關(guān)于交換環(huán)上保持行列式的函數(shù)

戴嬌鳳，譚宜家(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福州 350108)

保持問(wèn)題是矩陣代數(shù)中的重要研究?jī)?nèi)容之一，它在系統(tǒng)控制、微分方程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.1897年，F(xiàn)robnius 研究了域上矩陣空間保持行列式的線性算子，得到了n×n復(fù)矩陣空間上保持行列式的線性映射的形式[1].之后，眾多學(xué)者對(duì)保持問(wèn)題的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究，取得了豐富的研究成果[2-9].2011年，Yao等[10]研究了保持矩陣某些性質(zhì)的函數(shù)，開辟了保持問(wèn)題的一個(gè)新的方向.2019年，樊玉環(huán)和袁海燕[11]刻畫了域上全矩陣空間中保持逆矩陣的函數(shù)的形式,隨后,文獻(xiàn)[12]探討了整環(huán)上全矩陣空間和上三角矩陣空間中保持逆矩陣的函數(shù)，將文獻(xiàn)[11]的結(jié)論拓廣到整環(huán)上. 本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討一般交換環(huán)上上三角矩陣空間、對(duì)稱矩陣空間以及全矩陣空間中保持行列式的函數(shù)，獲得了這三個(gè)矩陣空間中保持行列式的函數(shù)的形式.所得結(jié)果拓廣與改進(jìn)了文獻(xiàn)[13]的結(jié)論.由于一般交換環(huán)中有零因子并且非零元不一定可逆，本文的結(jié)論和證明與文獻(xiàn)[13]有所不同.

1 基本概念與符號(hào)

本文中, 如無(wú)特別說(shuō)明,R表示一個(gè)含有單位元1的交換環(huán).

設(shè)R是一個(gè)給定的環(huán).我們用Mn(R)表示R上所有n階矩陣的全體，Tn(R)表示R上所有n階上三角矩陣的全體，Sn(R)表示R上所有n階對(duì)稱矩陣的全體.設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，對(duì)于任意A=(aij)∈Mn(R)，我們定義f(A)=(f(aij)).

定義1.1 設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，如果?a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，則稱f是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài).

定義1.2[14]設(shè)A=(aij)∈Mn(R)，定義A的行列式如下

這里Sn是集合{1, 2, …,n}的對(duì)稱群，π(σ)是置換σ的逆序數(shù).

定義1.3 設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，如果?A∈Mn(R)(或?A∈Tn(R)、?A∈Sn(R))，映射A→f(A)=(f(aij))保持行列式，即det(f(A))=f(detA), 則稱f為R上n階全矩陣空間(或n階上三角矩陣空間、n階對(duì)稱矩陣空間)中保持行列式的函數(shù).

2 上三角矩陣空間中保持行列式的函數(shù)

定理2.1 設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，n(n≥2)是一個(gè)整數(shù)，則下列條件等價(jià).

1)f是R上n階上三角矩陣空間Tn(R)中保持行列式的函數(shù)；

2)f=f(1)δ，其中f(0)=0，f(1)n=f(1)，δ滿足δ(xy)=δ(x)δ(y).

證明：1)?2)首先，取A=O∈Tn(R)，則有detA=0.因?yàn)楹瘮?shù)f保持行列式，所以0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，從而可得

f(0)=0

(1)

f(1)n-2f(x)f(y)=f(xy)

(2)

在式(2)中令y=1,得

f(1)n-1f(x)=f(x)

(3)

在式(3)中令x=1,得

f(1)n=f(1)

(4)

現(xiàn)令δ=f(1)n-2f，則由式(3)知f(x)=f(1)(f(1)n-2f(x) )=f(1)δ(x),即f=f(1)δ.

再由式(2)得f(1)n-2f(x)f(1)n-2f(y)=f(1)n-2f(xy)，即δ(xy)=δ(x)δ(y).

2)?1)：假設(shè)f=f(1)δ，其中f(0)=0，f(1)n=f(1)，δ滿足δ(xy)=δ(x)δ(y).那么?A∈Tn(R)，設(shè)

則detA=a11a22a33…ann，而

所以

det(f(A))=f(a11)f(a22)f(a33)…f(ann)=

f(1)δ(a11)f(1)δ(a22)f(1)δ(a33)…f(1)δ(ann)=

f(1)nδ(a11)δ(a22)δ(a33)…δ(ann)=

f(1)δ(a11a22a33…ann)(因?yàn)閒(1)n=f(1))=

f(a11a22a33…ann)=f(detA).

證畢.

在定理2.1中, 當(dāng)R是一個(gè)域時(shí),如果f(1)=0, 那么f(x)≡0；如果f(1)≠0, 那么f(1)n-1=1.于是,我們有

推論 2.1[13]設(shè)F是域，f是F到自身的一個(gè)映射，那么f是Tn(F)中保持行列式的函數(shù)的充要條件是下列之一成立：(1)f≡0；(2)f=cδ，其中cn-1=1，δ滿足δ(xy)=δ(x)δ(y).

3 對(duì)稱矩陣空間和全矩陣空間中保持行列式的函數(shù)

定理3.1 設(shè)f是R到自身的一個(gè)映射，n(n≥3)是一個(gè)整數(shù)，則下列條件等價(jià).

1)f是R上n階對(duì)稱矩陣空間Sn(R)中保持行列式的函數(shù)；

2)f是R上n階全矩陣空間Mn(R)中保持行列式的函數(shù)；

3)f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是R上的非零自同態(tài).

證明1)?3)：先取A=O∈Sn(R)，則有detA=0，因?yàn)楹瘮?shù)f保持行列式，所以 0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，從而可得

f(0)=0

(5)

由det(f(B))=f(detB)，計(jì)算得

f(1)n-3(f(x)f(-y)f(-z)-f(-y)f(v)2-

f(-z)f(u)2)=f(xyz+yv2+zu2)

(6)

在式(6)中，令x=0，u=v=1，可得

-f(1)n-1f(-y) -f(1)n-1f(-z)=f(y+z)

(7)

在式(7)中取z=0和y=0, 分別可得

-f(1)n-1f(-y)=f(y)

(8)

-f(1)n-1f(-z)=f(z)

(9)

將式(8)、(9)代入式(7)得

f(y+z)=f(y)+f(z)

(10)

在式(10)中 令y+z=0，得z=-y，同時(shí)0=f(0)=f(y+z)=f(y)+f(z),所以

f(-y)=-f(y)

(11)

將式(11)代入式(8)得

f(1)n-1f(y)=f(y)

(12)

在式(12)中令y=1，可得

f(1)n=f(1)

(13)

又在式(6)中，令z=1,u=v=0，可得

f(1)n-3f(x)f(-y)f(-1)=f(xy)

(14)

利用式(11)，式(14)變?yōu)?/p>

f(1)n-2f(x)f(y)=f(xy)

(15)

如果f(1)≠0，令δ=f(1)n-2f，則由式(12)得f(y)=f(1)(f(1)n-2f(y) )=f(1)δ(y),即f=f(1)δ,因此δ(1)≠0.進(jìn)一步,在式(10)中令z=x并在兩邊同乘f(1)n-2,可得δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，再在式(15)兩邊同乘f(1)n-2可得δ(xy)=δ(x)δ(y)，所以δ是R的非零自同態(tài).

如果f(1)=0，則對(duì)于任意x∈R，均有f(x)=f(1)n-1f(x)=0，此時(shí)任取R的一個(gè)非零自同態(tài)δ，均有f=f(1)δ.

3)?2)：設(shè)f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是R上的非零自同態(tài)，那么，對(duì)于任意x∈R,均有δ(-x)=-δ(x).因此，對(duì)于任意A=(aij)∈Mn(R)，有

f(detA)=f(1)δ(detA)=

2)?1)：顯然.證畢.

由于任何域是交換環(huán)，并且域上任何非零自同態(tài)均為單自同態(tài)，所以由定理3.1的1)和3)可得：

推論3. 1 設(shè)F是任意域，f是F到自身的一個(gè)映射,n(n≥3)是一個(gè)整數(shù)，則f是Sn(F)中保持行列式的函數(shù)的充要條件是f=f(1)δ，其中fn(1)=f(1)，δ是域F的單自同態(tài).