζ=max{p+ql，r+sm，2s2-1}，將式（42）～（43）代入到式（41），得到

對于式（44）右邊第一、二、四項(xiàng)，利用H?lder不等式，可以推得

由式（44）～（45），有

利用式（45），易得

又由式（36）～（37），可得

其中，~=max{c1，d1}.

結(jié)合式（46）～（48），可以推出

又因?yàn)?-ξ~＞0，ζ~-1＞0，所以由式（49）易推知在φ(t)測度下u，v是全局存在的.實(shí)際上，假設(shè)存在某個t*爆破，也就是

由式（49），得φ'(t)≤0，?t∈[t0，t*).由此得到φ(t)≤φ(t0).當(dāng)t→(t*)-時取極限，有

矛盾.

證畢.