貼近實(shí)際情境 促進(jìn)素養(yǎng)提升
——中職數(shù)學(xué)《拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)設(shè)計(jì)之我見

◎李如江 周 兵 (江蘇省濱海中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 鹽城 224000)

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要求學(xué)生能在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，并能用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá).特別是對(duì)于斜上拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡這個(gè)例子，顧名思義，拋物線這個(gè)名字也正由此而來，這些情境中的拋物線是開口向下的.為此，筆者認(rèn)為先推導(dǎo)開口向下的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該更合情合理.

下面筆者就以本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)介紹一下自己的做法.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：情境引入

播放投籃視頻和彩虹、橋拱、二次函數(shù)的圖像等.

師：上面抽象出的曲線是什么曲線？

生：拋物線.

環(huán)節(jié)二：探究建構(gòu)定義

問題1 拋物線的定義是什么？

師：請(qǐng)同學(xué)們做一個(gè)折紙游戲.

請(qǐng)拿出課前準(zhǔn)備好的一張白紙，紙上有七條平行線和一條直線l垂直，垂足分別為點(diǎn)A，B，C，D，E，G，H.在第四條平行線上取一點(diǎn)F(除D點(diǎn)外).分別將點(diǎn)A，B，C，D，E，G，H與點(diǎn)F重合.描出折痕與對(duì)應(yīng)的平行線的7個(gè)交點(diǎn).最后用光滑的曲線連接這7個(gè)交點(diǎn)，并觀察交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).學(xué)生根據(jù)老師提供的信息完成折紙游戲，并在用光滑曲線將7個(gè)交點(diǎn)連接起來后，很容易發(fā)現(xiàn)軌跡是拋物線.觀察拋物線上七個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，提出問題：

問題(1)：直線l和點(diǎn)F的位置改變了嗎？

問題(2)：線段AP與線段PF的大小關(guān)系？

問題(3)：點(diǎn)F和直線l的位置關(guān)系？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：按照教師的示范，學(xué)生動(dòng)手操作，創(chuàng)設(shè)有趣的教學(xué)情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從實(shí)踐操作中感受拋物線的幾何特征，提煉拋物線的定義.

利用GeoGebra軟件演示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀感知拋物線的形成過程(如圖).

問題(4)：軟件演示拋物線軌跡時(shí)，動(dòng)點(diǎn)始終滿足什么條件？

問題(5)：請(qǐng)你說出在你的生活經(jīng)驗(yàn)中與拋物線有關(guān)的例子.

設(shè)計(jì)意圖：直觀想象是借助幾何直觀感知事物形態(tài)與變化的思維方式，是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段.通過形象具體地演示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，讓學(xué)生直觀感知拋物線的生成過程，結(jié)合有層次的提問幫助學(xué)生迅速得到拋物線的幾何特征，建構(gòu)拋物線的定義，從而突破難點(diǎn)，提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三：推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程

問題2 如何推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

問題(1)：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)橢圓時(shí)，是怎樣推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的？

師：求曲線方程的一般步驟是什么？

生：建系、設(shè)點(diǎn)、找動(dòng)點(diǎn)滿足的限制條件等式、代入、化簡(jiǎn)，歸納為五個(gè)字：建、設(shè)、現(xiàn)(限)、代、化.

設(shè)計(jì)意圖：前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的研究過程和研究方法有了一定的基礎(chǔ)，對(duì)于拋物線的探究學(xué)習(xí)有借鑒、遷移的作用.

問題(2)：打算怎樣建立坐標(biāo)系？為什么？

教材和傳統(tǒng)的教學(xué)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的突破是這樣設(shè)計(jì)的，首先推導(dǎo)開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要求學(xué)生思考建系的方法，學(xué)生思考出的建系方案一般有三種，如下圖：

圖2

圖3

再分別推導(dǎo)出相應(yīng)的方程：

y2=2px-p2(p>0)、y2=2px(p>0)、y2=2px+p2(p>0)

通過比較得出第二種方程最簡(jiǎn)單，從而得到建系的方法，求得標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣即使想出來了，再去求標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)于基礎(chǔ)一般的中職學(xué)生能概括出來三種建系的方法，推導(dǎo)出三個(gè)方程也不是易事，在有限的課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)推導(dǎo)出來難度更大，況且從邏輯上講，建立坐標(biāo)系的方法有無數(shù)多種，這僅僅是舉幾個(gè)例子，并沒有完全列舉出來，不能說明這種建系的方法是最簡(jiǎn)單、最合適的.

鑒于以上的思考，筆者在教學(xué)中先探究開口向下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，借助信息技術(shù)突破選擇坐標(biāo)系這個(gè)難點(diǎn).

師：觀察開口向下的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖像(用GeoGebra軟件演示)，回答問題.

問題(3)：拖動(dòng)滑動(dòng)條使得b=0時(shí)，圖像有什么特征？

生：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)方程為y=ax2+c.

問題(4)：拖動(dòng)滑動(dòng)條使得b=0且c=0時(shí)，圖像又有什么特征？

生：圖像過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)方程為y=ax2.

問題(5)：上面三種情況下的拋物線形狀有變化嗎？哪種情況下對(duì)應(yīng)的方程最簡(jiǎn)單？此時(shí)拋物線在坐標(biāo)系中有怎樣特殊的位置？

生1：形狀沒有變化，說明拋物線的形狀是由二次項(xiàng)系數(shù)決定的.

生2：第三種最為簡(jiǎn)單，此時(shí)拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，y軸是對(duì)稱軸，說明一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)主要影響了拋物線在坐標(biāo)系中的位置； 反之，拋物線在坐標(biāo)系中的位置也主要影響方程的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，也就是決定了方程的繁簡(jiǎn)程度.

圖5

圖6

圖7

師：標(biāo)準(zhǔn)方程要求建立坐標(biāo)系的原則是使得方程形式最為簡(jiǎn)單，如何選擇坐標(biāo)系才能使得拋物線的方程更簡(jiǎn)單？從曲線與方程的角度來求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，因?yàn)槎c(diǎn)F到定直線l的距離為定值，這是已知唯一條件，不妨設(shè)為p(p>0).

圖8

生：以拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系求出的方程最為簡(jiǎn)單.

設(shè)計(jì)意圖：邏輯推理是指從一些事實(shí)出發(fā)，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要手段.建立合適的坐標(biāo)系是推導(dǎo)曲線方程的關(guān)鍵，通過復(fù)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生回憶推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟.舉例說明二次函數(shù)的圖像其實(shí)就是開口向下的拋物線，加強(qiáng)了知識(shí)的橫向聯(lián)系.通過GeoGebra軟件的演示，讓學(xué)生直觀感知拋物線的圖像以y軸為對(duì)稱軸且過點(diǎn)(0，0)時(shí)對(duì)應(yīng)的方程最簡(jiǎn)單，所以得出建立坐標(biāo)系的方法.這樣標(biāo)準(zhǔn)方程的產(chǎn)生就自然而然、合情合理了，讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)分析與探究的過程，突破了求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一大難點(diǎn).同時(shí)鍛煉了學(xué)生的理性思維、滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，又提升了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

問題3 還有其他建系的方法嗎？

問題(1)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有哪些形式？

問題(2)：其他形式的拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程是什么？

經(jīng)過討論探究，很快得到另外三種標(biāo)準(zhǔn)方程的建系方法，可以選擇開口向右的那一種讓學(xué)生去推導(dǎo)，得出y2=2px(p>0).類比得到其他兩種方程x2=2py(p>0)、y2=-2px(p>0).追問學(xué)生：

問題(3)：這四種方程哪一種最簡(jiǎn)單？有何區(qū)別和聯(lián)系？

問題(4)：我們以后求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意什么？

問題(5)：我們推導(dǎo)的第一種標(biāo)準(zhǔn)方程是y關(guān)于x的二次函數(shù)，其他三種標(biāo)準(zhǔn)方程也都可以表示y關(guān)于x的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過小組合作學(xué)習(xí)方式，探究其他三種形式拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程.學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)四種方程簡(jiǎn)單程度是一樣的，叫作標(biāo)準(zhǔn)方程.接下來教師為學(xué)生的小組合作學(xué)習(xí)提供示范，不但培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)還對(duì)學(xué)生滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.以小組合作探究其他三種形式拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，不僅活躍了課堂氣氛，提升學(xué)生參與的積極性，提高了課堂效率，還培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神、合作與競(jìng)爭(zhēng)的意識(shí).

環(huán)節(jié)四：知識(shí)方法遷移

例1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=8y，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

變式 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

例2 已知拋物線的焦點(diǎn)為(-3，0)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式 已知拋物線的焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過多角度表征拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并會(huì)將圖形、文字、符號(hào)三種語言相互轉(zhuǎn)化、融會(huì)貫通，是掌握本節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵.通過解決問題，更加充分地理解拋物線的定義，達(dá)到掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的目的.

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)延伸

問題4 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了拋物線的哪些知識(shí)？有哪些數(shù)學(xué)思想方法值得我們?nèi)ヮI(lǐng)悟？

問題5 回顧橢圓的學(xué)習(xí)過程，研究標(biāo)準(zhǔn)方程后還要研究拋物線的哪些知識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，提升技能，還要通過學(xué)習(xí)過程，掌握學(xué)習(xí)的方法，融會(huì)貫通，提高分析問題、解決問題的能力.

二、教學(xué)反思

1．情境的產(chǎn)生是提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的來源.史寧中教授說數(shù)學(xué)是把現(xiàn)實(shí)生活中的一些東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部來，然后再借助模型把數(shù)學(xué)的結(jié)果應(yīng)用到外部世界.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念，而本節(jié)課的拋球運(yùn)動(dòng)形成的軌跡非常貼近生活，無疑是容易讓學(xué)生接受和理解的.

2．課程標(biāo)準(zhǔn)要求通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能通過熟悉的情境抽象出數(shù)學(xué)概念，在具體的實(shí)踐活動(dòng)中完成抽象概念的建構(gòu).而本文所做的折紙游戲就是讓學(xué)生在動(dòng)手的實(shí)踐中感知拋物線的幾何特征，從而抽象出拋物線的定義.本文中選擇先推導(dǎo)開口向下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是通過二次函數(shù)的圖像這個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)情境來建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的方法.

3．信息技術(shù)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的強(qiáng)有力的工具.本課中利用GeoGebra軟件描點(diǎn)，可以看成接近無限個(gè)描點(diǎn)的過程.動(dòng)畫演示了動(dòng)點(diǎn)軌跡生成的過程，彌補(bǔ)了手工有限描點(diǎn)的缺陷.同時(shí)還通過拖動(dòng)滑動(dòng)條演示方程參數(shù)的變化對(duì)拋物線位置的影響，從而提升了學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).